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2.1 Matrices: primeras definiciones 39
Es decir, podemos sumar matrices siempre que ambas tengan el mismo orden,
y la matriz suma se obtiene sumando los elementos que están en la misma
posición. Por otro lado, el producto de una matriz por un escalar es otra matriz
en la que cada elemento está multiplicado por ese número.
Ejemplo 2.3
Dadas las matrices
Ü ê
1 0
A =
1 1
0 2
, B =
Ü ê
0 0
1 0
0 1
∈ M 3×2 (R)
entonces
Ü ê
Ü ê
1 0
2 0
A + B = 2 1 , 2A = 2 2
0 3
0 4
Los siguientes dos resultados establecen propiedades elementales de la suma
y del producto por un escalar. Las demostraciones de estos resultados son
consecuencia inmediata de la definición y de las correspondientes propiedades
del cuerpo K.
Proposición 2.1 (Propiedades de la suma de matrices)
Si A, B, C ∈ M m×n (K), se verifican las siguientes propiedades:
(i) Conmutativa: A + B = B + A
(ii) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
(iii) Elemento neutro: existe una única matriz 0 ∈ M m×n (K) tal que A + 0 =
A, ∀A ∈ M m×n (K), que se denomina matriz nula y cuyos elementos son
todos cero.
(iv) Elemento opuesto o simétrico: para cada matriz A ∈ M m×n (K) existe una
única matriz D tal que A + D = 0. Se notará D = −A.
En consecuencia, el par (M m×n (K), +) es un grupo conmutativo (véase el
Apéndice A).