Una secuencia cíclica, definida por dos vector<strong>es</strong>(H,T), tiene p+2 component<strong>es</strong> (k =0, …,p +1) yaque d<strong>es</strong>de las etapas p+2 y p+3 no hay movimientode transporte de piezas: H =(h [0] , h [1] ,..., h [p+1] )con h [0] =h 0 ; T =(t [0] , t [1] ,..., t [p+1] ) con t [0] =0 yt [0] i [10]t [k+1] ≥ t [k] +f [k] +e [k]+2,[k+1] k =0,1, ..., p [11]t 0 +C ≥ t [p] +f [p] + e [p]+2,0 [12]t k ≥ 0 k =0, ..., p +1 [13]C ≥ 0 [14]En total, son 3·p+1 r<strong>es</strong>triccion<strong>es</strong>: 2·pde [9] y [10]más p+1 al considerar [11] y [12].Así mismo, considerando dos tanqu<strong>es</strong> consecutivos(i,i +1) y sus cuatro r<strong>es</strong>pectivas etapas asociadas (k,k+1, k+2, k+3), el orden de movimientos vieneprefijado para que se puedan alternar piezas par<strong>es</strong> eimpar<strong>es</strong> (Figura 2).Figura 2Relación entre etapas de dos tanqu<strong>es</strong> consecutivos(caso 2-cíclico)Etapas0 1 2 3 4 5 k k+1 k+2 k+30 1 2Tanqu<strong>es</strong>Si se considera que la grúa tan sólo debe visitar lostanqu<strong>es</strong> 0 y 1, la única secuencia factible de movimientos<strong>es</strong> H =(h 0 , h 2 , h 1 , h 3 ). El primer movimientocon carga (pieza impar) comienza en la etapa 0 (tanque0) y acaba en la etapa 2 (tanque 1). La pieza paren la etapa 1 (tanque 0) no puede moverse al tanque1 porque ya <strong>es</strong>tá ocupado por la anterior pieza.Es obligado el movimiento con carga d<strong>es</strong>de la etapa2 (tanque 1). Entonc<strong>es</strong>, ya <strong>es</strong> posible mover la piezapar d<strong>es</strong>de la etapa 1 (tanque 0) a la 3 (tanque 1). Denuevo, no puede moverse la pieza impar d<strong>es</strong>de laetapa 0 (tanque 0). Así pu<strong>es</strong>, el último de los cuatromovimientos <strong>es</strong> d<strong>es</strong>de la etapa 3 (tanque 1). A <strong>es</strong>tacondición la llamaremos de subsecuencias coherent<strong>es</strong>.Dicha condición también aparece en Lei y Liu(2001).Para añadir un nuevo tanque al modelo, al crear losvértic<strong>es</strong> d<strong>es</strong>cendient<strong>es</strong> en el branch-and- bound, seañaden las dos siguient<strong>es</strong> etapas a las ya consideradas.En <strong>es</strong>e momento, sabiendo que se trata de permutacion<strong>es</strong>circular<strong>es</strong>, las cuatro últimas etapas en lalínea parcial considerada deben cumplir el equivalentea la misma condición d<strong>es</strong>crita para los tanqu<strong>es</strong>0 y 1.4. Procedimiento de r<strong>es</strong>oluciónbranch-and-boundi i+1Uno de los métodos para alcanzar una solución óptimaen un problema <strong>es</strong> el branch-and-bound. En <strong>es</strong>tecaso, el d<strong>es</strong>arrollo del árbol implica el alargamientode la línea con un nuevo tanque (y sus etapas asociadas)r<strong>es</strong>pecto al vector H del nodo del nivel inmediatament<strong>es</strong>uperior. La construcción de <strong>es</strong>te tipode árbol ya se define en Shapiro y Nuttle (1988).4.1. Definición y r<strong>es</strong>olución de nodosEl número de nivel<strong>es</strong> del árbol coincide con los tanqu<strong>es</strong>del proc<strong>es</strong>o, m. El nodo raíz <strong>es</strong>tá formado porla secuencia H =(h 0 , h 2 , h 1 , h 3 ), único orden coherentepara los tanqu<strong>es</strong> 0 y 1.26
Sea un vértice de nivel r (r =2,…,m), definido poruna permutación de los movimientos asignados a lasprimeras 2·(r+1) etapas. Su secuencia H [v][r]=(h [0] ,...,h l ,...,h [2r+1] ) corr<strong>es</strong>ponde a una permutacióntal que {h [0] =h 0 , h l | l =1,2,...,2r +1} y h l debe r<strong>es</strong>petarlas condicion<strong>es</strong> de subsecuencias coherent<strong>es</strong>. Elsubíndice v indica en qué orden aparece el nodo enel algoritmo.Para r<strong>es</strong>olver la secuencia de cada nodo, se planteaun grafo con las 3p +1 r<strong>es</strong>triccion<strong>es</strong> [9]-[12] bajo unmismo patrón, para repr<strong>es</strong>entarlas como arcos (Mateoet al., 2002):t Gto(q) –t Gfrom(q) ≥ G time(q) +G cycle(q)·C q =1, ..., 3p +1 [15]Los cuatro vector<strong>es</strong> de 3p +1 component<strong>es</strong> del patrónse llaman, r<strong>es</strong>pectivamente:4.2. Ramificación y acotaciónPara la ramificación, si v <strong>es</strong> un nodo de nivel r (r
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