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1.2 Representación gráfica: módulo y argumento 17
Para la demostración véanse los ejercicios 20 y 21.
Atendiendo a la figura 1.1b, para cada número complejo z ∈ C\{0} también
podemos considerar el ángulo θ que forma el vector que define z con el semieje
real positivo. Este ángulo se toma en radianes y se usa el criterio habitual
de signos, que considera ángulos positivos los recorridos en sentido antihorario
y ángulos negativos los del sentido horario. Entonces, la conocidas relaciones
trigonométricas conducen a
Re(z) = |z| cos θ, Im(z) = |z| sen θ (1.1)
Debido a la periodicidad de las funciones reales trigonométricas, la igualdad
anterior sigue siendo válida para θ + 2kπ, para cada k ∈ Z. Teniendo esto
presente podemos dar la siguiente definición:
Definición 1.5
Dado un número complejo z = α + iβ ≠ 0 se define el argumento de z, y se
notará por arg(z), al conjunto
arg(z) = {θ ∈ R : α = |z| cos θ, β = |z| sen θ}
El argumento de 0 no está definido.
Se denomina argumento principal de z ∈ C\{0}, y se notará por Arg(z), al
único número θ ∈ arg(z) tal que −π < θ ≤ π.
Es importante resaltar el carácter no unívoco del argumento de un número
complejo. Es decir, el argumento no es un único valor, sino un conjunto de ellos.
Este hecho tiene importantes consecuencias en la definición de ciertas funciones
complejas (que no serán tratadas en este texto) y en el cálculo de raíces que
veremos en la sección 1.4.
Nota 1.4
Gracias a la representación gráfica, la operación de conjugación puede verse
de forma sencilla en términos del módulo y el argumento. Más concretamente,
el conjugado de un número complejo corresponde a un vector simétrico respecto
del eje real, por lo tanto posee el mismo módulo y opuesto argumento, es decir,
|z| = |z|,
arg(z) = − arg(z)
Del mismo modo, la suma de números complejos corresponde a la suma de
vectores que el lector conocerá de cursos anteriores, la conocida como regla del
paralelogramo.