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2.1 Matrices: primeras definiciones 43
El producto de matrices verifica las siguientes propiedades:
Proposición 2.3 (Propiedades del producto de matrices)
Se verifican las siguientes propiedades (siempre que los productos sean posibles):
(i) Asociativa: A(BC) = (AB)C
(ii) Distributiva respecto de la suma:
(por la izquierda):
(por la derecha):
(B + C)A = BA + CA
A(B + C) = AB + AC
(iii) Distributiva respecto del producto por escalar:
(αA)B = A(αB) = α(AB)
(iv) Elemento neutro: se verifica I m A = A, AI n = A, ∀A ∈ M m×n (K),
donde las matrices I n , I m son las matrices identidad de órdenes n y m,
respectivamente.
La demostración de estas propiedades se basa exclusivamente en las definiciones
de las operaciones correspondientes, aunque resulta un poco tediosa. A
modo de ilustración, probaremos la asociatividad.
Demostración:
(i) Consideremos las matrices
A = (a ij ) 1≤i≤m , B = (b jk ) 1≤j≤n
1≤j≤n
1≤k≤p
y
C = (c kl ) 1≤k≤p
1≤l≤q
Nótese que los órdenes de las matrices deben ser los adecuados, pues en caso
contrario no se podrían realizar los productos. Veamos que el elemento il de la
matriz A(BC) es igual al elemento il de la matriz (AB)C.
Observemos que el elemento il de A(BC) se obtiene al multiplicar la fila i
de A por la columna l de BC. Así pues, concentrémonos en BC. Sus elementos
(BC) jl se obtienen (por definición) como:
p∑
(BC) jl = b ik c kl
Si ahora calculamos A(BC),
((A(BC)) il
=
n∑
a ij (BC) jl =
j=1
n∑
k=1
j=1
a ij
( p∑
k=1
b ik c kl
)
=
n∑
j=1 k=1
p∑
a ij b ik c kl