1 Números reales y complejos - e-BUC

Problemas propuestos
13
Sean a y b números racionales con b > a. Demostrar
que a + √ 2(b − a)/2 es un número irracional
comprendido entre a y b.
14
Sean a, b y x números reales, con 0 < a < b y
0 < x. Ordenar de menor a mayor
19
Hallar las raíces enteras del polinomio
20
x 4 + 2x 3 − 10x 2 + 19x − 30.
Hallar p y q para que las raíces de la ecuación
x 2 + px + q sean p y q.
a
b ,
a + x
b + x ,
a + 2x
b + 2x .
21
Consideremos los polinomios
15
Sean a y b números reales, con a < b, ysea
c = (2a + 3b)/5. Demostrar:
1) a < c < b.
2) |b − c| < |a − c| (es decir, c está más cerca de
b que de a).
16
Sean a y b números reales. Demostrar:
a + b + |a − b|
1) máx {a, b} = .
2
a + b −|a − b|
2) mín {a, b} = .
2
17
x
Resolver la inecuación
∣
x − 2∣ > 10.
18
Consideremos el polinomio
f (x) = x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 5x 3 + 2x 2 − 3x + 5.
Calcular f (1), f (– 1) y f (2).
f (x) = 6x 6 − x 5 − 2x 4 + 7x 3 − 26x 2 + 47x − 34,
g(x) = 2x 3 − x 2 + 3x − 5,
Calcular:
1) f (x) + g(x). 2) f (x)g(x).
3) El cociente y el resto de dividir f (x) por g(x).
22
Sea n ≥ 0 un entero. Demostrar que
( ( ( n n n
+ + ···+ = 2
0)
1)
n)
n .
Indicación: Desarrollar 2 n = (1+1) n por el binomio
de Newton.
23
Determinar, si existe, el ínfimo, el mínimo, el máximo
y el supremo de cada uno de los siguientes
conjuntos.
1) {1/n : n ∈ N}.
2) [–2, 3).
3) {x : |x − 5| < 3}.
4) {x : |x + 3| ≤2.
5) {−n 2 : n ∈ N}.
6) {1/p 2 : p es un
entero primo}.
Problemas propuestos
Expresar en forma binómica los siguientes
números complejos:
24
(i − 1)(2i + 1)
.
3 − 4i
261Cálculo para ingeniería informática © Los autores, 2010. © Edicions UPC, 2010