1 NÃºmeros reales y complejos - e-BUC

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261 ∫ x 2 − 2 x 3 (x 2 + 1) dx. 2 262 ∫ dx (x 2 − 4x + 3)(x 2 + 4x + 5) . 263 ∫ cos x sen 3 x + 2cos 2 x sen x dx. 264 ∫ sen 3 x cos 3 xdx. 271 ∫ dx a 2 sen 2 x + b 2 cos 2 x dx. 272 ∫ x 3 √ dx. x − 1 273 ∫ dx √ √ . x + 1 + (x + 1) 3 274 ∫ √ x − 1 3√ x + 1 dx. 265 ∫ sen 4 x cos 3 xdx. 266 ∫ sen 3 x cos 4 xdx. 267 ∫ cos 5 xdx. 268 ∫ sen 3x cos 4xdx. 275 ∫ √ x x + 2 dx. 276 ∫ √ x + 1 + 2 (x + 1) 2 − √ x + 1 dx. 277 ∫ √ x − 1 x x + 1 dx. 278 ∫ dx √ . 1 + x + x 2 269 ∫ sen 4x sen 5xdx. 270 ∫ cos 10x cos 3xdx. 279 ∫ dx x[( ln x) 3 − 2( ln x) 2 − ln x + 2] . 280 ∫ e 3x √ e 2x − 1 dx. 1381Cálculo para ingeniería informática © Los autores, 2010. © Edicions UPC, 2010
5 Integración Resumen teórico La integral de Riemann De antiguo, es sabido que el procedimiento para calcular las áreas de los polígonos (regulares o no, convexos o no) consiste básicamente en triangularlos. El problema del área fue, desde el inicio, cómo calcularla para superficies no poligonales. Desde el siglo XVII hasta el XIX, el concepto de área se daba por supuesto y el cálculo de integrales se veía como un método para calcular áreas. A principios del siglo XIX, Agustin Cauchy dio un vuelco a este punto de vista definiendo el área como la integral. El problema pasóa ser qué superficies tienen área, es decir, qué funciones son integrables. La identificación de la integral con el área no es del todo ajustada, en el sentido de que un área es en todo caso no negativa, mientras que la integral de una función puede ser negativa. Aparte de los polígonos, una figura plana elemental con un lado curvo es la limitada por el eje de abscisas, las rectas x = a y x = b (con a < b), y por la gráfica de una función y = f (x). Las funciones que vamos a considerar inicialmente son las funciones acotadas en un intervalo [a, b], pero, como veremos, no todas las funciones acotadas en un intervalo son integrables. Sean a < b dos números <strong>reales</strong> y f :[a, b] → R una función acotada. La discusión siguiente va encaminada a definir cuándo la función f es integrable en el intervalo [a, b]. Una partición del intervalo [a, b] es un conjunto ordenado P = {a = x 0 < x 1 < ··· < x n−1 < x n = b}. El intervalo [x i−1 , x i ] (1 ≤ i ≤ n) se denomina i-ésimo subintervalo de la partición. Puesto que la función f está acotadaen[a, b], también está acotada en cada subintervalo [x i−1 , x i ], por lo que tiene ínfimo m i y supremo M i en dicho subintervalo. Definimos la suma inferior ylasuma superior de f en [a, b] respecto de la partición P por s( f , P) = n∑ m i (x i − x i−1 ), S( f , P) = i=1 n∑ M i (x i − x i−1 ). i=1 Si f es continua y positiva, la suma inferior corresponde a la suma de las áreas de n rectángulos que aproxima por defecto el área que se quiere definir; análogamente, la suma superior la aproxima por exceso (v. figura 5.1). Puede demostrarse la siguiente propiedad: si f es una función acotada en [a, b], yP 1 y P 2 son dos particiones cualesquiera de [a, b], entonces, © Los autores, 2010. © Edicions UPC, 2010 Integración1139
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