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1.3 Forma trigonométrica y forma polar 19
Definición 1.6
A la expresión (1.2) se le denomina forma trigonométrica de un número
complejo.
Definición 1.7
Dado θ ∈ R, se define e iθ = cos θ + i sen θ, que se conoce como fórmula de
Euler.
Si ahora usamos (1.2) se tiene
z = |z|e iθ , θ ∈ arg(z) (1.3)
Definición 1.8
A la expresión (1.3) se le denomina forma polar 5 de un número complejo.
La forma polar de los números complejos facilita la multiplicación y división
de los mismos gracias a las propiedades de la exponencial. Así, si z 1 = r 1 e iθ1 y
z 2 = r 2 e iθ2 entonces
z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ1+θ2) z 1
, = r 1
e i(θ1−θ2)
z 2 r 2
Esto nos permite representar gráficamente el producto y el cociente de números
complejos. Así, el producto de dos números complejos tiene como módulo, el
producto de los módulos, y como argumento, la suma de los argumentos. Es
decir, si z, w ∈ C\{0} entonces
arg(zw) = arg(z) + arg(w)
No obstante es importante resaltar que la igualdad anterior es una igualdad
entre conjuntos. 6 Es decir, se verifica que
arg(z 2 ) = arg(z) + arg(z)
pero este hecho no es cierto para los argumentos principales. Por ejemplo,
Arg((−i) 2 ) = Arg(−1) = π pero Arg(−i) + Arg(−i) = −π.
5 En ocasiones, para un número complejo escrito en forma polar como z = re iθ se usa la
notación z = r θ , en la que es habitual expresar el argumento en grados.
6 Dados dos conjuntos A y B, se define la suma A + B como el conjunto A + B = {a + b :
a ∈ A, b ∈ B}