algebralineal2

2.3 Sistemas de ecuaciones lineales 47
(ii) Si A es invertible, sabemos que AA −1
traspuestas
= I n , de modo que calculando
(AA −1 ) T = I T n = I n
Por otro lado, (AA −1 ) T = (A −1 ) T A T como vimos en (iv) de la Proposición
2.4. Es decir, el producto de A T con (A −1 ) T es la matriz identidad,
por tanto una es la inversa de la otra.
El paso siguiente consiste en encontrar una forma de calcular inversas de
matrices. El primer método que vamos a ver, el método de Gauss, probablemente
es ya conocido por el lector. Para recordarlo, haremos una breve incursión en
los sistemas de ecuaciones lineales, que retomaremos con mayor detenimiento
en el tema siguiente.
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Posiblemente, el ejemplo más habitual del uso de matrices está en la representación
de sistemas de ecuaciones lineales, cuya definición damos a continuación.
Definición 2.9
Se denomina sistema de ecuaciones lineal de m ecuaciones con n incógnitas
a una expresión del tipo siguiente:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
⎫⎪
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2 ⎬
(2.1)
.
⎪
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b ⎭
m
donde los a ij son denominados coeficientes, x i son las incógnitas y b i el término
independiente.
Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen frecuentemente en la resolución
numérica de ecuaciones en derivadas parciales, en el planteamiento de problemas
que provienen de la Física, la Economía, etc. En el tema 3 abordaremos
cuestiones relacionadas con la resolución de este tipo de sistemas. De momento
nos bastará con definir qué entendemos por solución de un sistema.