1 Números reales y complejos - e-BUC

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Números reales y complejos
Resumen teórico
El cuerpo de los números reales
El conjunto R de los números reales se construye de forma que a cada punto de una recta corresponda un
número real, y viceversa. Independientemente de la construcción formal, resumimos las propiedades, que
se suponen conocidas.
En R está definida una suma que hace corresponder a cada dos números reales a y b otro número real
a + b. Esta operación tiene las siguientes propiedades:
(Asociativa) a + (b + c) = (a + b) + c para todo a, b, c ∈ R.
(Conmutativa) a + b = b + a para todo a, b ∈ R.
(Existencia de elemento neutro) Existe un número real 0 tal que a + 0 = a para todo a ∈ R.
(Existencia de opuestos) Para cada número real a, existeunnúmero real −a tal que a + (– a) = 0.
En R está definida una segunda operación, el producto, que también hace corresponder a cada dos
números reales a y b otro número real ab. Esta operación tiene las siguientes propiedades:
(Asociativa) a(bc) = (ab)c para todo a, b, c ∈ R.
(Conmutativa) ab = ba para todo a, b ∈ R.
(Existencia de elemento neutro) Existe un número real 1 tal que a · 1 = a para todo a ∈ R.
(Existencia de inversos) Para todo a ∈ R \{0}, existeunnúmero real a −1 (denotado también 1/a) tal que
a · a −1 = 1.
Finalmente, la propiedad distributiva relaciona ambas operaciones:
a(b + c) = ab + ac para todo a, b, c ∈ R.
Un conjunto con dos operaciones que cumplen todas las propiedades anteriores se denomina un cuerpo.
Estas propiedades justifican convenios usuales, como no escribir paréntesis cuando hay más de dos sumandos
o factores, escribir a − b por a + (– b), etc. De ellas también se deducen propiedades bien conocidas,
como −(a + b) = −a − b, las leyes de simplificación para la suma (a + c = b + c ⇔ a = b) yparael
producto (ac = bc ⇔ a = b, sic 0), etc.
© Los autores, 2010. © Edicions UPC, 2010
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