algebralineal2

1.4 Potencia y raíz n-ésima de un número complejo 21
(a) z 5 = 1 (b) z 8 = 1
Figura 1.3: Raíces de la unidad
Las raíces aparecen representadas en la figura 1.3b.
Ejemplo 1.5
¿Cuáles de los siguientes números complejos 1 + i, −1 + i, −1 − i y 1 − i son
raíces décimas de 32i?
Si escribimos cada uno de estos números en forma polar,
1 + i = √ 2e i π 4 , −1 + i =
√
2e
i 3π 4 , −1 − i =
√
2e
−i 3π 4 , 1 − i =
√
2e
−i π 4
calcular su potencia décima es fácil:
(1 + i) 10 = 32e i 5π 2 = 32i, (−1 + i) 10 = 32e i 15π
2 = −32i,
(−1 − i) 10 15π −i
= 32e 2 = 32i, (1 − i) 10 = 32e −i 5π 4 = −32i.
Luego los números buscados son 1+i y −1−i. Nótese que al tratarse del cálculo
de potencias naturales no es necesario tener en cuenta todos los argumentos a
diferencia de lo que ocurre cuando calculamos raíces.
Para finalizar, daremos un resultado que será de vital importancia en el
tema 6 y que afirma que C es un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, que