1 Números reales y complejos - e-BUC

Si la serie ∑ n≥1 a n tiene suma s ∈ R ∪{+∞, −∞}, entonces la serie ∑ n≥1 b n tiene también suma s.
Más informalmente, la propiedad anterior asegura que, si una serie ∑ n a n tiene suma s ∈ R ∪{+∞, −∞},
entonces la serie ∑ n b n obtenida agrupando términos de la serie ∑ n a n tiene la misma suma s.
Criterios de convergencia para series de términos positivos
Las series ∑ n a n ,cona n ≥ 0 para todo n, se denominan series de términos positivos (aunque se permite
que haya términos iguales a cero). Los siguientes criterios se enuncian para series de términos positivos; sin
embargo, como ya se ha observado, el carácter de una serie no depende de los primeros términos, así que
puede entenderse que a n ≥ 0 para todo n apartirdealgún natural k. Por otra parte, los mismos criterios
son también válidos para las series en las que a n ≤ 0 para todo n a partir de algún k, ya que ∑ n ( − a n ) es
convergente si, y sólo si, − ∑ n a n lo es.
Criterio de comparación ordinaria. Si 0 ≤ a n ≤ b n para todo n, entonces:
∑
n b n convergente ⇒ ∑ n a n convergente.
∑
n a n divergente ⇒ ∑ n b n divergente.
Criterio de comparación en el límite. Si a n ≥ 0 y b n ≥ 0 para todo n yexisteellímite
lím
n
a n
b n
= L,
entonces
si 0 < L < +∞, las dos series
∑n a n y ∑ n b n tienen el mismo carácter;
si L = 0 y
∑n b n converge, entonces ∑ n a n converge;
si L =+∞ y
∑n b n diverge, entonces ∑ n a n diverge.
Criterio del cociente. Si a n > 0 para todo n yexistelím
n
a n
a n−1
= L ∈ R ∪{+∞} entonces
L < 1 implica que
∑n a n es convergente;
L > 1 implica que
∑n a n es divergente.
Criterio de la raíz. Si a n ≥ 0 para todo n yexistelím
n
n √ a n = L ∈ R ∪{+∞}, entonces
L < 1 implica que
∑n a n es convergente;
L > 1 implica que
∑n a n es divergente.
Criterio de Raabe. Si a n > 0 para todo n y lím
n
(
n 1 − a )
n
= L ∈ R ∪{+∞}, entonces
a n−1
L > 1 implica que
∑n a n es convergente;
L < 1 implica que
∑n a n es divergente.
© Los autores, 2010. © Edicions UPC, 2010
Series numéricas1177