Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas

Unidad IIIDistribucionesde probabilidadpara variablesaleatorias continuas

Estadística inferencialEsquema conceptual: Unidad IIICaracterización de la distribuciónnormal de probabilidadCaracterización del área bajo la curvade una distribución normalNormalización y cálculo de probabilidadDefiniciónÁrea bajo la curva2. Distribución normalde probabilidad1. Variables aleatoriascontinuasCaracterizaciónde la distribuciónnormal de probabilidadesbinomiales74UNIDAD IIIDistribuciones de probabilidadpara variables aleatorias3. Aproximación normal deprobabilidades binomiales6. Aplicacionesde cómputoAplicaciones de la hoja de cálculopara calcular probabilidades dedistribución normalEjemplo4. Aproximación normal deprobabilidades de PoissonCaracterizaciónde la aproximaciónnormal de probabilidadesde Poisson5. Distribución exponencialde probabilidadDefiniciónCálculo de probabilidadescon la distribución exponencial

U n i da d i i i . D i st r i buciones de probabilida d pa r a va r i a bles ale ato r i a sSemana 6PresentaciónLas variables aleatorias discretas son aquellas que toman estrictamente valoresenteros, por lo que generalmente se aplican en procesos probabilísticos deconteo. Por su parte, las variables aleatorias continuas no se restringen a valoresenteros, sino que pueden asumir, además de éstos, valores decimales comprendidosentre valores enteros, es decir, pueden tomar cualquier valor de maneracontinua que se encuentre entre valores discretos. En términos matemáticos, losvalores discretos se denominan numerables, mientras que a los valores continuosse les conoce como no numerables. En esta sesión se estudiarán distribuciones deprobabilidad de variables aleatorias continuas, específicamente la distribuciónnormal, así como su aproximación a la distribución binomial.Objetivos específicos• El alumno enlistará las características de la distribución normal, definirá y calcularálos valores de z.75Tema y subtemasIII I. Distribuciones de probabilidadpara variables aleatorias continuasIII.1 Variables aleatorias continuasIII.2 Distribución normal de probabilidadIII.3 Aproximación normal de probabilidades binomiales

E sta d í st i ca inferenci a lIIII.1 Variables aleatorias continuasDefinición de variable aleatoria continuaCaracterización de lasvariables aleatoriascontinuasSea ε un experimento y Ώ su respectivo espacio muestral asociado. A la función(o relación) X, que asigna un número real X(ω) a cada elemento ω (letra griegaomega, en minúscula) que pertenece a Ώ, se le denomina variable aleatoria continuasi X(ω) puede tomar valores continuos, es decir, valores decimales que seencuentran entre valores discretos o enteros a, b. En este sentido, el conjunto{ a ≤ X ≤ b}es un suceso o evento de Ώ. Si la distribución de probabilidad de lavariable aleatoria se rige por una función f, 1 entonces la probabilidad de quela variable aleatoria X tome un valor entre los números a y b se denota comoP( a ≤ X ≤ b)y equivale al área bajo la curva de f entre x = a y x = b.76abÁrea que puede obtenerse mediante el cálculo de la siguiente integral:P( a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dxabEste concepto se explicará más adelante en esta misma sesión, sin embargo,cabe aclarar que no es necesario tener conocimientos de cálculo integral para sumanejo pues existen tablas que permiten realizar cálculos de probabilidad sintener que desarrollar una integral.Al igual que las variables aleatorias discretas, las continuas cumplen con doscaracterísticas fundamentales:Caracterización de lasvariables continuas• f( x) ≥ 0 . La probabilidad de ocurrencia de un evento en particular esmayor o igual que cero.∫• f( x)dx=1 La suma de las probabilidades de ocurrencia de todos losposibles eventos del espacio muestral es igual a la unidado al cien por ciento.1 A esta función se le denomina función de distribución de probabilidad.

U n i da d i i i . D i st r i buciones de probabilida d pa r a va r i a bles ale ato r i a sIII.2 Distribución normalde probabilidadAl estudiar alguna característica particular de diversos fenómenos naturales ysociales, se dice que asumen un comportamiento normal aquellos que concentranla mayoría de las observaciones cercanas a un valor promedio y la minoríaen valores extremos (muy por abajo o muy por arriba de un valor promedio).Por ejemplo:Caracterización de ladistribución normal deprobabilidad• Al medir la estatura de un grupo de personas de la misma edad, la mayoríade ellas tiene una estatura muy cercana a un cierto valor promedio,mientras que pocas están muy por debajo o muy por encima del valorpromedio.• Al pesar a un grupo de personas de la misma edad, la mayoría de ellastienen un peso muy cercano a un cierto valor promedio, mientras quepocas están muy por debajo o muy por encima del valor promedio.• Si se mide el coeficiente intelectual de un grupo de personas de la mismaedad, la mayoría de ellas tienen un coeficiente muy cercano a un ciertovalor promedio, mientras que pocas están muy por debajo o muy porencima del valor promedio.77La distribución normal tiene una representación gráfica en forma de campana,frecuentemente denominada campana de Gauss en honor al célebre matemáticoalemán Karl F. Gauss, quien realizó importantes aportaciones al estudiode la distribución normal. Esta representación gráfica se caracteriza por ser unacurva simétrica respecto al eje y.yRepresentación gráficade la distribuciónnormalxEn la gráfica se observa que los valores de una distribución normal tienden aacumularse en el centro y a disminuir en los extremos. Se dice que esta distribuciónes normal porque se presenta en muchos fenómenos sociales y naturales, ypone énfasis en lo que se considera un comportamiento normal de los datos.

E sta d í st i ca inferenci a lLa función de distribución de probabilidad normal está dada por:y =1e2πσ21 x−−⎡ µ ⎤2 ⎣⎢ 2 ⎦⎥Definición de distribución normalConceptode distribución normalSea X una variable aleatoria. La expresión:X N( µ , σ)Significa que X se distribuye como una normal, con parámetros μ (letra griegamu, en minúscula) y σ (letra griega sigma, en minúscula), donde:• X = Variable aleatoria• μ = Media poblacional• σ = Desviación estándar poblacional78Una vez que se sabe que un fenómeno tiene una distribución normal y se conocela media y la desviación estándar poblacionales, puede entonces calcularsela probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos; por ejemplo, la probabilidad deque al seleccionar a una persona de un grupo de individuos de la misma edad:• Su estatura sea menor que un valor dado.• Su estatura sea mayor que un valor dado.• Su estatura se encuentre entre dos valores determinados.Área bajo la curva de una distribución normalCaracterísticas del áreabajo la curva de unadistribución normalComo ya se mencionó, el cálculo de probabilidad de ocurrencia de eventos asociadosa una variable aleatoria con distribución normal equivale a calcular el áreabajo la curva normal delimitada por ciertos valores. Por ejemplo, la Secretaría dela Defensa Nacional lleva un registro de todos los jóvenes que prestan su serviciomilitar. Considerando que sus edades son muy similares, puede resultar de interésque al seleccionar a uno de ellos:• Su estatura sea menor que un valor x 1, lo que se denota como P( X ≤ x 1)• Su estatura sea mayor que un valor x 2, lo que se denota como P( X ≥ x 2)• Su estatura se encuentre entre los valores x 1y x 2, lo que se denota comoP( x ≤ X ≤ x )1 2Esto significaría calcular el área bajo la curva mediante las siguientesintegrales:

U n i da d i i i . D i st r i buciones de probabilida d pa r a va r i a bles ale ato r i a sx11• P( X ≤ x1)= ∫ e−∞ 2πσ∞ 1• P( X ≥ x2)= ∫ ex2 2πσx21• P( x1X ≤ x2)= ∫ ex12πσ21 x−−⎡ µ ⎤2 ⎣⎢ 2 ⎦⎥21 x−−⎡ µ ⎤2 ⎣⎢ 2 ⎦⎥21 x−⎡ −µ⎤2 ⎣⎢ 2 ⎦⎥Por la complejidad de estos cálculos, se ha optado por desarrollar tablas dedistribución normal de las cuales podrían tomarse directamente los valores deestas integrales, evitando así su cálculo mediante técnicas matemáticas.Normalización y cálculo de probabilidadPara calcular probabilidades de ocurrencia de eventos asociados a una distribuciónnormal es importante considerar dos propiedades fundamentales:• El área total bajo la curva normal es igual a uno (es decir, al 100 por cientode probabilidad).• La curva es simétrica respecto a la media , por lo que el área de cadamitad corresponde al cincuenta por ciento.79yxyx

E sta d í st i ca inferenci a lCálculo deprobabilidades con unadistribución normalPara realizar el cálculo de probabilidades con una distribución normal esnecesario trasladar los datos originales del fenómeno objeto de estudio (variablealeatoria X, por ejemplo, estatura, peso, coeficiente intelectual, etc.) a una escalacomún o estándar. Una variable aleatoria estandarizada se denota con la literal z yse obtiene mediante la siguiente operación de estandarización o normalización:xz = − µσDonde:• z = Variable aleatoria estandarizada• x = Valor de la variable aleatoria a estandarizar• μ = Media poblacional• σ = Desviación estándar poblacionalEl valor de z obtenido en el paso anterior se distribuye como una normalcon media μ = 0 y σ = 1, es decir, X N( 0, 1 ) , con lo que ya es posible utilizarlas tablas de distribución normal para calcular la probabilidad de ocurrencia deeventos que pueden manifestarse de la siguiente forma:800 z0 z0 z 0 z1 z2que corresponden a las siguientes expresiones:• P( 0 ≤ a ≤ z). Probabilidad de que un valor a se encuentre entre 0 y z.• P( z ≤ a) = 0. 5− P( 0 ≤ a ≤ z). Probabilidad de que un valor a sea mayoro igual que el valor z.• P( a ≤ z) = 0. 5+ P( 0 ≤ a ≤ z). Probabilidad de que un valor a sea menoro igual que el valor z.

0U n i da d i i i . D i st r i buciones de probabilida d pa r a va r i a bles ale ato r i a s• P( z1 ≤ a ≤ z2) = P( 0 ≤ a ≤ z2) − P( 0 ≤ a ≤ z1). Probabilidad de que unvalor a sea menor o igual que el valor z.Donde a, z, z 1y z 2son variables estandarizadas. Asimismo, por simetría, setienen las siguientes equivalencias:0 z -z00 z-z810 z -z00 z1 z2 -z2 -z10que corresponden a las siguientes expresiones:• P( 0 ≤ a ≤ z) = P( −z ≤ a ≤ 0)• P( z ≤ a) = P( a ≤ − z)• P( a ≤ z) = P( −z ≤ a)• P( z ≤ a ≤ z ) = P( −z ≤ a ≤ − z )1 2 2 1Donde a, z, z 1y z 2son variables estandarizadas.

E sta d í st i ca inferenci a lEjemplosEjemplos de cálculode probabilidad con ladistribución normalEl coeficiente intelectual (iq) es un valor obtenido a partir de una prueba quemide las habilidades cognitivas o inteligencia de una persona en relación a sugrupo de edad, el cual se expresa en una escala estándar para que el valor promediode un grupo sea igual a 100. Esto significa que una persona con un iq de 115puntos está por encima del promedio de las personas de su edad, mientras queotra con un iq de 65 está por debajo del promedio. Dado que el iq se distribuyecomo una normal, pueden calcularse algunas probabilidades de interés.Supóngase que X es una variable aleatoria asociada al iq de alumnos de unauniversidad. Si X se distribuye como una normal con media μ = 100 y desviaciónestándar σ = 16, es decir, X N( 100, 16 ), calcular mediante tablas de distribuciónnormal las siguientes probabilidades:1. Probabilidad de que el iq de un alumno sea mayor a 80 puntos, es decir,P( 80 ≤ x).2. Probabilidad de que el iq de un alumno sea mayor a 105 puntos, es decir,P( 105 ≤ x).823. Probabilidad de que el iq de un alumno sea menor que 80 puntos, esdecir, P( x ≤ 80 ) .4. Probabilidad de que el iq de un alumno sea menor que 105 puntos, esdecir, P( x ≤105 ) .5. Probabilidad de que el iq de un alumno se encuentre entre 105 y 110puntos, es decir, P( 105 ≤ x ≤ 110).6. Probabilidad de que el iq de un alumno se encuentre entre 70 y 80 puntos,es decir, P( 70 ≤ x ≤ 80).SolucionesSoluciones al ejemplode cálculo probabilidadcon la distribuciónnormal1. De acuerdo a los datos del problema, se tiene que µ =100 , σ =16 yx = 80 . Entonces se procede a normalizar el valor de x:xz = − µσ80 −100z =16z = −1.25

U n i da d i i i . D i st r i buciones de probabilida d pa r a va r i a bles ale ato r i a sEste valor transforma la expresión P( 80 ≤ x)a su equivalente normalizadaP( z ≤ a), en donde z = −1. 25 . Esto significa que se debe calcularP( −1. 25 ≤ a). Entonces:P( −1. 25 ≤ a) = 0. 5 + P( 0 ≤ a ≤ 1. 25)Consultando la tabla de distribución normal, se tiene que:P( 0 ≤ a ≤ 1. 25) = 0.3944por lo que P( −1. 25 ≤ a) = 0. 5+ P( 0 ≤ a ≤ 1. 25) = 0. 5+0.3944= 0.8944 que equivale a 89.44% de probabilidad.2. Normalizando los datos tenemos que:xz = − µσ105−100z =16=0.312583que puede redondearse a 0.31.Este valor transforma la expresión P( 105 ≤ x)a su equivalentenormalizada: P( z ≤ a), donde z = 0. 31 , es decir, se debe calcularP( 0. 31 ≤ a). Entonces, P( 0. 31≤ a) = 0. 5− P( 0 ≤ a ≤ 0. 31).Utilizando las tablas de distribución normal se obtiene queP( 0 ≤ a ≤ 0. 31) = 0.1217 , por lo que P( 0. 31≤ a) = 0. 5− 0. 1217 = 0.3783que equivale a 37.83% de probabilidad.3. Normalizando datos se tiene que:xz = − µσ80 −100z =16z = −1.25Este valor se transforma en la expresión P( x ≤ 80 ) a su equivalente normalizadaP( a ≤ z), donde z = −1. 25 , es decir, se procede a calcular P( a ≤ −1. 25 ) .

E sta d í st i ca inferenci a lEn consecuencia, P( a ≤ − 1. 25) = 0. 5− P( 0 ≤ a ≤1. 25 ) . A través de las tablasde distribución normal se obtiene que P( a ≤ 1. 25) = 0. 5− 0. 3944 = 0.1056 , entoncesP( a ≤ − 1. 25) = 0. 5− P( 0 ≤ a ≤1. 25 ) que equivale a 10.56% de probabilidad.4. Al normalizar los datos obtenemos que:xz = − µσ105−100z =16z = 0.312584que puede redondearse a 0.31. Este valor permite transformar la expresiónP( x ≤105 ) a su equivalente normalizada P( a ≤ z), dondeZ = 0. 3125 . Esto significa que se debe calcular P( a ≤ 0. 31 ) . Consecuentemente,P( a ≤ 0. 31) = 0. 5+ P( 0 ≤ a ≤ 0. 31 ) . Utilizando las tablasde distribución normal, se tiene que P( 0 ≤ a ≤ 0. 31) = 0.1217 , por loque P( a ≤ 0. 31) = 0. 5+ 0. 1217 = 0.6217 que equivale a 62.17% de probabilidad.5. Al normalizar los datos obtenemos:zzz111x= − µσ105−100=16= 0.3125que puede redondearse a 0.31. De igual manera, tenemos que:zzz222x= − µσ110 −100=16= 0.625

U n i da d i i i . D i st r i buciones de probabilida d pa r a va r i a bles ale ato r i a sque puede redondearse a z = 0.63. Ambos valores transforman la expresiónP( 105 ≤ x ≤ 110)a su equivalente normalizada P( z1 ≤ a ≤ z2),donde z 1= 0. 31 y z 2= 0. 63 . Lo que significa que se debe calcularP( 0. 31 ≤ a ≤ 0. 63).Entonces tenemos P( 0. 31 ≤ a ≤ 0. 63) = P( 0 ≤ a ≤ z2) − P( 0 ≤ a ≤ z1).Empleando las tablas de distribución normal, se tiene queP( 0 ≤ a ≤ 0. 31) = 0.1217 y P( 0 ≤ a ≤ 0. 63) = 0.2357 , por lo queP( 0. 31 ≤ a ≤ 0. 63) = 0. 2357 − 0. 1217 = 0.114 , que equivale a 11.4% deprobabilidad.6. Normalizando los datos se tiene que:zzz111x= − µσ80 −100=16= −1.25Y de igual manera:85zzz222x= − µσ70 −100=16= −1.875que puede redondearse a z 2= − 1. 88 . Ambos valores transforman la expresióna su equivalente normalizada P( z2 ≤ a ≤ z1)donde z 1= − 1. 25 yz 2= − 1. 88 . Esto significa que se debe calcular P( −1. 88 ≤ a ≤ −1. 25 ) .Entonces, P( 0 ≤ a ≤ −z2) − P( 0 ≤ a ≤ − z1), es decir,P( 0 ≤ a ≤1. 88) − P( 0 ≤ a ≤ 1. 25). Mediante el uso de tablas de distribuciónnormal tenemos se obtienen respectivamente los valores 0.4699 y0.3944, por lo que P( −1. 88 ≤ a ≤ − 1. 25) = 0. 4699 − 0. 3944 = 0.0755 , queequivale a 7.55% de probabilidad.

E sta d í st i ca inferenci a lIII.3 Aproximación normalde probabilidades binomialesCaracterización de laaproximación normalde probabilidadesbinomialesCómo calcularprobabilidadesaproximando ladistribución normal abinomialLa distribución binomial P( X = k) = b( k; n, p)puede acercarse notablementea la distribución normal cuando n es grande y ni p ni q tienen valores cercanos acero, donde:• n = Número de ensayos o repeticiones del experimento• k = Número de éxitos• p = Probabilidad de éxito• q = Probabilidad de fracasoPara calcular probabilidades aproximando la distribución normal a la binomialse tiene que:• µ = np• σ =npq86Por ejemplo, si se lanza una moneda 14 veces, calcular la probabilidad P deque el número de águilas que aparezcan se encuentre entre tres y seis. De los datosdel ejemplo tenemos que:n = 14 , 1 1p = q =2, 2, por lo que: µ = 14 ⋅ 1 = 7 σ = 14⋅ 1 1y ⋅ = 3. 5 = 1.8722 2Si X representa el número de águilas, se debe calcular P( 3 ≤ X ≤ 6). Dadoque la distribución normal se define sobre variables aleatorias continuas, debemosexpresar los valores discretos, esto es, enteros, en una forma continua o decimal,con lo que la expresión discreta P( 3 ≤ X ≤ 6)puede transformarse en laexpresión continua P( 2. 5 ≤ X ≤ 6. 5). Entonces, se procede a estandarizar los valores2.5 y 6.5:2.5− 7z 1= = -2.4064 , que puede redondearse a –2.41 y1.877.5− 7z 2= = 0.2674 , que puede redondearse a 0.27.1.87En consecuencia, P( 2. 5 ≤ x ≤ 6. 5)se transforma en su equivalente normalizadaP( −2. 41≤ a ≤ 0. 27)= 0.4920+0.1064 = 0.5984 ó 59.84% .

U n i da d i i i . D i st r i buciones de probabilida d pa r a va r i a bles ale ato r i a sReactivos de autoevaluaciónSelecciona la respuesta correcta.Supóngase que X es una variable aleatoria asociada al iq de alumnos de una universidad. Si X se distribuyecomo una normal con media µ =100 y desviación estándar σ =10 , es decir, X N( 100, 10 ), calcula mediantetablas de distribución normal las siguientes probabilidades:1. Probabilidad de que el iq de un alumno sea mayora 80 puntos, es decir, P( 80 ≤ x).a) 0.9227b) 0.9297c) 0.97722. Probabilidad de que el iq de un alumno sea mayora 105 puntos, es decir, P( 105 ≤ x).a) 0.3085b) 0.3805c) 0.35083. Probabilidad de que el iq de un alumno sea menora 80 puntos, es decir, P( x ≤ 80 ) .a) 0.0228b) 0.0822c) 0.02824. Probabilidad de que el iq de un alumno sea menora 105 puntos, es decir, P( x ≤105 ) .a) 0.6195b) 0.6519c) 0.69155. Probabilidad de que el iq de un alumno seencuentre entre 105 y 110 puntos, es decir,P( 105 ≤ x ≤ 110).a) 0.1489b) 0.1498c) 0.14846. Probabilidad de que el iq de un alumno seencuentre entre 70 y 80 puntos, es decir,P( 70 ≤ x ≤ 80).a) 0.0215b) 0.0512c) 0.01257. Si se lanza una moneda 14 veces, calcula la probabilidadP de que el número de águilas que aparezcanse encuentre entre dos y cinco.a) 0.1203b) 0.2103c) 0.012387

E sta d í st i ca inferenci a lGlosario88Área bajo la curva: Se refiere al área comprendida entre la gráfica de una funciónf y el eje de la variable independiente x o eje horizontal. Se asocia ala probabilidad de ocurrencia de un evento cuya variable aleatoria X tieneuna función de distribución de probabilidad f. Se calcula mediante la integral∫ f ( x ) dx .Estandarizar: Dentro del contexto de la estadística, significa trasladar los valoresoriginales de un problema relacionado a distribución normal a unaescala estándar X N( 0, 1 ) , con lo que es posible hacer cálculos de probabilidadmediante tablas y evitar así el cálculo de integrales.Integral: En cálculo diferencial e integral, es la operación inversa a la derivada.Dentro del contexto de la probabilidad y la estadística, permite obtenerdiversos valores de interés como es el cálculo de la probabilidad de ocurrenciade eventos asociados a variables aleatorias continuas con una funciónde distribución de probabilidad f.No numerable: En matemáticas, se dice que un conjunto es no numerable si suselementos no son enteros y no se pueden contar de uno en uno. Por ejemplo,el conjunto de todos los números que se encuentran entre uno y ceroes no numerable, dado que entre ambos valores existe un número infinitode valores decimales que no pueden contarse uno a uno.Numerable: En matemáticas, se dice que un conjunto es numerable si sus elementosson enteros y se pueden contar de uno en uno. Por ejemplo, el conjuntode todos los números enteros que se encuentran entre uno y cien es numerable,dado que sus elementos pueden contarse uno a uno {1, 2, 3… 100}.Tablas de distribución normal: Tablas que contienen las probabilidades deocurrencia de eventos asociados a variables aleatorias con distribuciónnormal. El uso de las tablas evita el cálculo de integrales para obtener lasprobabilidades de ocurrencia de eventos con distribución normal, facilitandonotablemente el proceso.Fuentes de informaciónGarcía, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo deCultura Económica.Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística.México: Sociedad Matemática Mexicana.Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-WesleyIberoamericana.Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México:unam.—— (2007). Estadística básica con Excel. México: unam.Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.

U n i da d i i i . D i st r i buciones de probabilida d pa r a va r i a bles ale ato r i a sPanel de verificaciónSelecciona la respuesta correcta.Supóngase que X es una variable aleatoria asociada al iq de alumnos de una universidad. Si X se distribuyecomo una normal con media µ =100 y desviación estándar σ =10 , es decir, X N( 100, 10 ), calcula mediantetablas de distribución normal las siguientes probabilidades:1. Probabilidad de que el iq de un alumno sea mayora 80 puntos, es decir, P( 80 ≤ x).a) 0.9227b) 0.9297c) 0.97722. Probabilidad de que el iq de un alumno sea mayora 105 puntos, es decir, P( 105 ≤ x).a) 0.3085b) 0.3805c) 0.35083. Probabilidad de que el iq de un alumno sea menora 80 puntos, es decir, P( x ≤ 80 ) .a) 0.0228b) 0.0822c) 0.02824. Probabilidad de que el iq de un alumno sea menora 105 puntos, es decir, P( x ≤105 ) .a) 0.6195b) 0.6519c) 0.69155. Probabilidad de que el iq de un alumno seencuentre entre 105 y 110 puntos, es decir,P( 105 ≤ x ≤ 110).a) 0.1489b) 0.1498c) 0.14846. Probabilidad de que el iq de un alumno seencuentre entre 70 y 80 puntos, es decir,P( 70 ≤ x ≤ 80).a) 0.0215b) 0.0512c) 0.01257. Si se lanza una moneda 14 veces, calcula la probabilidadP de que el número de águilas que aparezcanse encuentre entre dos y cinco.a) 0.1203b) 0.2103c) 0.012389