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1.2 Representación gráfica: módulo y argumento 15
Nota 1.2
Las operaciones suma y producto de números complejos satisfacen las propiedades
habituales de asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento
neutro, elemento simétrico (el opuesto en el caso de la suma y el inverso en el
caso del producto) y propiedad distributiva del producto respecto de la suma
(véase el apéndice A). Como consecuencia, C, al igual que R ó Q, tiene estructura
de cuerpo conmutativo. Sin embargo es importante notar que, si bien R
y Q son cuerpos ordenados (con la relación de orden ≤), C no lo es, es decir,
no tiene sentido la expresión z 1 ≤ z 2 para z 1 , z 2 ∈ C (salvo que sean números
reales).
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA: MÓDULO Y ARGUMENTO
Un número complejo z = α+iβ puede considerarse como un par ordenado de
números reales (α, β). Estamos acostumbrados a representar geométricamente
un par de este tipo como puntos en el plano cartesiano, siendo α la abscisa y
β la ordenada. Así pues, la identificación entre el número complejo z y el par
(Re(z), Im(z)) nos permite representar gráficamente un número complejo como
un punto del plano, que denominaremos plano complejo, 4 en el que el eje de
abscisas pasa a llamarse eje real y el eje de ordenadas eje imaginario (ver
figura 1.1a).
Alternativamente, podemos representar también los números complejos como
vectores en el plano, de manera que el número complejo z = α + iβ puede
identificarse con el vector que une los puntos (0, 0) con (α, β) en el plano (ver
figura 1.1b). Esta otra representación permite identificar elementos importantes
de un número complejo como son su módulo y su argumento.
Definición 1.4
Dado un número complejo z = α+iβ se define su módulo, que se notará como
|z|, por
|z| = √ zz = √ α 2 + β 2
Como se puede observar, el módulo de un número complejo coincide con el
módulo del vector (la longitud) que lo representa (ver figura 1.1b), y es igual a
4 También conocido como plano de Argand, aunque en realidad fue el noruego Caspar Wessel
en 1796 el primero que mostraba esta representación gráfica de los números complejos.