1 Números reales y complejos - e-BUC
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Cotas<br />
Sea (a n ) una sucesión. Si existe k ∈ R tal que a n ≤ k para todo n, se dice que k es una cota superior de<br />
(a n ) y que (a n ) está acotada superiormente; en ese caso, la menor de las cotas superiores se denomina<br />
supremo de (a n ).Siexistek ∈ R tal que k ≤ a n para todo n, se dice que k es una cota inferior de (a n ) y<br />
que (a n ) está acotada inferiormente; en ese caso, la mayor de las cotas inferiores se denomina ínfimo de<br />
(a n ).Si(a n ) está acotada superior e inferiormente, se dice que (a n ) está acotada.<br />
Límites<br />
El límite de una sucesión (a n ) es<br />
el número real l si para cada real ɛ>0 existe un natural N tal que |an − l| 0 existe un natural N tal que an > M para todo n ≥ N.<br />
−∞ si para cada número real M < 0 existe un natural N tal que an < M para todo n ≥ N.<br />
Las notaciones<br />
lím<br />
n<br />
a n = l, lím<br />
n<br />
a n =+∞, lím<br />
n<br />
a n = −∞<br />
indican, respectivamente, que el límite de (a n ) es el número real l, +∞ o −∞, respectivamente. Si el<br />
límite de (a n ) es un número real l, se dice que la sucesión es convergente y que converge hacia l; sies<br />
±∞, se dice que es divergente. Una sucesión que no es convergente ni divergente se denomina oscilante.<br />
Determinar el carácter de una sucesión es averiguar si es convergente, divergente u oscilante.<br />
Una primera propiedad de las sucesiones convergentes es que son sucesiones acotadas. El recíproco no es<br />
cierto, como prueba, por ejemplo, la sucesión a n = (– 1) n , que es acotada pero no convergente.<br />
Como en el caso de las funciones, las tres definiciones de límite pueden englobarse en una. Sea □ ∈<br />
{l, +∞, −∞} y (a n ) una sucesión de dominio D. Ellímite de (a n ) es □ si, para cada entorno U de □, existe<br />
un entorno (N, +∞) de +∞ tal que, si n ∈ (N, +∞) ∩ D, entonces a n ∈ U.<br />
La similitud de los límites de sucesiones con los de funciones en +∞ se refuerza con la siguiente propiedad.<br />
<br />
Sea f (x) una función tal que existe lím f (x) y definamos la sucesión (a n ) por a n = f (n). Entonces, la<br />
x→+∞<br />
sucesión (a n ) tiene límite y lím a n = lím f (x).<br />
n x→+∞<br />
Los problemas 124 y 137 son ejemplos de aplicación de la propiedad anterior.<br />
Como en el caso de los límites de funciones, algunas propiedades involucran operaciones con dos límites.<br />
Si los dos límites son números <strong>reales</strong>, el significado de la operación es claro, pero si uno de ellos o los dos<br />
son +∞ o −∞, entonces debe entenderse lo siguiente (con las propiedades conmutativas de la suma y el<br />
producto sobreentendidas):<br />
( + ∞) + l =+∞; ( −∞) + l = −∞.<br />
( + ∞) + ( + ∞) =+∞; ( −∞) + ( −∞) = −∞.<br />
si l>0, ( + ∞) · l =+∞ y ( −∞) · l = −∞;<br />
si l