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Cotas Sea (a n ) una sucesión. Si existe k ∈ R tal que a n ≤ k para todo n, se dice que k es una cota superior de (a n ) y que (a n ) está acotada superiormente; en ese caso, la menor de las cotas superiores se denomina supremo de (a n ).Siexistek ∈ R tal que k ≤ a n para todo n, se dice que k es una cota inferior de (a n ) y que (a n ) está acotada inferiormente; en ese caso, la mayor de las cotas inferiores se denomina ínfimo de (a n ).Si(a n ) está acotada superior e inferiormente, se dice que (a n ) está acotada. Límites El límite de una sucesión (a n ) es el número real l si para cada real ɛ>0 existe un natural N tal que |an − l| 0 existe un natural N tal que an > M para todo n ≥ N. −∞ si para cada número real M < 0 existe un natural N tal que an < M para todo n ≥ N. Las notaciones lím n a n = l, lím n a n =+∞, lím n a n = −∞ indican, respectivamente, que el límite de (a n ) es el número real l, +∞ o −∞, respectivamente. Si el límite de (a n ) es un número real l, se dice que la sucesión es convergente y que converge hacia l; sies ±∞, se dice que es divergente. Una sucesión que no es convergente ni divergente se denomina oscilante. Determinar el carácter de una sucesión es averiguar si es convergente, divergente u oscilante. Una primera propiedad de las sucesiones convergentes es que son sucesiones acotadas. El recíproco no es cierto, como prueba, por ejemplo, la sucesión a n = (– 1) n , que es acotada pero no convergente. Como en el caso de las funciones, las tres definiciones de límite pueden englobarse en una. Sea □ ∈ {l, +∞, −∞} y (a n ) una sucesión de dominio D. Ellímite de (a n ) es □ si, para cada entorno U de □, existe un entorno (N, +∞) de +∞ tal que, si n ∈ (N, +∞) ∩ D, entonces a n ∈ U. La similitud de los límites de sucesiones con los de funciones en +∞ se refuerza con la siguiente propiedad. Sea f (x) una función tal que existe lím f (x) y definamos la sucesión (a n ) por a n = f (n). Entonces, la x→+∞ sucesión (a n ) tiene límite y lím a n = lím f (x). n x→+∞ Los problemas 124 y 137 son ejemplos de aplicación de la propiedad anterior. Como en el caso de los límites de funciones, algunas propiedades involucran operaciones con dos límites. Si los dos límites son números <strong>reales</strong>, el significado de la operación es claro, pero si uno de ellos o los dos son +∞ o −∞, entonces debe entenderse lo siguiente (con las propiedades conmutativas de la suma y el producto sobreentendidas): ( + ∞) + l =+∞; ( −∞) + l = −∞. ( + ∞) + ( + ∞) =+∞; ( −∞) + ( −∞) = −∞. si l>0, ( + ∞) · l =+∞ y ( −∞) · l = −∞; si l
Problemas resueltos 124 Sea k ≥ 1 un natural y a 0 , ...a k números <strong>reales</strong>, con a k 0. Calcular lím (a k n k + a k−1 n k−1 + ···+ a 0 ). n lím n (a k n k + a k−1 n k−1 + ···+ a 0 ) = lím n ( n k ( a k + a k−1 n + ···+ a 0 n k )) = lím a k n k n { −∞ si ak < 0, = +∞ si a k > 0. [Solución] Alternativamente, podemos considerar la función polinómica f (x) = a k x k + a k−1 x k−1 + ···+ a 0 .Lasucesión de la que se quiere calcular el límite es s n = f (n). Entonces (v. página 38) { −∞ si ak < 0, lím s n = lím f (x) = x→+∞ +∞ si a k > 0. 125 ( Calcular lím n 2 · (n + ) 1)4 − (n − 1) 4 . n 3n 5 + 10 [Solución] lím n (n 2 · (n + ) 1)4 − (n − 1) 4 3n 5 + 10 = lím n ( ) n 2 · n4 + 4n 3 + 6n 2 + 4n + 1 − (n 4 − 4n 3 + 6n 2 − 4n + 1) 3n 5 + 10 = lím n n 2 (8n 3 + 8n) 3n 5 + 10 = 8 3 . 126 Calcular lím n √ 3n 2 + √ 2n + n − √ 2n 2 + 5n + 2 . [Solución] Dividimos numerador y denominador por n 2 y obtenemos lím n √ 3n2 + √ 2n + n − √ 2n 2 + 5n + 2 = lím n √ √ √ 3 + 2/n + 1/n 3 − √ = 2 + 5/n + 2/n 2 − √ 2 = − √ 3/2. 881Cálculo para ingeniería informática © Los autores, 2010. © Edicions UPC, 2010
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