Tema 2 – Teletráfico Dimensionado de Sistemas

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTema 2 – TeletráficoDimensionado de SistemasRamón Agüero Calvoramon.agueroc@unican.esEn la elaboración de estos apuntes han contribuido:Ramón Agüero Calvo, Luis Muñoz GutiérrezRamón Agüero Calvo1

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasContenidos Introducción Tráfico Modelo matemático: proceso de Poisson Relación de Little Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas Dimensionado de sistemasRamón Agüero Calvo2

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasContenidos Introducción Tráfico Modelo matemático: proceso de Poisson Relación de Little Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas Dimensionado de sistemasRamón Agüero Calvo3

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas¿Por qué se dimensiona? Las operadores buscan ofrecer a sus clientes un servicio adecuado demanera rentable−No es razonable proporcionar capacidad atendiendo a demandas puntualeselevadas− Por ejemplo: se pretende desplegar una red para unir dos poblaciones con 1000habitantes cada una−⋅⋅Se usa una única línea La solución es muy rentable para el operador, pero el servicioes inaceptable para los usuarios (gran probabilidad de que la línea esté ocupada)Se usan 1000 líneas Los usuarios estarán muy satisfechos (servicio siempredisponible), pero la solución no es rentable para la compañíaEscasez de recursos (por ejemplo en comunicaciones móviles) Se suelen emplear modelos matemáticos para llevar a cabo este diseño−−−−Líneas de salida en una centralita# de canales en un sistema TDM (conmutación de circuitos)# de operadores en un sistema de atención al clienteTambién se emplea en otros campos (electrónica…)Ramón Agüero Calvo4

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasDimensionado de redes de comunicaciones Evolución de las llamadas entrantes a una centralita durante un díaLlamadas en cursoHora Cargada Puede depender de variosfactores−−Localización: zona residencial,de oficinas, etc...Situación temporal: fin desemana, verano, etc...2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 Uso de la hora cargada para el dimensionado−−Uso de recursos en periodos de menor actividad más económicoSe incentiva ‘un balanceo’ de la cargaRamón Agüero Calvo5

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasContenidos Introducción Tráfico Modelo matemático: proceso de Poisson Relación de Little Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas Dimensionado de sistemasRamón Agüero Calvo6

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas¿Qué es el tráfico? La intensidad de tráfico (o simplemente, tráfico) se define como el númeromedio de llamadas en curso en un sistema−También indica el grado de ocupación de los recursos Unidades−−La más empleada es el Erlang, que es una cantidad adimensionalEn USA se emplea en ocasiones los CCS, definido como cientos de segundos dellamada por hora El tráfico (en Erlangs) de un grupo de circuitosA=ChT= λ h−−−−C: número de llamadas en Th: duración media (holding time)T: tiempo de observaciónλ: Tasa de llegadas−Depende del tiempo de observación− Para un único recurso, A ≤ 1Ramón Agüero Calvo7

Tráfico ofrecido (TO, A, ρ)−Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTipos de tráficoEs el volumen de tráfico que se le ofrece a un grupo de circuitos Tráfico cursado (TC, A C )−−−Como es inviable dotar de recursos para todos los potenciales usuarios hay llamadas queno pueden atenderse y se pierdenEl tráfico cursado viene dado por aquellas peticiones que sí pueden atenderseTambién se define como el número medio de recursos (circuitos) ocupados Tráfico perdido (TP, A L )−−−Conjunto de llegadas que no pueden atenderse y se pierdenEspecialmente relevante en conmutación de circuitosTP = TO – TC Tráfico en demora/espera (TD, A D )−−−En ciertos sistemas las llamadas que no pueden atenderse no se pierden, sino que esperan aque haya recursos libresSe suele emplear en el dimensionado de sistemas de conmutación de paquetesEn caso de que la capacidad de almacenamiento sea infinita, no se perdería ninguna llamada(sistema de espera pura)Ramón Agüero Calvo8

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTráfico: cuantificaciónOcupaciónOcupaciónT 1 T 2 T 1 T 2 T 3 T 4T 1Ocupacióntiempo tiempo tiempoTiempo observaciónTiempo observaciónTiempo observación Volumen de tráfico:V Tráfico= ∑T ii Intensidad de tráfico (Tráfico):ITráfico=VTTráficoobs=∑iTTobsi−Para 1 único circuito da idea del porcentaje de ocupación del mismo (% deltiempo en el que está ocupado) En las tres anteriores medidas el tráfico es el mismo−Se podría tener en cuenta la sobrecarga debida al mayor número de llamadas Las medidas se realizan en la hora cargadaRamón Agüero Calvo9

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTráfico: cuantificaciónN(t) N(t) se define como el total decircuitos ocupados−Representa el tráficoinstantáneo54321Ocupacióncircuitos En el ejemplo de la figura−A = 2 Erlangstiempotiempo−ISu valor medio representa laintensidad de tráfico El tráfico también se puedemedir a partir de la ocupaciónindividual de los circuitos−TráficoI=VTTráficoobs=1TobsEl volumen total es la suma delos volúmenes individualesTráfico=1Tobs∫T obs∑( VTráfico)jN(t)dtcircuito jRamón Agüero Calvo10

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasGrado de Servicio El Grado de Servico (Grade of Service, GoS) da idea de la “calidad” queperciben los usuarios Depende fuertemente del tipo de sistema− En sistemas con pérdida, se define como la probabilidad de pérdida (oprobabilidad de congestión)−⋅Coincide con la probabilidad de que un usuario, al realizar una llamada, se encuentre elsistema sin recursosEn sistemas de demora se suele relacionar con la probabilidad de esperar paradisponer de un recurso⋅GoS =Llamadas perdidasLlamadas ofrecidasGoS =También se puede definir como el tiempo medio de espera antes de obtener un recursopara cursar la llamadaTPTORamón Agüero Calvo11

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasContenidos Introducción Tráfico Modelo matemático: proceso de Poisson Relación de Little Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas Dimensionado de sistemasRamón Agüero Calvo12

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasIntroducción Habitualmente se utilizan modelos matemáticos que caractericen lasllamadas en el sistema El proceso de Poisson es uno de los más empleados en el ámbito de lastelecomunicaciones−También se usa en otros campos: fenómenos electrón/hueco, ruido de “shot”… El modelo básico de tráfico que se utilizará viene determinado por lassiguientes tres características−−−El número de llegadas en un tiempo determinado sigue una distribución dePoissonLa duración de las llamadas sigue una función densidad de probabilidad (fdp)exponencial negativaLa tasa de llegadas al sistema es constante (proceso estacionario)Ramón Agüero Calvo13

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasProceso de Poisson Se considera un intervalo T = m ∆t, las probabilidades de que llegue unallamada en cada uno de los m intervalos son independientes El número total de llegadas en el intervalo T sigue una distribución binomial−PrTeniendo en cuenta que:⎛m⎞k{ k llegadas en T} pk q m −= ⎜ ⎟⎛m⎞⎜ ⎟ =⎝ k ⎠k!m!( m − k)!⎝ k ⎠=( −1...) ( m − k + 1)m mk!km≈k!m >> kPrk{ k llegadas en T} ( λ∆t) ( 1 − λ∆t)( λT)kkmm−k⎛ λ= = 1 −k!k!⎜⎝T ⎞⎟m ⎠m−k− Tomando límites (m ∞)Pr{ k llegadas en T} = Pk( T)=k( λT) −λTk!eRamón Agüero Calvo15

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasProceso de Poisson: media y varianza Valor medio (número medio de llamadas en T)KT= E P∞[ ( T)] = k·P (T) = k ( λT)k∑k=0k∞∑k=0ek!−λTk= λT Varianzaσ2K T2222[ ( T)] − ( K ) = k ·P (T) − ( λ T) = λT= E PKT ∑ ∞k=0k Notar que el cociente entre la varianza y la media es la unidad para eltráfico de Poisson−Este parámetro da idea del tipo de tráfico: suave, a ráfagas o aleatorioRamón Agüero Calvo16

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTiempo entre llegadas Se define la variable aleatoria τ como el tiempo entre llegadas consecutivasOrigen de tiemposaleatoriotPrimerallegada La probabilidad de que τ sea mayor que t coincide con la probabilidad deque no se produzcan llegadas en t…Pr Luego la función de distribución de la variable aleatoria τ se puede definircomo...−λF t = Pr τ ≤ t = 1−eτ−λt{ τ > t} = P ( t) =0e( ) { }t Y la función densidad de probabilidad se obtiene derivando la anterior…fτdF (t)dtτλ t( t) = = λe−Ramón Agüero Calvo17

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTiempo entre llegadas El proceso de Poisson implica que el tiempo entre llegadas consecutivossigue una distribución exponencial negativaλ1λe −λt1−e−λ tFunción densidad de probabilidadtFunción de distribución de probabilidadt Media y varianza (distribución exponencial)E∞( τ ) t·f ( t)= ∫ τdt = ∫ t· λe0∞0−λtdt=1λσ0∞ 22 ⎛ 1 ⎞ −λt( t -τ) fτ( t) dt = ⎜t- ⎟ λedt2∞2 1τ == ∫ ∫⎝0λ ⎠λRamón Agüero Calvo18

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTiempo entre llegadas La característica más importante de la distribución exponencial es que es‘sin memoria’ De esta manera, el ‘pasado’ en la evolución de la variable no tiene ningunainfluencia en los valores futuros− Se considera que se ha producido una llegada en t = 0−En t = t 0 se observa que no se ha producido ninguna llegada aún− ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca una llegada a partir de t 0 en t?PrPr[ τ ≤ t + t | τ > t ][ τ ≤ t + t | τ > t ]00=Pr[ t0< τ ≤ t + t0]Pr[ τ > t ]0=Pr−λ( t+t0)−λt0( 1−e ) − ( 1−e )−λt0( 1−e )[ τ ≤ t + t0] −Pr[ τ < t0]Pr[ τ > t ]0−λt( 1−e ) −λt−λt00 0=== 1−e−λt1−[ τ ≤ t + t | τ > t ] = Pr[ τ t]Pr00≤ee0Ramón Agüero Calvo19

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTiempo entre llegadas Propiedad “sin memoria” de la distribución exponencialλ ( t-t 0 )λe −λtλe −λt Notar que: Pr[ τ ≤ t + ∆t | τ > t]= 1−e−λ∆t⎛= 1−⎜1−λ∆t⎝+( λ∆t)2!2⎞−...⎟⎠= λ∆t+o( ∆t)Proceso llegadasPoisson−Se demuestra que lacorrespondencia…Proceso llegadas PoissonTasa de llegadasconstanteTiempo entre llegadasexponencialTiempo entre llegadasexponenciales cierta en ambos sentidosRamón Agüero Calvo20

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSuma de dos procesos de Poisson Otra importante característica del proceso de Poisson es que la suma deprocesos independientes dan como resultado otro proceso de PoissonProcesoPoisson AProcesoPoisson Bλ Aλ BProceso Z El tiempo entre llamadas de losprocesos A y B siguen distribucionesexponenciales[ τ ≤ t]−λBt[ τ ≤ t] = 1−e Analicemos la probabilidad de que el tiempo entre dos llamadasconsecutivas de cualquier proceso sea mayor de tPr[ τ > t] = Pr[ τ > t, τ > t] = Pr[ τ > t] ·Pr[ τ > t]ZABindependenciaAB(A)(B)=PrPr= 1−e−λtTiempo entre llegadasexponencial, con tasa λ A +λ BA=e−λtA·e−λtB=e−( λ + λ )tABProceso Z Poisson con tasaλ Z = λ A +λ BRamón Agüero Calvo21

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTiempo de servicio exponencial Se ha asumido que el tiempo de servicio (t s ) o duración de las llamadas enel sistema sigue una distribución exponencial, con media 1/µ Se supone un sistema donde siempre hay llamadas para ser servidasesperando La variable aleatoria r (t s ) se modela con una distribución exponencialfRr( r) = µ e−µ Teniendo en cuenta la correspondencia anterior, la variable aleatoria‘Número de llamadas completadas en un tiempo t’ seguirá una distribuciónde Poissont s ‘r’Cola(llamadas siempreesperando)SalidaSalidas delsistemaProceso dePoissontiempoRamón Agüero Calvo22

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasTiempo de servicio exponencial Un resultado interesante es la distribución de la variable aleatoria definidacomo la mínima de variables aleatorias exponenciales (independientesentre sí) Se define la va Z como:Z = min{ X,Y} Entonces, su función de distribución será…F (z) = PrZ=−{ Z ≤ z} = Pr{ [ X ≤ z] ∪ [ Y ≤ z]} = Pr{ X ≤ z} + Pr{ Y ≤ z} −Pr{ [ X ≤ z] ∩ [ Y ≤ z]}−µxz−µYzPr{ X ≤ z} + Pr{ Y ≤ z} −Pr{ X ≤ z }·Pr{ Y ≤ z} = ( 1−e ) + ( 1−e )−µXz−µYz−( µ x + µ Y )z( 1−e )( 1−e ) = 1−e Z también está distribuida exponencialmente, con media (µ x +µ y ) -1independencia−=Ramón Agüero Calvo23

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasContenidos Introducción Tráfico Modelo matemático: proceso de Poisson Relación de Little Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas Dimensionado de sistemasRamón Agüero Calvo24

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasPlanteamiento Se considera un sistema como sigue:A(t)ColaD(t)Servicio Y se definen las siguientes variables−−−−A(t): número de llegadas acumuladas al sistema en tD(t): número de salidas acumuladas al sistema en tL(t) = A(t) – D(t), número de elementos en el sistema en tiempo tN(τ) es el número total de llegadas en un intervalo cualquiera τ Se asumirá una estrategia FIFO, aunque el resultado es el mismo si seusan otras disciplinas Se asume que todas las llamadas serán eventualmente atendidasRamón Agüero Calvo25

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas21654321LlegadasSalidasL(t)A(t)D(t)w 1 =0w 6w 5w 2w 4w 3Demostracióntiempotiempotiempotiempo Se definen los tiempos deespera de cada llamada enla cola como w i Es fácil ver que…( )τ N τ∫ L(t)dt = ∑0j=1w Además, el valor medio de Len el intervalo τ es…L1τ( τ ) = ∫ Y el tiempo medio deespera…W( τ )=τ01N( τ )jL(t)dtN( τ )∑j=1w jRamón Agüero Calvo26

Por tanto, se puede escribir que…Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasDemostración Definiendo la tasa de entrada al sistema promedio como…se llega al siguiente resultado…( τ ) τ = W( τ ) N( τ ) → L( τ ) W( τ )L =( )λ τ Si se toman límites y se supone que todas las variables tienden a un valorconstante, se llega a la relación de Little: L = Wλ( τ )τ La relación de Little se puede extender para incluir al elemento que cursalos servicios (siempre que no haya pérdida de llamadas)=( τ )τN( τ ) W( τ ) λ( τ )L =NRamón Agüero Calvo27

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasContenidos Introducción Tráfico Modelo matemático: proceso de Poisson Relación de Little Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas Dimensionado de sistemasRamón Agüero Calvo28

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasIntroducción Proceso estocástico: conjunto de variables aleatorias que dependen deltiempo X(t) Una cadena de Markov es un proceso estocástico discreto−−−−El sistema puede encontrarse en un conjunto de estadosEl estado, en un instante t n , sólo depende del estado inmediatamente anterior yno de cómo se llegara a élLa evolución futura del sistema sólo depende del estado actualSe suelen representar y analizar a través de las matrices de transición(probabilidades de pasar de un estado a otro) Los procesos de nacimiento y muerte son cadenas de Markov en las quesólo es posible pasar de un estado al posterior (nacimiento) o al anterior(muerte) En los problemas de dimensionado se utilizan procesos de nacimiento ymuerte, en los que cada estado representa, por ejemplo, el número declientes en el sistemaRamón Agüero Calvo29

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasProcesos de nacimiento y muerte Analicemos las posibles transiciones en un intervalo ∆t del estado delsistema Calculemos la probabilidad de queen t+∆t el sistema esté en el estadoN+1Muerte (2)N (o que haya N usuarios en elSin cambio (1)mismo) (2) En t estaba en el estado N+1−Ha habido una muerte y no se ha producido ningún nacimiento en ∆t (3) En t estaba en el estado N-1−NN-1tNacimiento (3)t + ∆tNtiempo (1) En t estaba en el estado ‘N’− (a) No ha habido ningún nacimiento,ni ninguna muerte en ∆t− (b) Se ha producido un nacimiento,pero también una muerte en ∆tSe ha producido un nacimiento y no ha habido ninguna muerte en ∆tRamón Agüero Calvo30

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasProcesos de nacimiento y muerte La tasas de nacimiento y muerte en el estado j serán, respectivamente, λ j yµ j Luego la probabilidad del estado ‘N’ en t+ ∆t, P N (t+ ∆t), vendrá dada por:PN( t + ∆t) = P ( t) [( 1−∆t)( 1−µ ∆t) + o( ∆t)] + P ( t) [ λ ∆t µ ∆t + o( ∆t)]N+ P+ PN+1N−1( t) [ µ ∆t( 1−λ ∆t) + o( ∆t)]N+1( t) [ λ ∆t( 1−µ ∆t) + o( ∆t)]N−1N+1N−1 Despreciando términos en o(∆t)…PPλ + (1)NN( t + ∆t) = P ( t) [ 1−( λ + µ ) ∆t] + P ( t)[ µ ∆t] P ( t)[ λ ∆t]PNNN N N+ 1 N+1+N−1N-1NN( t + ∆t) −PN( t) = { −PN( t) [( λN+ µN)] + PN+ 1( t)[ µN+1] + PN−1( t)[ λN-1]}( t + ∆t) −PN( t)= −P( t) [( λ + µ )] + P ( t)[ µ ] + P ( t)[ λ ]∆tNNNN+1+NN+1NNN−1N-1∆t(2)(3)Ramón Agüero Calvo31

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasProcesos de nacimiento y muerte Recordemos la definición de derivada…( t + ∆t) −P( t)PNNP′ N( t)=→ P′NN N N N+ 1 N+1+ λN−1 N−1∆t Si asumimos que estamos en el régimen estacionario, P N (t) es constante(P N ), por lo que la derivada, P’ N (t), es cero Se tiene finalmente que…( t) = −( λ + µ ) P ( t) + µ P ( t) P ( t)( λN+ µN) PN= µN+ 1PN+1+ λN−1PN−1Ecuación de Equilibrio(flujo de salida = flujo de entrada)λ 0 λ 1 λ N-2λ N-1λ N λ N+1µ 1 µ 2µ N-1 µ N µ N+1 µ N+2Ramón Agüero Calvo32

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasProceso de nacimiento y muerte Se pueden utilizar otras ecuaciones de balance…λ 0 λ 1 λ N-2λ N-1λ N λ N+1µ 1 µ 2µ N-1 µ N µ N+1 µ N+2µ P = λ P → P =NNN-1N-1NλµN-1NPN-1 Sucesivamente podríamos llegar aP N= P 0λN∏ − 1ii= 0 µi+1 Además se requiere que la suma de todas las probabilidades sea 1∞∑k=0Pk= 1 →P0+∞∑P0∏k=1k−1λiµi= 0 i+1= 1 →P0=1+∞∑∏k=11k−1λiµi= 0 i+1Ramón Agüero Calvo33

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasAplicación al dimensionado de sistemas A partir de las probabilidades de estar en cada estado se derivan losparámetros necesarios para caracterizar el sistema Cada sistema en particular viene definido por las tasas de nacimiento ymuerte de cada estado y por otros parámetros adicionales Se emplea la notación de Kendall (A/B/C/D/E/F)−−−A: Distribución de llegadas al sistema⋅Cuando se trata de un proceso de Poisson, se utiliza la letra M (memoryless)B: Distribución de los servicios⋅Si es una variable aleatoria exponencial, también se emplea la letra M (memoryless)C: Número de servidores (recursos) disponibles− D: Número de estados en el sistema (si no se indica se asume que es ∞)⋅⋅La diferencia entre D y C suele asociarse con las posiciones en el subsistema deespera del sistemaCuando es ∞, se trata de un sistema de espera pura (no hay pérdida)− E: Número de fuentes (si no se indica se asume que es ∞)−F: Disciplina de la cola (si no se indica se asume FIFO)Ramón Agüero Calvo34

Se trata de un sistema en el que...−Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasCola M/M/1Las llamadas siguen un proceso de Poisson de intensidad λ− La distribución del tiempo de servicio es exponencial, con media 1/µ−−Sólo hay un único servidor para atender las peticionesLa cola de espera es infinita, así que no hay pérdida Para plantear el diagrama de estados…−−La tasa de nacimiento no depende del estado actual (Proceso de Poisson)Como sólo hay un único servidor, la tasa de muerte será la misma para todos losestados (µ)λλλλλλµµµµµµRamón Agüero Calvo35

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasCola M/M/1 Planteando la ecuación de equilibrio y asumiendo que el tráfico es ρ=λ/µ…λµ2µ PN= λPN-1→ PN= PN-1= ρPN-1= ρ PN-2= ... =Nρ P0 Además la suma de las probabilidades de estar en cada estado tiene queser la unidad…∞∑k=0Pk= 1→∞∑k=0kP ρ0= 1→P0=∞∑k=01kρ= 1−ρρ < 1 Con lo que finalmente se obtiene la probabilidad de cada uno de los estadosque forman parte de la colaPN=( 1 ρ )Nρ -Ramón Agüero Calvo36

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasCola M/M/1 A partir de dicho resultado se puede caracterizar el sistema…−−−Número medio de clientes en el sistema∞∞∞= ⎛ ⎞= ρ ( − ρ ) = ρ( − ρ) ρ = ρ( − ρ ) ⎜ ∑∞kk-1 d kN ∑kPk∑k1 1 ∑k1ρ ⎟ =k=0 k=0k=0dρ⎝ k=0 ⎠d ⎛ 1 ⎞ ρ= ρ( 1−ρ ) ⎜ ⎟ =dρ⎝1−ρ ⎠ 1−ρNúmero medio de clientes en la colaNw∞∞kt+1( k -1P ) = ( k -1) ρ ( 1−ρ ) = tρ( 1−ρ )= ∑ ∑ ∑kk= 1k=1t=012ρ− ρTiempo medio en el sistema y en la cola, aplicando la relación de Little∞=W SWWN= =λρ 1 1=1−ρ λ µ − λ2NWρ 1 ρ= = =λ 1−ρ λ µ − λ1 ρWS − WW= − =µ − λ µ − λ1µRamón Agüero Calvo37

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasContenidos Introducción Tráfico Modelo matemático: proceso de Poisson Relación de Little Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas Dimensionado de sistemasRamón Agüero Calvo38

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema con pérdidas: M/M/S/S Se dispone de una población infinita que genera llamadas−Tasa de llamadas constante (λ) Proceso de Poisson Las llamadas son cursadas por un grupo de S circuitos No hay sistema de espera−Cuando una llamada entrante encuentra todos los circuitos ocupados se pierde Se supone que la duración de cada llamada sigue una distribuciónexponencial negativa, con media 1/µPoblación ∞TO12TCλ121/µ1/µTPSS1/µRamón Agüero Calvo39

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema con pérdidas: M/M/S/S En este caso el número de estados en el sistema es finito (S)−−La tasa de nacimiento es constante (proceso de Poisson y población infinita)La tasa de muerte de cada estado es k·µ (ya que en cada estado puede finalizarcualquiera de las k llamadas en curso)λ λ λ λ λ λµ (i-1)µ iµ (i+1)µ (i+2)µ Sµ2λ AAiµ Pi= λPi-1→ Pi= Pi-1= Pi-1= ⋯⋯ = Pi-2= ⋯⋯=iµii( i −1)λµ P = λP→ P = P = P( i −1)i-1i-2i-1Aii-2 i-2( i -1) µ -1Ai!iP0Ramón Agüero Calvo40

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema con pérdidas: M/M/S/S Luego la probabilidad de estar en cada estado será…S∑k=0PkAS k= 1 → ∑P0= 1 → P0=Sk=0 k! La probabilidad de bloqueo es la probabilidad de que una llamada entrantese encuentre el sistema ocupado (P S )Fórmula “Erlang-B”EB(S,A) Número medio unidades en el sistema (coincide con el tráfico cursado)∑k=01Akk!SAPB = PS= S!S kA∑k!kSS AS kS-1 t+1S t1 A 1 A A AN = k!⎡∑kPk= ∑k=SS ∑ =SSA A ( k -1! )∑ = ⎢ ∑jjjA t!jk=0 k=0k 1t 0 A ⎣ t 0 t!∑===j! ∑ j! ∑ j! ∑ j!j=0j=0j=0k=0j=0Pi= S∑k=0SA−S!iAi!A⎤⎥⎦kk!= A 1( −PB)Ramón Agüero Calvo41

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema con pérdidas: M/M/S/S Como es un sistema con pérdidas, la relación de Little no se puede aplicardirectamente−Uso de la tasa de llegadas cursada La fórmula de Erlang-B se emplea a través de gráficas y tablas, aunque sepuede resolver recursivamenteA( ) = S!( )EB S,A → =S kS ∑=S-1A EB(S,A) A k=0 k! EB(S -1,A) A ∑k=∑k=0Sk!1S!SAk( S − )1S -1!S kS-1 k SS-1k1 S! A S! A A S 1! A S 111EB(S,A)= ⎧⎫S ∑ =S ⎨∑+ ⎬ = ∑ + =+S−1A k=0 k! A ⎩ k=0 k! S! ⎭ A A k=0 k! A EB( S −1,A)S-10kAk!1EB(S,A)S + A·EB S=A·EB S( −1,A)( −1,A)→EB(S,A)=A·EB SS + A·EB S( −1,A)( −1,A)Ramón Agüero Calvo42

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema con pérdidas: M/M/S/SS = 1Probabilidad bloqueo10 -110 -2S = 2510 -30 2 4 6 8 10 12 14 16100Tráfico ofrecido (Erlangs)Ramón Agüero Calvo43

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema con pérdidas: M/M/S/S El GoS se asocia a la probabilidad de pérdida (PB)−−−Para la misma ocupación de circuitos, la probabilidad de encontrar todosocupados es menor a medida que crece el número de circuitosPara una GoS constante, la eficiencia por circuito crece con el TOEs mejor concentrar el tráfico en un solo grupo, que dividirlo en variosServidores necesarios2825221916131074PB 0.002PB 0.02PB 0.210 2 4 6 8 10 12 14 16Tráfico ofrecido (Erlangs)Tráfico cursado por circuito10.90.80.70.60.50.40.30.20.1PB 0.002PB 0.02PB 0.200 2 4 6 8 10 12 14 16Tráfico ofrecido (Erlangs)Ramón Agüero Calvo44

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema con pérdidas: M/M/S/S Deterioro del GoS frente a % de sobrecarga−−Se puede ver que afecta en mayor medida a los grupos de circuitos grandesSe especifican dos criterios de diseño: uno para carga normal y otro para ciertonivel de sobrecarga0.02S=100S=50Probabilidad de bloqueo0.0150.010.005S=25S=20S=15S=10S=500% 5% 10% 15% 20% 25%Porcentaje de sobrecargaRamón Agüero Calvo45

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema de espera pura: M/M/S Se dispone de una población infinita que genera llamadas−Tasa de llamadas constante (λ) Proceso de Poisson Las llamadas son cursadas por un grupo de S circuitos Se asume que hay sistema de espera (con longitud infinita)−Cuando una llamada entrante encuentra todos los circuitos ocupados esperahasta que quede alguno libre Se supone que la duración de cada llamada sigue una distribuciónexponencial negativa, con media 1/µPoblación∞TOCola∞12TC=TOλ121/µ1/µSS1/µRamón Agüero Calvo46

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema de espera pura: M/M/S En este caso el número de estados en el sistema es infinito−−−La tasa de nacimiento es constante (proceso de Poisson y población infinita)La tasa de muerte de cada estado es k·µ hasta el estado S, ya que puede finalizarcualquiera de las k llamadas en cursoA partir del estado S, la tasa de muerte es S·µ, ya que sólo hay S llamadas encurso (el resto están esperando)λ λλ λ λ λ λµ iµ (S-1)µ Sµ Sµ SµSµ Sµ Para i ≤ S (no se está en el subsistema de espera)2λ AAiµ Pi= λPi-1→ Pi= Pi-1= Pi-1= ⋯⋯ = Pi-2= ⋯⋯=iµii( i −1)λµ P = λP→ P = P = P( i −1)i-1i-2i-1Ramón Agüero CalvoAii-2 i-2( i -1) µ -1Ai!iP047

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema de espera pura: M/M/S Para i > S (subsistema de espera)2λ AASµ PS+ j= λPS+ j-1→ PS+ j= PS+ j-1= PS+ j-1= ⋯⋯ = P2 S+j-2= ⋯⋯=SµSSλ ASµPS+ j-1= λPS+ j-2→ PS+ j-1= PS+ j-2= PS+ j-2SµSASjjPS−Como S+j = i… Luego…Pi=ASi−Si−SPS=⎧⎨P⎩S=SAS!P0⎫⎬⎭=ASi−Si−SSAS!P0=iAS!Si−SP0Pi=i⎧ A⎪ P0i!⎨i⎪A1⎪Pi−S⎩S!S0i ≤ Si > SRamón Agüero Calvo48

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema de espera pura: M/M/S Como la suma de todas las probabilidades tiene que ser 1…∞∑k=0P∞k∑k=S+1= 1kAS!→1k−SSPk=S+1kAk!A ⎞⎟S ⎠k=S+1k−SSAS! Tenemos finalmente que…S∑k=0=∞0∑⎛⎜⎝+∞∑P0kAS!SA=S!1k−S∞S∑t=0⎛⎜⎝= 1A ⎞⎟S ⎠A < St+1→SA=S!P0AS1−AS=S∑k=0kAk!+1SAS!AS1−ASPii⎧ A⎪⎪i!⎪= ⎨i⎪A1⎪ i−⎪S! S⎪⎩S∑k=0SkAk!S∑k=0+kAk!1SAS!1SA+S!AS − AAS − Ai ≤ Si > SRamón Agüero Calvo49

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema de espera pura: M/M/S ¿Cuál es la probabilidad de esperar (PD)?PD=∞∑k=SPk=∞∑k=SP0SAS!⎛⎜⎝AS⎞⎟⎠k−S= P0SAS!∞∑t=0⎛⎜⎝tA ⎞⎟S ⎠== P0SAS!SS − A=S∑k=0SA SS! S − Ak SA A A+k! S! S − AFórmula “Erlang-C”EC(S,A) Número medio de unidades en la cola…NW=∞∑k=S( k - S) P = P ( k - S)k∞∑0k=SSAS!⎛⎜⎝AS⎞⎟⎠k−S= P0SAS!∞∑t=0t⎛ A ⎞t⎜⎟⎝ S ⎠= P0SAS!AS∞∑t=0⎛ A ⎞t⎜⎟⎝ S ⎠t-1== P0SAS!ASdd∞∑AS= PASASd⎛⎜ 11−⎝⎞⎟= P= EC(S,A)0( A S) S! d( A S) ⎜ A ⎟02S! ( ) S − At=0⎛⎜⎝⎞⎟⎠tS ⎠ASAS11−ASARamón Agüero Calvo50

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema de espera pura: M/M/S La fórmula de Erlang-C se puede relacionar con la de Erlang-B−Para evitar tener que realizar factoriales, se puede resolver la de Erlang-B demanera recursiva y utilizar esta relación para resolver la fórmula de Erlang-Ccomputacionalmente( )EC S,A==S∑k=0SA SS! S − A =k SA A A+k! S! S − AS·EB S,AS − A + A·EB S,AS∑k=0SAkAk!S!S( S − A)=+ A( ) S·EB(S,A)=( ) S − A( 1−EB( S,A))1EB S,AS( ) ( S − A )+A=Ramón Agüero Calvo51

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema de espera pura: M/M/SS = 1Probabilidad espera10 -110 -2S = 2510 -30 2 4 6 8 10 12 14 1610 0 Tráfico ofrecido (Erlangs)Ramón Agüero Calvo52

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistema de espera pura: M/M/S En un sistema de espera pura, la calidad de servicio viene dada por laprobabilidad de esperar o por el tiempo de espera Aplicando la relación de Little se puede obtener el tiempo medio de esperaen la colaWW=NWλA 1S − A λ( ) = EC( S,A)= EC S,Aµ1S( − A) También se podría emplear la probabilidad de que el tiempo de estancia enla cola de espera fuera mayor de un cierto límitePr−µ( S−A) τ{ Retardo > τ} = e ·EC( S,A)Pr{Retardo > τ | Retardo > 0} Pr{Retardo > 0}Ramón Agüero Calvo53

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistemas con desbordamientoPoblación ∞1TO 1 TC 12NTO 2 = TP 112MProceso Poisson InterrumpidoCongestión enprimer grupoProcesos PoissonCongestión enprimer grupoTC 2tiempo El modelo que se plantea es unapoblación infinita, ofreciendo untráfico de Poisson a un grupo decircuitos de primera elección El tráfico perdido (desbordado) poreste primer grupo de circuitos, seofrece a un segundo grupo decircuitos El tráfico desbordado NO es unproceso de Poisson−−−Las llamadas no son aleatoriascompletamenteCuando una llamada encuentra elprimer grupo completo, es másprobable que la siguiente llamadatambién lo hagaSe trata de un proceso de PoissonINTERRUMPIDORamón Agüero Calvo54

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistemas con desbordamientoRuta alternativa(Desbordamiento)Ruta directa(Elevado uso) El tráfico de desbordamiento no esestrictamente de Poisson Para facilitar el diseño de la red seasume que sí lo es Hay métodos más exactos,basados en obtener un tráfico dePoisson equivalente (p.ej. Rapp) Uso en el diseño de redes decomunicación Los enlaces directos entre nodos(centrales) sólo se establecencuando el tráfico es elevado Rentabilidad Los enlaces directos se diseñanpara que tengan una eficienciaelevada−Supone una pérdida alta Se utilizan caminos alternativos (através de centrales tandem) parael tráfico desbordado Si el tráfico entre dos nodos esbajo no se justifica el uso de unenlace directoRamón Agüero Calvo55

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistemas con desbordamiento Se tiene la red de la figura, y sumatriz de tráfico correspondienteT1 231.Se dimensiona el enlace L 12 a partir de T 12- Número de circuitos necesarios para llegar a unaPB (o eficiencia) objetivo- Se calcula el tráfico desbordado por este grupo decircuitos2.Se calcula el tráfico total ofrecido al enlace L 1T ,como suma del desbordado por L 12 y T 13- Se utiliza para calcular el número de circuitosnecesarios en L 1T (PB objetivo)- Se calcula el tráfico cursado por este grupo decircuitosMatriz de tráfico(ERLANGS)1231 2 3- T 12 T 13- - -- T 32 -3.Se dimensiona el enlace L 3T a partir de T 32- Se calcula el tráfico cursado por L 3T4.Se calcula el tráfico ofrecido a L T2 como sumadel ofrecido de 1 a 2 (T 12 ), desbordado por L 12 ycursado por L 1T y el ofrecido de 3 a 2 (T 32 ) ycursado por L T3- Se usa este tráfico para dimensionar L T2Ramón Agüero Calvo56

Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemasSistemas con desbordamientoT1 23Matriz de tráfico(ERLANGS)1231 2 3-- - -- T 32T 12 T 13-EnlacePBObjetivoTO total# circuitos(Tablas)PB FinalL 12 PB Directa TO 12 =T 12N 12 PB 12 =EB(N 12 ,TO 12 )L 1T PB Final TO 1T =T 13 +T 12·PB 12 N 1T PB 1T =EB(N 1T ,TO 1T )L 3T PB Final TO 3T =T 32N 3T PB 3T =EB(N 3T ,TO 3T )L T3 PB Final TO T3 =T 13· (1-PB 1T ) N 3T PB 3T =EB(N 3T ,TO 3T )TOL T2 =T 12·PB 12·(1-PB 1T ) +T2 PB Final N+T 32·(1-PB 3T )T2 PB T2 =EB(N T2 ,TO T2 )Ramón Agüero Calvo57