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2.2 Inversa de una matriz 45
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INVERSA DE UNA MATRIZ
Es sabido que el inverso de un escalar es otro escalar tal que, al multiplicar
por éste, se obtiene el elemento neutro de la multiplicación, es decir, el uno.
De forma similar podemos definir la inversa de una matriz, teniendo presente
que el elemento neutro del producto es la matriz identidad (véase (iv) de la
Proposición 2.3).
Definición 2.8
Dada una matriz cuadrada A ∈ M n (K), se dice que la matriz B ∈ M n (K)
es su inversa si AB = BA = I n , donde I n ∈ M n (K) es la matriz identidad. Se
notará B = A −1 .
Si existe una tal matriz se dirá que A es regular o invertible. En caso contrario
se dirá que A es singular.
Nótese que la inversa solo está definida para matrices cuadradas, y como
muestra el siguiente ejemplo, no siempre existe.
Ejemplo 2.6
(i) Las matrices
A =
( )
2 3
2 2
y B =
( )
−1
3
2
1 −1
verifican que AB = BA = I 2 (el lector puede comprobarlo fácilmente), de
manera que B = A −1 (o también A = B −1 ).
( )
1 0
(ii) Sin embargo, la matriz A = no posee inversa, pues si existiera
0 0
( )
a b
una tal matriz B = , se debería verificar
c d
lo que es imposible.
( ) ( ) ( )
1 0 a b a b
I 2 = AB =
=
0 0 c d 0 0