algebralineal2

1.7 Ejercicios 33
Problemas
E.9 Escribir en forma cartesiana los números
(1 + √ 3i) 3
( √ 3 + i) 2 , i501 + i 600 ,
∑
100
i k
k=0
Indicación: para el último usar la fórmula
n∑
k=0
a k = 1 − an+1
1 − a
E.10 ¿En qué cuadrante se encuentran los siguientes números?
(2000e 3π 4 i + 1) 7 , (5000e 9π 7 i + 2) 11
E.11 Sea z ∈ C tal que z 6 = −64, Re(z) < 0 y Im(z) < 0. Calcular z 4 .
E.12 Calcular w = (1 − i) 12 z −1 , donde z es tal que z 4 + 1 = 0, Re(z) > 0 y
Im(z) > 0.
E.13 Si x ∈ R y n ∈ N, calcula el valor de
Å ã 1 + cos x + i sen x n
1 + cos x − i sen x
E.14 Determinar los números complejos que satisfacen:
(a) z = |z| (b) z = z 2
E.15 Halla las números complejos que forman los vértices de un hexágono
regular de centro el origen, sabiendo que tiene uno de sus vértices en el número
i.
E.16 Describe los conjuntos de números complejos que satisfacen las ecuaciones:
(a) |z| ≤ 3 (b) |z − i| > 2
⋆ (c) |z + 1| + |z − 1| = 4
∣
* E.17 Encontrar el lugar geométrico descrito por la ecuación ∣ = 2.
Ejercicios teóricos
E.18 Probar que para cada z ∈ C,
Re(z) = z + z
2 , Im(z) = z − z
2i
∣ z+1
z−1
E.19 Demostrar la Proposición 1.1.
E.20 Probar (i)–(iv) de la Proposición 1.2.
* E.21 En este ejercicio se pretende demostrar la desigualdad triangular (véase
(v) de la Proposición 1.2). Para ello:
(a) Probar que 2αβ ≤ α 2 + β 2 , ∀α, β ∈ R.