1 Números reales y complejos - e-BUC

( ( ) n n
= , (0 ≤ k ≤ n).
k)
n − k
( ) ( ) ( n − 1 n − 1 n
+ = , (1 ≤ k ≤ n).
k − 1 k k)
Los números binomiales aparecen en la fórmula del binomio de Newton. Aunque esta fórmula será aplicada
esencialmente a polinomios, hay que remarcar que es válida en todo anillo conmutativo. Si n ≥ 0 es un
natural, y a y b son elementos de un anillo conmutativo (por ejemplo, polinomios), entonces
(a + b) n =
( ( ( ( )
n n n
a
0)
n + a
1)
n−1 b + a
2)
n−2 b 2 n
+ ···+
n − 1
ab n−1 +
( n
n)
b n .
En el caso de los polinomios, esta fórmula puede interpretarse como una factorización del término de la
derecha. Otras factorizaciones a menudo útiles son las siguientes:
an − b n = (a − b)(a n−1 + a n−2 b + ···ab n−1 + b n−1 ).
Si n es impar, an + b n = (a + b)(a n−1 − a n−2 b + ···−ab n−2 + b n−1 ).
Como casos particulares:
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b).
an − 1 = (a − 1)(a n−1 + a n−2 + ···+ a + 1).
Si n es impar, a n + 1 = (a + 1)(a n−1 − a n−2 + ···−a + 1).
Problemas resueltos
1
Demostrar que √ 2 es un número irracional.
[Solución]
Notemos, en primer lugar, que √ 2 es un número real, ya que es la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1,
y dicha longitud corresponde ciertamente a un punto de la recta real.
Notemos también que, si m es un entero, entonces m y m 2 tienen los mismos factores primos. Por tanto, m es par si,
ysólo si, m 2 es par.
√
Razonaremos por reducción al absurdo. Supongamos que 2 es racional, y sea m/n la fracción irreducible correspondiente
a dicho racional:
√ m 2 = , m ∈ Z, n ∈ Z \{0}, m y n primos entre sí.
n
Deducimos que m 2 = 2n 2 , luego m 2 es par y, por tanto, m también; es decir, m = 2p para algún entero p. Entonces
m 2 = 2n 2 ⇒ 4p 2 = 2n 2 ⇒ 2p 2 = n 2 ,
luego n 2 es par y, en consecuencia, n es par. Pero entonces m y n son ambos pares y resulta que la fracción m/n no es
irreducible, lo que es contradictorio. Por tanto hemos de concluir que √ 2 no es racional.
© Los autores, 2010. © Edicions UPC, 2010
Números reales y complejos119