1 Números reales y complejos - e-BUC

127
Calcular lím
n
e n + 3 n
e n − 3 n .
[Solución]
Como 2 < e < 3, tenemos 0 < e/3 < 1. Por tanto, lím
n
por 3 n ,resulta
(e/3) n = 0. Entonces, dividiendo numerador y denominador
lím
n
e n + 3 n
e n − 3 n = lím n
(e/3) n + 1
(e/3) n − 1 = 0 + 1
0 − 1 = −1.
128
Calcular lím
n
2 n · 3 n + 5 n+1
(2 n + 1)(3 n−1 − 1) . [Solución]
Dividiendo numerador y denominador por 2 n · 3 n y teniendo en cuenta que si 0 < a < 1 entonces lím
n
a n = 0, resulta
lím
n
2 n · 3 n + 5 n+1
(2 n + 1)(3 n−1 − 1) = lím n
1 + 5 · (5/6) n
(1 + 1/2 n )(1/3 − 1/3 n ) = 1
1/3 = 3.
129
( √
n2 + an + b − √ n 2 + cn + d ) , donde a, b, c y d son números reales.
Calcular lím
n
[Solución]
Multiplicando y dividiendo la expresión del término general por
√
n2 + an + b + √ n 2 + cn + d,
obtenemos
lím
n
( √
n2 + an + b − √ n 2 + cn + d ) = lím
n
n 2 + an + b − n 2 − cn − d
√
n2 + an + b + √ n 2 + cn + d
= lím
n
(a − c)n + (b − d)
√
n2 + an + b + √ n 2 + cn + d
= lím
n
(a − c) + (b − d)/n
√ 1 + a/n + b/n2 + √ 1 + c/n + d/n 2
= a − c
1 + 1 = a − c
2 . Sucesiones189
© Los autores, 2010. © Edicions UPC, 2010