Ver/Abrir - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional

INST TITUTOO 

POL LITÉCNNICO 

NACIO N ONAL 

SSECCIÓN 

N DE ESTTUDIOS 

DDE 

POSGGRADO 

E INVEST TIGACIÓÓN 

ESIMEE-ZACATTENCO 

“MMODEELACIIÓN 

DDEL 

COOMPO 

ORTAAMIEN 

NTO DDE 

CAPAS 

DDURAAS 

BAJOO 

CARRGAS 

S DE IINDENNTACCIÓN” 

TESSIS 

PARA A OBTENNER 

EL GRADO G DE DOC CTOR EN N CIENCCIAS 

CON ESPECIAALIDAD 

EN INGGENIERÍAA 

MECÁÁNICA 

AALUMNOO: 

AALFONNSO 

MENESSES 

AM MADOOR 

DIREECTOR 

DDE 

TESISS: 

JOSÉ MMARTÍNEEZ 

TRINIDAD 

MAYOO 

2011

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL, ESIME ZACATENCO 

Dedicatoria 

A mi familia y amigos. 

ALFONSO MENESES AMADOR 4


Agradecimientos 

Al Conacyt, a la SEPI IPN ESIME Zacatenco 

Al Dr. José Martínez Trinidad. 

Al Dr. Iván Enrique Campos Silva 

Dr. Orlando Susarrey Huerta 

Dr. Alexander Balankin 

Dr. Ulises Figueroa López 

Dr. Didier Samayoa Ochoa. 


TABLA DE CONTENIDO 


Tabla de Contenido 6 

Glosario de Símbolos 9 

Índice de Tablas 14 

Índice de Figuras 15 

Resumen 19 

Abstract 20 

Objetivo General 21 

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN 

1.1 Proceso termoquímico de borurización 22 

1.2 Prueba de nanoindentación 24 

1.3 Esfuerzos residuales 26 

1.4 Fractura por indentación 27 

1.4.1 Tenacidad a la fractura por indentación Vickers 29 

1.5 Definición del problema 31 

CAPITULO II REVISIÓN LITERARIA 

2.1 Técnica de nanoindentación 33 

2.1.1 Indentador piramidal y cónico 33 

2.1.2 Indentación instrumentada 34 

2.1.2.1 Análisis de la curva de descarga de una gráfica carga‐ 

desplazamiento 36 

2.2 Campo de esfuerzos por indentación 40 

2.3 Tenacidad a la fractura por indentación 45 

2.3.1 Modelo de M.T. Laugier 46 

2.3.2 Modelo de K. Niihara 47 

2.3.3 Modelo de D.K. Shetty, I.G. Wight, P.N. Mincer y A.H. Clauer 47 

2.3.4 Modelo de Niihara, Morena y Hasselman 47 

2.4 Principio de superposición. 49 



2.5 Análisis dimensional 51 

2.5.1 Cantidades físicas, unidades y dimensiones 52 

2.5.2 Leyes físicas y relaciones 52 

2.5.2.1 Etapas de análisis dimensional 53 

CAPÍTULO III ESTIMACIÓN DE ESFUERZOS RESIDUALES POR LA PRUEBA 

DE NANOINDENTACIÓN 

3.1 Procedimiento experimental 55 

3.1.1 Tratamiento termoquímico de borurado 55 

3.1.2 Prueba de nanoindentación 57 

3.2 Resistencia a la cedencia de la interfase capa Fe2B‐sustrato de un 

acero borurado AISI 1018 58 

3.2.1 Exponente de endurecimiento por deformación 59 

3.3 Esfuerzos residuales de la zona de interfase capa Fe2B‐sustrato de un 

acero borurado AISI 1018 60 

3.3.1 Análisis dimensional de la curva de carga en una gráfica carga‐ 

desplazamiento bajo carga de indentación 61 

3.3.2 Método del elemento finito 67 

3.3.3 Construcción del modelo de elemento finito para la prueba de 

nanoindentación 68 

CAPÍTULO IV ESTIMACIÓN DE TENACIDAD A LA FRACTURA DE CAPAS 

Fe2B POR INDENTACIÓN VICKERS 

4.1 Prueba de indentación Vickers 70 

4.2 Agrietamiento debido a cargas de indentación 71 

4.3 Metodología para el análisis de fractura por indentación Vickers 73 

4.3.1 Análisis dimensional del factor de intensidad de esfuerzo por 

indentación Vickers 75 

4.4 Modelo de elemento finito para la estimación del estado de 

esfuerzos residuales debido a cargas de indentación Vickers 77 

4.5 Modelo de elemento finito para el agrietamiento radial debido a 

cargas d indentación Vickers 79 


CAPITULO V ANÁLISIS DE RESULTADOS 


5.1 Dureza y módulo de elasticidad mediante la prueba de 

nanoindentación (experimental) 81 

5.2 Resistencia a la cedencia y coeficiente de endurecimiento por 

deformación en base a la prueba de nanoindentación 82 

5.3 Estimación de esfuerzos residuales por nanoindentación. 85 

5.3.1 Evaluación numérica de la influencia de esfuerzos residuales 

sobre la gráfica carga‐desplazamiento de superficies endurecidas por 

difusión de boro 86 

5.4 Estado de esfuerzos residuales debido a cargas de indentación 

Vickers 95 

5.5 Análisis del factor de intensidad de esfuerzos de grietas radiales 

debido a cargas de indentación Vickers. 98 

Conclusiones 107 

Trabajos futuros 109 

Referencias 110 



GLOSARIO DE SÍMBOLOS 

a 

Mitad de la diagonal de indentación 

ABAQUS Programa de cálculo por elementos finitos 

AISI − 1018 (American Iron and Steel Institute) Instituto americano del acero 

y del hierro, acero con 0.18% en peso de carbono 

ASTM (American Standars of Testing Materials) Estándares 

Americanos de pruebas de materiales. 

at % 

(atomic percent) Contenido atómico en porcentaje 

Au Átomo de oro 

A316L Acero inoxidable ASTM 

B Constante que caracteriza la extensión de la zona plástica durante la 

prueba de indentación 

c Suma de a+ l (mitad de la diagonal de indentación y longitud de 

grieta) 

C Factor de proporcionalidad en la curva carga-desplazamiento 

C θ 

Función de la geometría del indentador 

CAX 4R 

Elemento axisimétrico de cuatro nodos 

CVD Depósito químico de vapor 

C3D8R Elemento continuo de tres dimensiones y ocho nodos 

C3D20R Elemento continuo de tres dimensiones y veinte nodos 

d Diagonales de la indentación 

E Módulo de elasticidad o de Young 

E * 

Módulo de elasticidad reducido 

En15R Acero débilmente aleado 

f Factor de densificación 


F Fuerza 

Fe Átomo de hierro 

2 


FeB, Fe B Boruros de hierro con diferente relación estequiométrica 

Fe( N ) 

Nitruros de hierro con distinta relación estequiométrica 

G Factor de restricción 

GHP Grietas de forma Half-Penny 

GR Grietas de forma radial 

h Desplazamiento 

H Dureza 

h Distancia del lado del contacto a la superficie de la muestra en la 

a 

carga máxima 

h Desplazamiento elástico durante la descarga 

e 

h Profundidad de la impresión residual 

f 

h Profundidad de la superficie de la muestra original en la máxima 

max 

carga 

hkl Índices de Miller 

HSS Acero rápido 

H Dureza Vickers 

V 

I Constate que depende del material en la ecuación de Oliver y Pharr 

ISE Efectos del tamaño de indentación, por sus siglas en inglés 

K Factor de intensidad de esfuerzos crítico o tenacidad a la 

IC 

fractura en modo I de agrietamiento 

K Factor de intensidad de esfuerzos 

K r 

K Matriz de rigidez 

T 

Coeficiente de resistencia en la curva esfuerzo-deformación 


KBF Criolita 

4 

l Longitud de grieta 

L Longitud 


n Exponente de endurecimiento por deformación 

Ni Átomo de níquel 

m Superíndice de la ecuación de Oliver y Pharr 

M Masa 

MEF Método del elemento finito 

P Carga 

P Carga máxima de indentación 

max 

p Presión de contacto media 

m 

PVD Depósito físico de vapor (Physical Vapour Deposition) 

r Radio del circulo de contacto 

S Rigidez de contacto 

Si Átomo de silicio 

SIF Factor de intensidad de esfuerzos 

t Tiempo de tratamiento final 

0 

T Tiempo 

Ti Átomo de titanio 

TiN Recubrimiento duro 

TP Tratamiento termoquímico con polvos 

TPACK Tratamiento termoquímico en paquete 

TPASTA Tratamiento termoquímico con pasta 


TS Tratamiento termoquímico con sales 


VIF Tenacidad a la fractura por indentación Vickers 

WC − Co Carburo cementado 

wt % 

Contenido en peso en porcentaje (weight percent) 

α − Fe Hierro alfa, o ferrita 

γ − Fe Hierro gamma, o austenita 

v Relación de Poisson 

° C 

Grados Celsius 

θ Angulo de la cara del indentador 

α Angulo del indentador cónico 

β Factor de corrección en la prueba de nanoindentación 

δ Deformación debido a cargas de indentación 

ε Deformaciones 

ε Deformación representativa 

rep 

σ Resistencia a la cedencia 

y 

σ Esfuerzo representativo 

rep 

σ Resistencia a la cedencia efectiva 

y* 

σ Esfuerzo residual térmico 

res 

σ t 

σ θ 

Esfuerzo radial 

Esfuerzo circunferencial 

σ ( x) 

Estado de esfuerzos residual debido a cargas de indentación 

σ Esfuerzo principal perpendicular al plano de la grieta 

22 

∆ u 

Incremento del desplazamiento 



∏ Función de análisis dimensional para evaluación de esfuerzos 

α 

residuales 

∏ Función de análisis dimensional para evaluación de factor de 

β 

intensidad de esfuerzos 

∏ Argumento de análisis dimensional 

1 

∏ 2 

Argumento de análisis dimensional 


ÍNDICE DE TABLAS 


Tabla 3.1 Composición química del acero AISI-1018 55 

Tabla 3.2. Espesores de capa de acero borurado AISI 1018 para 1000°C y 

4,6 y 8h de tiempo de exposición 

56 

Tabla 3.3 Parámetros de la capa Fe2B del acero borurado AISI 1018 

utilizados para el modelo de MEF de la prueba de nanoindentación 

69 

Tabla 5.1. Valores obtenidos de la prueba experimental de nanoindentación 

para los diferentes tiempos de tratamiento y 100mN de carga aplicada 

82 

Tabla 5.2. Resistencia a la cedencia (σy) de la interfase Fe2B-sustrato del 

acero borurado AISI 1018 

83 

Tabla 5.3. Coeficiente de endurecimiento por deformación n de la interfase 

Fe2B-sustrato del acero borurado AISI 1018 

84 

Tabla 5.4. Parámetros de la zona de interfase Fe2B-sustrato del acero 

borurado AISI 1018 utilizados para el análisis dimensional 

91 

Tabla 5.5. Esfuerzos residuales de la interfase de la capa Fe2B-sustrato del 

acero borurado AISI 1018 a 1000°C y 4,6 y 8h de tiempo de exposición 

93 

Tabla 5.6. Propiedades elásticas para la simulación de la prueba de 

indentación Vickers 

95 

Tabla 5.7. Coeficientes de la formulación para estimar tenacidad a la fractura 

de capas boruradas Fe2B 

103 


ÍNDICE DE FIGURAS 


Fig. 1.1 Sistema de agrietamiento para indentadores Vickers: (a) grietas 

radiales, (b) grietas laterales, (c) grietas median, (d) grietas half-penny 

27 

Fig. 1.2 Sistema de coordenadas de una indentación aguda 27 

Fig. 1.3 Esquema de grieta radial y half-penny 

Fig. 1.4 Diagrama de flujo del análisis de la prueba de nanoindentación 

30 

sobre superficies endurecidas por difusión de boro 32 

Fig. 1.5 Diagrama de flujo del análisis de la prueba de indentación 

Vickers sobre superficies endurecidas por difusión de boro 

32 

Fig. 2.1 Indentador a)Vickers, b)Berkovich 33 

Fig. 2.2 Esquema indentador cónico 

Fig. 2.3 (a) Esquema del indentador y la geometría de la superficie de la 

34 

muestra en carga completa y descarga completa para un indentador 

cónico. (b) Curva carga-desplazamiento para carga elastoplástica 

seguida de descarga elástica 

35 

Fig. 2.4 Geometría de zona plástica para indentadores cónicos 

axisimétricos de semi-ángulo α 

37 

Fig.2.5 Sistema de coordenadas y esquema de indentación para un 

indentador agudo 

41 

Fig. 2.6 Distribución de esfuerzos axisimétricos fuera de la zona plástica 

calculados por las formulas 2.27 a 2.30. (a) σr, (b)σθ (c) σφ 

44 

Fig. 2.7 Parámetros de grieta para indentadores (a) Vickers y (b) 

Berkovich. 

Fig. 2.8 (a) Grieta interna en un sólido cargado con un esfuerzo externo. 

45 

(b) Grieta cerrada por la aplicación de una distribución de tracciones 

superficiales F. (c) Grieta interna cargada con tracciones superficiales FA 

y FB 

Fig. 3.1 Vistas de la sección transversal del acero borurado AISI 1018 

49 

con 1000ºC de temperatura y (a) 4h (b) 6h y (c) 8h de tiempo de 

exposición 

Fig. 3.2 Representación gráfica de las nanoindentaciones realizadas 

56 

sobre la interfase entre la capa Fe2B y el sustrato de un acero AISI-1018 

endurecido superficialmente por el tratamiento termoquímico de 

borurización 

57 

Fig. 3.3 Equipo de Nanoindentación MCS NTH 57 

Fig. 3.4 Curva carga-desplazamiento de un material elasto-plástico 62 

Fig. 3.5 Esquema del comportamiento de un material isotrópico con 

endurecimiento por deformación sometido a carga de tensión uniaxial 

62 

Fig. 3.6 Gráfica para determinar ∏ α de las capas endurecidas por 

difusión de boro 

66 



Fig. 3.7 Esquema del modelo de elemento finito para la prueba de 

nanoindentación 

68 

Fig. 4.1 Microdurometro HVS 1000 70 

Fig. 4.2 Esquema del sistema de grietas half-penny y grietas radiales por 

indentación Vickers: (a) vista superior (b) vista de la sección A-A 

71 

Fig. 4.3 Esquema de una superficie indentada y la grieta asociada en un 

material frágil 

73 

Fig. 4.4 Técnica de superposición aplicada al problema de agrietamiento 

por indentación Vickers 

74 

Fig. 4.5 Esquema de agrietamiento tipo radial debido a una indentación 

Vickers 

Fig. 4.6 Modelo de MEF para la determinación del estado de esfuerzos 

76 

residual debido a cargas de indentación Vickers (a) Indentador Vickers, 

(b) Muestra de acero borurado AISI 1018 

77 

Fig. 4.7 Malla de la muestra (acero borurado AISI 1018) para el análisis 

de MEF 

77 

Fig. 4.8 Malla del indentador Vickers para el análisis de MEF 78 

Fig 4.9 Ensamble del indentador Vickers y la muestra para el análisis de 

la prueba de indentación Vickers mediante MEF 

78 

Fig. 4.10 Modelo de la grieta para el análisis de elemento finito (a) 

muestra (b) bloque con la grieta radial 

79 

Fig. 4.11 Modelo de la malla de la grieta para el análisis de elemento 

finito (a) muestra (b) bloque con la grieta radial 

79 

Fig. 4.12 Ensamble del bloque de la grieta radial con la muestra para el 

análisis del factor de intensidad de esfuerzos mediante MEF 

80 

Fig. 4.13 Dirección de la extensión de la grieta radial para el análisis del 

factor de intensidad de esfuerzos mediante MEF 

Fig. 5.1 Curva carga-desplazamiento para la zona de interfase Fe2B- 

80 

sustrato del acero borurado AISI 1018 a 1000ºC y 4,6 y 8h de tiempo de 

exposición con 100 mN de carga 

Fig. 5.2 Esfuerzos de Von Mises sobre la interfase Fe2B-sustrato de un 

81 

acero AISI 1018 endurecido superficialmente por difusión de boro en la 

primera etapa de carga de la prueba de nanoindentación 

Fig. 5.3 Esfuerzos de Von Mises sobre la interfase Fe2B-sustrato de uun 

85 

acero AISI 1018 endurecido superficialmente por difusión de boro en la 

segunda etapa de carga de la prueba de nanoindentación 

Fig. 5.4 Indentación sobre capas duras obtenidas por difusión superficial 

86 

de boro en un acero AISI 1018 sujeto a diferentes estados de esfuerzo 

residual con penetración constante de h= 576nm 

Fig. 5.5 Indentación sobre capas duras obtenidas por difusión superficial 

87 

de boro en un acero AISI 1018 sujeto a diferentes estados de esfuerzo 

residual con carga constante de F = 100mN 

87 

Fig. 5.6 Prueba de nanoindentación con presencia de esfuerzos 

residuales 

88 

Fig. 5.7 Esfuerzo residual en la gráfica esfuerzo uniaxial vs deformación 

plástica en una prueba de compresión 

88 



Fig. 5.8 Curva de carga con efecto de esfuerzos residuales de 

compresión 

89 

Fig. 5.9 Curva de carga con efecto de esfuerzos residuales de tensión 90 

Fig. 5.10 Relación entre F/Eh 2 y σ res / σ y* 

de la zona de interfase Fe2Bsustrato 

del acero AISI 1018 endurecido superficialmente por el 

tratamiento termoquímico de borurización 

91 

Fig. 5.11 Relación entre la pendiente γ de la fig. 5.10 y �� /� de la zona 

de interfase Fe2B-sustrato del acero AISI 1018 endurecido 92 

superficialmente por el tratamiento termoquímico de borurización 

Fig. 5.12 Esfuerzos residuales de la interfase Fe2B-sustrato del acero 

borurado AISI 1018 a 1000ºC y 4,6 y 8h de tiempo de exposición y 

100mN de carga en la prueba de nanoindentación 

93 

Fig. 5.13 Representación esquemática de las indentaciones 

desarrolladas en capas duras obtenidas por difusión superficial de boro 

en un acero AISI 1018 

94 

Fig. 5.14 Estado de esfuerzos residuales en capas duras obtenidas por 

difusión superficial de boro en un acero AISI 1018 

Fig. 5.15 Primera etapa de carga para la prueba de indentación Vickers 

94 

sobre un acero borurado AISI 1018 mediante MEF con E/σy = 43 y 50 grs 

de carga 

Fig. 5.16 Segunda etapa de carga para la prueba de indentación Vickers 

95 

sobre un acero borurado AISI 1018 mediante MEF con E/σy = 43 y 50 grs 

de carga 

Fig. 5.17 Primera etapa de carga para la prueba de indentación Vickers 

96 

sobre un acero borurado AISI 1018 mediante MEF con E/σy = 43 y 300 

grs. de carga 

Fig. 5.18 Segunda etapa de carga para la prueba de indentación Vickers 

96 

sobre un acero borurado AISI 1018 mediante MEF con E/σy = 43 y 300 

grs. de carga 

97 

Fig. 5.19 Historial del esfuerzo normal σ22 durante el ciclo de 

carga/descarga en el punto A de la figura 5.18 del análisis de MEF sobre 

la capa borurada 

Fig. 5.20 Aplicación del estado de esfuerzo residual por indentación 

97 

Vickers al modelo de agrietamiento de superficies endurecidas por 

difusión de boro 

98 

Fig. 5.21 Factor de intensidad de esfuerzos normalizada a lo largo de la 

cara frontal de la grieta con E/σy = 35 

99 


cara frontal de la grieta con E/σy =40 

99 



100 



100 



101 



Fig. 5.26 Gráfica del factor de intensidad de esfuerzo critico normalizado 

en función de E/σy y l/ a 

Fig. 5.27 Comparación de Kc normalizada de la ecuación 5.8 con 

ecuación 5.10 para E/σy=35 

Fig. 5.28 Comparación de Kc normalizada de la ecuación 5.8 con 

ecuación 5.10 para E/σy=50 

Fig. 5.29 Gráfica de KIc de la capa Fe2B de un acero borurado AISI1018 

con tiempo de exposición de 4 y 6h a 920°C, 950°C y 1000°C en base la 

ecuación de [53] 


con tiempo de tratamiento de 4 y 6h a 920°C, 950°C y 1000°C en base a 

la ecuación [51] 


con tiempo de tratamiento de 4 y 6h a 920°C, 950°C y 1000°C en base a 

la ecuación 5.8 

ALFONSO MENESES AMADOR 18 

102 

103 

104 

105 

105 

106

RESUMEN 


El presente estudio describe el comportamiento mecánico bajo cargas de indentación que 

muestra la capa Fe2B la cual se forma en la superficie de una muestra de acero AISI 1018 

sometido al tratamiento termoquímico de endurecimiento superficial denominado 

borurización. La técnica de nanoindentación o indentación instrumentada como también es 

conocida y la técnica de fractura por indentación Vickers (VIF) son utilizadas para evaluar 

los esfuerzos residuales en la interfase capa-sustrato y tenacidad a la fractura de la capa 

Fe2B respectivamente. La simulación numérica de la prueba de nanoindentación mediante 

el método del elemento finito junto con el desarrollo experimental de la misma, forman la 

base para desarrollar una formulación numérico-experimental que permite describir 

parámetros mecánicos importantes como lo son: los esfuerzos residuales generados por el 

tratamiento termoquímico de borurización, los cuales influyen directamente en el desarrollo 

de los componentes ingenieriles sometidos a tratamientos de endurecimiento superficial, 

ya que en función de su magnitud y condición (tensión o compresión) aumentan o 

disminuyen la resistencia al desgaste y a la abrasión que presentan tales componentes. 

Por otro lado el agrietamiento surgido en materiales frágiles como es el caso de las capas 

endurecidas por difusión de boro Fe2B, debido a la penetración del indentador durante el 

proceso de indentación Vickers, permite estimar la tenacidad a la fractura de acuerdo a 

diferentes formulaciones empíricas que relacionan el tipo y longitud de agrietamiento con 

la tenacidad a la fractura del material. Sin embargo, dichas formulaciones están basadas 

en materiales específicos que fueron utilizados para extraer el valor de los coeficientes de 

la ecuación, por lo que en este trabajo se desarrolla una formulación que establece una 

mejor aproximación de tenacidad a la fractura de capas boruradas Fe2B; esto se logra 

incorporando el método del elemento finito al análisis dimensional de VIF mediante la 

simulación numérica de la prueba de indentación Vickers con ayuda el programa comercial 

ABAQUS 6.8.2, con la finalidad de obtener una formulación en la cual los coeficientes 

involucrados sean representativos de las capas endurecidas por difusión de boro. 


ABSTRACT 


The present study describes the mechanical behavior under indentation loads of the Fe2B 

layer which is formed on the surface of AISI 1018 steel by the thermochemical treatment of 

boriding. The nanoindentation technique and the Vickers indentation fracture technique are 

used to evaluate the residual stresses in the interface layer-substrate and fracture 

toughness of the Fe2B layer respectively. The numerical simulation of the nanoindentation 

test by means of finite element method and the developed experimental are the bases to 

establish a expression which describes important mechanical parameters such as: residual 

stresses generated for the thermochemical treatment of boriding, which influence directly 

on the behavior of the mechanical components subject to hardness surface treatment, 

because of the fact that in function of their magnitude and type (tension or compression) to 

increase or decrease the wear resistance and abrasion resistance of such mechanical 

components. On the other hand, the cracking in brittle materials like is the case of 

hardness layers by boron diffusion Fe2B, due to the penetration of indenter during the 

Vickers indentation process allows to estimate the fracture toughness by means of different 

empirical formulations, which involve the type and length of the cracks with the fracture 

toughness of materials. However, such formulations are based in specific materials, which 

were used to determine the value of the coefficients of the equation. For all above in this 

work is developed a formulation, which establish a better approximation of the fracture 

toughness of the borided layer Fe2B using the finite element method together with 

dimensional analysis of the Vickers indentation fracture technique by means of numerical 

simulation of the Vickers indentation test with help of the commercial software ABAQUS 

6.8.2, with the goal of obtaining a formulation, which contained representative coefficients 

of the hardness layers by boron diffusion. 


OBJETIVO GENERAL 


Describir el comportamiento mecánico bajo cargas de indentación que muestra la capa 

Fe2B, la cual se forma en la superficie de una muestra de acero AISI 1018 sometido al 

tratamiento termoquímico de endurecimiento superficial denominado borurización. 

OBJETIVOS PARTICULARES 

• Formular una expresión numérica-experimental que estime los esfuerzos residuales 

presentes en la interfase de la capa Fe2B-sustrato de un acero AISI 1018 

endurecido superficialmente por difusión de boro, en base a un análisis dimensional 

de la curva de carga de un diagrama carga-desplazamiento resultado de la prueba 

de nanoindentación, para tener un parámetro cualitativo de la adherencia de la capa 

Fe2B. 

• Proponer una formulación numérico-experimental que estime la tenacidad a la 

fractura de las capas Fe2B de un acero AISI 1018 endurecido superficialmente por 

difusión de boro, a través de un análisis dimensional de la fractura por indentación 

Vickers (VIF) 


INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL, SEPI‐ESIME ZACATENCO 

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 

Una gran variedad de aleaciones ferrosas pueden ser tratadas con boro y esto da una 

gran ventaja al proceso ya que se obtienen aceros de mejor calidad para diversas 

aplicaciones como herramientas de corte, flechas, cojinetes y en general donde se 

necesite una superficie endurecida. 

1.1 PROCESO TERMOQUÍMICO DE BORURIZACIÓN 

La borurización es un tratamiento termoquímico de endurecimiento superficial que consiste 

en la saturación de boro en la superficie de metales y aleaciones con el fin de elevar la 

dureza, la resistencia al desgaste, abrasión y corrosión en componentes ingenieriles 

[1,2,3,4]. Al someter un metal en un ambiente borurante, átomos de boro se difunden en la 

matriz de la superficie metálica para posteriormente colocarse en los intersticios de la red 

del solvente [5,6]. 

Aunque la borurización es un proceso de difusión análogo a la carburización. En la 

carburización existe una transición gradual en la composición entre la superficie rica de 

carbono y el sustrato. Mientras que en la borurización se producen una ó doble capa de 

boruro con una definida composición, por lo que cada una de las capas poseen una 

morfología característica [7]. 

La borurización se puede realiza en diferentes medios como son: polvos, sales, medios 

gaseosos y a base de pasta [5,6,8,9]. El potencial de boro que rodea la muestra es uno de 

los factores de los cuales depende el recubrimiento formado, en donde se ha establecido 

que con potenciales de boro bajos a intermedios se da un crecimiento preferencial de la 

fase Fe2B [10]. La formación de la fase FeB requiere de un alto potencial de boro, aunado 

con la influencia de los elementos de aleación que contiene el acero, especialmente con 

cantidades altas de cromo, níquel y carbono [11]. Además debido al proceso termoquímico 

se forma una zona de transición por debajo la capa borurada de los aceros tratados y el 

boro se encuentra principalmente en solución solida, pero también el exceso de boro 

puede precipitarse y formar borocarburos en la zona de transición [12]. 

La microdureza medida en la escala de Vickers (kg/mm 2 ó Hv) de los boruros formados en 

aceros tratados tratada varia de entre 1900 a 2100 Hv para la fase FeB mientras que para 

la fase Fe2B varia de 1600 a 2000 Hv [10]. Para aplicaciones industriales es preferible 

obtener fases Fe2B en lugar de FeB debido a que las primeras presentan un equilibrio 

entre el incremento de durezas y tenacidad. 



Diferentes estudios se han llevado a cabo sobre el tratamiento de borurización. En [13] se 

estudiaron los efectos del cromo sobre la estructura y las propiedades de las capas 

boruradas, encontrando que existe un incremento en la micro-dureza de la fase borurada 

para concentraciones de cromo de entre 3.5 y 6% masa en polvo. Por otra parte en [14] 

investigaron las características de la formación de capas boruradas sobre aceros aleados 

con silicio, encontrando que la micro-dureza de los boruros permanece prácticamente 

constante en todas las aleaciones que investigaron. 

En [15] se estudia la falla por delaminación de aceros base- Cr recubiertos por capas 

boruradas y se encontró que la adhesión de las capas boruradas decrece con el 

incremento del tiempo y la temperatura debido al incremento de la dureza y a la aparición 

de la capa FeB. La morfología de las capas es aserrada, en donde el grado de 

aserraciones entre la capa y el sustrato depende esencialmente de la cantidad de 

elementos aleantes que contiene el material, generalmente los aceros de baja y media 

aleación, generan capas de mayor aserración, en comparación con los aceros de alta 

aleación, cuyos frentes de crecimiento de las fases boruradas tienden a ser planos [16,17]. 

Materiales ferrosos como: acero estructural, aceros grado maquinaria, aceros grado 

herramienta, aceros colados, hierros y aceros sintetizados; y materiales no ferrosos como: 

níquel, tungsteno, molibdeno, cobalto y titanio pueden ser borurados [18]. 


1.2 PRUEBA DE NANOINDENTACIÓN 


El contacto mecánico tiene una aplicación importante en la llamada indentación 

instrumentada también conocida como “nanoindentación”. En la cual la indentación se 

realiza comúnmente a profundidades de penetración en el rango sub-micro. En este tipo 

de pruebas, se registra simultáneamente la carga aplicada y la profundidad de penetración 

de un indentador, y el registro de estos parámetros se utiliza para determinar 

indirectamente el área de contacto y de acuerdo a formulaciones establecidas es posible 

estimar la dureza de la muestra. Las ecuaciones de contacto también permiten determinar 

el módulo de elasticidad de la muestra. Otras propiedades tales como: tenacidad a la 

fractura, esfuerzo de cedencia y esfuerzo residual también se pueden obtener bajo ciertas 

condiciones [19, 20, 21, 22]. 

El método de nanoindentación instrumentada se basa en la determinación exacta del 

contacto inicial del indentador con la superficie de la muestra (para establecer una 

referencia para el desplazamiento o la medición de la profundidad). Existen correcciones 

para el cumplimiento del marco de carga, para la salida de la forma ideal del indentador, y 

para cuestiones relacionadas con los materiales tales como efectos del tamaño de 

indentación, esfuerzos residuales, etc. [23,24,25]. Aunque el método de nanoindentación 

es ampliamente utilizado sobre capas delgadas a nivel de nano-metros, también es útil 

para muestras en las cuales se necesita medir sobre escalas de micrómetros. Las pruebas 

encuentran aplicación en el campo biológico (dientes y huesos), la industria 

semiconductora, cerámicos, capas delgadas, capas modificadas superficialmente y 

polímeros [26,27,28,29]. 

El indentador Berkovich de tres lados es el más utilizado en pruebas de nanoindentación, 

ya que la punta del indentador es muy aguda y evita la línea de conjunción que 

usualmente se encuentra en los indentadores Vickers. La mitad del ángulo de la cara de 

un indentador Berkovich es 65.27° ≈ 65.3°. Esto da la misma área proyectada para la 

proporción de profundidad que un indentador Vickers de cuatro lados (ángulo de la cara 

68°) por lo que se utiliza la misma formulación para estimar la dureza tanto en 

nanoindentación como en microindentación Vickers [30,31,32]. 

Una punta ideal del indentador Berkovich es infinitamente aguda pero esto es imposible de 

lograr en la práctica. Por lo que usualmente el radio de la punta de un indentador 

Berkovich es del orden de 50-150 nm. 

Simulaciones numéricas y analíticas de pruebas de indentación se han llevado a cabo 

para investigar los mecanismos de deformación y para calcular la dureza del material a 

partir de sus propiedades plásticas. En [33] se aplico el método “slip-line field” a un 

indentador Vickers para obtener la dureza del material. Los resultados teóricos mostraron 

que la dureza o la presión de contacto dependen de la geometría del indentador, la 

resistencia cortante del material y el coeficiente de fricción. 



Sin embargo, las simulaciones numéricas aplicadas al proceso de indentación es reciente 

y el primer trabajo fue posible debido a [34] en 1988. En sus estudios simularon la carga 

contra la profundidad de penetración en la prueba de nanoindentación utilizando el 

método del elemento finito. El resultado muestra que la dureza y el módulo de elasticidad 

se pueden obtener de la curva carga-descarga de la prueba de indentación. 

En [35] se investiga la influencia del modelo de desarrollo de materiales bilineales 

elastoplásticos, simulando numéricamente pruebas de nanoindentación de varios 

materiales sólidos; en el cual se emplea un cono rígido axisimétrico con ángulo de 140.6° 

y volumen igual al indentador piramidal Berkovich para simular la prueba. Los resultados 

de la simulación numérica de carga contra desplazamiento presentaron buena relación 

con respecto a resultados experimentales de pruebas de nanoindentación de materiales 

puros tales como: Fe, Ni y Ti. Por otra parte en [36] se simula la prueba de 

nanoindentación de películas TiN sobre HSS con un indentador Berkovich usando el 

programa comercial ABAQUS con un indentador cónico, para este estudio se realizan dos 

modelos: uno axisimétrico y otro tridimensional, concluyendo que los dos modelos son 

similares y resulta un buen ajuste de la curva carga-desplazamiento. 


1.3 ESFUERZOS RESIDUALES 


Los esfuerzos residuales afectan en gran medida las propiedades de capas superficiales, 

tales como la adhesión, resistencia al desgaste por fricción y la resistencia a la corrosión. 

La vida de servicio de partes cubiertas con dichas capas superficiales depende de la 

distribución y signo de estos esfuerzos. 

La estructura y transformación de fases en la superficie de metales durante la saturación 

por difusión son acompañadas por cambios en el volumen específico, conduciendo a 

esfuerzos residuales. En [37] se estudia el comportamiento de los esfuerzos residuales en 

recubrimientos producidos por difusión mediante borurado electrolítico, encontrando que 

el comportamiento de las curvas de esfuerzos residuales es la misma para aceros con 

diferente composición en el caso de boruro; además que los esfuerzos de compresión más 

altos ocurren en la zona Fe2B, por lo que la formación de esfuerzos residuales 

compresivos y las características de su distribución a través de la profundidad, son debido 

a la diferencia de volúmenes específicos de las fases (Fe2B tiene el más alto volumen 

especifico) ya que cualquier modificación la la estructura conduce a la modificación de la 

distribución de esfuerzos residuales [38,39]. 

La mayor dificultad que restringe el uso del borurado por difusión en la industria es la 

considerable rigidez de los aceros borurados, la cual ampliamente depende de los 

esfuerzos residuales que se encuentran presentes. La forma de los esfuerzos residuales 

resulta de la diferencia entre la deformación térmica de la capa y el sustrato debido a la 

diferencia entre sus coeficientes de expansión térmica [40]. 

Se han llevado a cabo análisis mediante el método del elemento finito para la predicción 

de esfuerzos residuales, como el desarrollado por [41] en el cual se estima la distribución 

de esfuerzos residuales de juntas metal/cerámico utilizando el método de fractura por 

indentación, el método de difracción por rayos X y comparado con el método del elemento 

finito resultando buena aproximación entre dichos metodos. En [43] se llevaron a cabo 

análisis mediante el método del elemento finito de la interacción entre el esfuerzo residual 

y cargas mecánicas, concluyendo que los resultados obtenidos por las simulaciones 

fueron dependientes del tipo de material. 


1.4 FRACTURA POR INDENTACIÓN 


Cuando se utiliza un indentador piramidal la fractura en materiales frágiles ocurre durante 

la carga y descarga. En el proceso de carga, esfuerzos de tensión se generan en la 

muestra conforme el radio de la zona plástica incrementa. En la descarga, esfuerzos 

adicionales surgen conforme el material se deforma elásticamente fuera de la zona 

plástica, intentando volver a su forma original pero no alcanza a recuperarse 

completamente debido a la deformación permanente asociado con la zona plástica. Una 

gran variación ocurre en el número y localización de las grietas con tan solo una pequeña 

variación de los parámetros involucrados, tales como, la forma del indentador, velocidad 

de carga y tipo de material. Sin embargo generalmente, hay tres tipos de grietas que se 

generan para indentadores agudos, las cuales son ilustradas en la Fig. 1.1 

Fig. 1.1 Sistema de agrietamiento para indentadores Vickers: (a) grietas radiales, (b) grietas 

laterales, (c) grietas median, (d) grietas half-penny [44]. 

Fig. 1.2 Sistema de coordenadas de una indentación aguda. 



• Las Grietas Radiales (referidas como grietas Palmqvist debido a que S. 

Palmqvist fue quien las observo y las describió en muestras WC-Co en 1957) son 

grietas tipo half-penny “verticales” [45] que se encuentran sobre la superficie de la 

muestra fuera de la zona plástica y en las esquinas de la impresión residual en el 

sitio de la indentación. Estas grietas radiales son formadas por un esfuerzo 

circunferencial (θ= π/2) y se extienden hacia el interior de la muestra pero 

usualmente son completamente superficiales. 

• Las Grietas laterales son grietas “horizontales” que ocurren debajo de la 

superficie y son simétricas con el eje de carga. Son producidas por un esfuerzo 

de tensión (θ=0) y frecuentemente se extienden a la superficie, resultando en una 

superficie tipo anillo la cual puede conducir a desprendimiento de material de la 

superficie de la muestra. 

• Las grietas median son grietas penny circulares “verticales” que se forman a lo 

largo del eje de simetría debajo de la superficie y tienen una dirección alineada 

con las esquinas de la impresión residual. Dependiendo de las condiciones de 

carga, las grietas tipo median pueden extenderse hacia afuera formando un 

diámetro más grande y juntarse con grietas radiales superficiales, con lo cual se 

forman las grietas half-penny, dichas grietas interceptan la superficie como se 

muestra en la Fig. 1.1 (d), y surgen debido a la acción de un esfuerzo exterior 

(θ= 0). 

De manera particular, en el caso de vidrio (material de prueba) cargado con un indentador 

Vickers las grietas tipo median son las que inician primero. 

Cuando la carga es retirada, el material deformado elásticamente que rodea la grieta 

median no puede recuperar completamente su forma debido a la presencia del material 

deformado plásticamente (el cual deja una impresión residual en la superficie de la 

muestra). Por lo que, esfuerzos residuales de tensión en la dirección normal a la 

superficie producen una grieta lateral “horizontal” la cual puede o no dirigirse hacia arriba 

e interceptar la superficie de la muestra. Para cargas bajas en durante la descarga se 

forman grietas tipo radial, mientras que para cargas altas se forman grietas median las 

cuales se extienden hacia afuera y hacia arriba y pueden juntarse con las grietas radiales 

para formar un sistema de grietas half-penny, que también son nombradas como grietas 

“radial-median”. 

Las grietas laterales y radiales son de particular importancia, ya que debido a su 

proximidad a la superficie tienen una significante influencia sobre la resistencia a la 

fractura de la muestra. Mecanismos de fractura por indentación que se basan en este tipo 

de grietas proveen una medida de tenacidad a la fractura basada en la longitud de las 

grietas radiales de la superficie. 


1.4.1 Tenacidad a la fractura por indentación Vickers 


La aplicación de pruebas de tenacidad a la fractura por indentación Vickers para 

materiales frágiles, ha presentado interés debido a los siguientes puntos. 

• La prueba puede ser aplicada sobre muestras pequeñas de material (nivel micro) 

• La preparación de la muestra es relativamente simple requiriendo solo la provisión 

de una superficie plana y pulida. 

• El indentador de diamante Vickers utilizado para estimar la dureza mediante 

indentación es un dispositivo estándar. 

• En varias circunstancias la longitud de grieta se puede medir ópticamente sin 

demasiada dificultad. 

• Es rápida y de bajo costo. 

Sin embargo las desventajas que presenta la determinación de tenacidad a la fractura por 

indentación son: 

• La exactitud en la medición de la longitud de la grieta y en consecuencia la 

medición de la tenacidad a la fractura. 

• Los modelos de tenacidad a la fractura asumen dos tipos ideales de sistemas de 

grieta (radial y half-penny) durante la prueba de indentación Vickers. 

• La diversidad de ecuaciones de tenacidad a la fractura por indentación reportadas 

en la literatura las cuales son deducidas para características particulares del 

material. 

Los numerosos modelos de fractura por indentación reportados en la literatura se 

clasifican en dos grupos, en un grupo se asume que el agrietamiento que se forma como 

resultado de la indentación Vickers desarrollan una forma de grieta radial-media 

“halfpenny” mientras que el segundo grupo asume que se forma una grietas de la forma 

Palmqvist. 

En [46] utilizaron mecanismos de mecánica de la fractura lineal elástica basadas en la 

solución de Boussinesq para el campo de esfuerzos en un espacio isotrópico lineal 

elástico bajo un punto, considerando en el modelo la propagación de una grieta median 

bien desarrollado asociada a la indentación causada por un indentador agudo. Por otra 

parte en [47] notaron que al final de la formación de las grietas median internas de forma 

penny se aproximan a la forma half-penny y que un sistema de grietas radial-media se 

forman durante la descarga debido a los esfuerzos residuales resultados del desajuste de 

la deformación entre la zona de indentación deformada plásticamente y la matriz elástica 

que la rodea. Además en [48] utilizando datos de tenacidad a la fractura obtenidos 

mediante la técnica de doble torsión para materiales cerámicos comprobaron que la 

fractura de la muestra se produce de acuerdo al modo I (tensión) y que la tenacidad a la 

fractura varia inversamente proporcional con respecto al valor de la dureza .para tensión 



abierta o modo I además que la tenacidad a la fractura aumenta con el decremento de la 

dureza. 

En la referencia [49] resolvieron el campo de esfuerzos elastoplástico que se presenta por 

debajo de la punta del indentador dividiéndolo en dos componentes: elástico reversible y 

residual irreversible. La contribución del primer componente a la propagación de la grieta 

es pequeña en comparación con la del segundo componente, esto como un resultado de 

su naturaleza (reversible). Durante la carga (mitad del ciclo), el componente elástico opera 

fuera de la zona plástica de la indentación. Lo cual propicia el aumento de la propagación 

de la grieta en la sub-superficie (median), suprimiendo la propagación del agrietamiento 

superficial (radial). En la descarga se invierte el comportamiento, ya que se propicia el 

agrietamiento radial y se suprime el agrietamiento median. En esta etapa, el segundo 

componente provee la fuerza para continuar con el agrietamiento radial y median. 

Resultando finalmente, en el equilibrio de la configuración de la grieta half-penny al final de 

la descarga 

En [50] propusieron que para determinar la tenacidad a la fractura de datos de indetación 

c 

Vickers con ≤≈ 3 (donde c es el producto de la suma de la longitud de grieta l mas la 

a 

longitud de la mitad de la diagonal de indentación a )el sistema de grietas es radial en 

lugar de radial-median por lo que la longitud de grieta característica es l en vez de c , por 

lo que se debe utilizar un modelo para grietas radiales para el rango de c/ a entre 1.25 a 

3.5 o en términos de l 

entre 0.25 a 2.5. A partir de considerar sistemas de grietas 

a 

radiales para la determinación de tenacidad a la fractura se dedujeron diferentes 

formulaciones [51], [52], [53], etc. 

Fig. 1.3 Esquema de grieta radial y half-penny 


1.6 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 


Como se puede observar existen varios campos de investigación enfocados al proceso de 

borurización, debido a las ventajas que presenta el endurecimiento de las superficies de 

aceros tratados por este proceso termoquímico, por lo que es necesario involucrar 

técnicas numéricas como lo es el método del elemento finito, para complementar los 

procesos de experimentación y lograr mejores resultados en la estimación de propiedades 

mecánicas de las capas boruradas Fe2B tales como: resistencia a la cedencia, módulo de 

elasticidad, esfuerzos residuales y tenacidad a la fractura, ya que estos parámetros son de 

gran importancia en el estudio de las capas boruradas debido a que influyen directamente 

en la resistencia al desgaste, la adhesión entre la capa y el sustrato, etc.. 

Observaciones experimentales sugieren que no hay una secuencia general de 

agrietamiento por indentación. En el modelo de [54,55] se utiliza un indentador cónico 

axisimétrico. Sin embargo las esquinas de un indentador piramidal juegan un papel 

importante, ya que se producen grietas tipo radial y median durante la prueba de 

indentación Vickers, las cuales se alinean con las esquinas del indentador. El análisis del 

modelo tridimensional con la forma piramidal se lleva a cabo mediante el método del 

elemento finito, ya que un modelo analítico tridimensional con las características 

geométricas del indentador Vickers se complicaría, debido al campo de esfuerzos que se 

genera en la capa borurada por debajo de la punta del indentador 

Por lo que el trabajo está enfocado a la estimación de esfuerzos residuales a través del 

análisis dimensional del proceso de nanoindentación sobre capas endurecidas mediante el 

tratamiento termoquímico de borurización. El método del elemento finito se incluye en el 

trabajo debido a que la formulación por análisis dimensional del proceso de 

nanoindentación, se basa en el estudio del comportamiento de la capa borurada Fe2B bajo 

diferentes magnitudes de esfuerzo residual presentes en la muestra. 

Por otra parte se propone una ecuación que estima la tenacidad a la fractura de las 

capas Fe2B, la cual se deriva a partir del agrietamiento que surge debido a la prueba de 

indentación Vickers, la formulación se logra planteando diferentes longitudes de 

agrietamiento y condiciones del material en la simulación de la prueba de indentación 

Vickers, mediante el método del elemento finito con ayuda del programa comercial 

ABAQUS 6.8.2. 

En las Figs. 1.2 y 1.3 se muestran los diagramas de flujo que presentan el desarrollo del 

presente estudio, el cual está dividido en dos partes principales. La primera parte está 

dirigida a estimar los esfuerzos residuales que pueden ser derivados a partir de los datos 

experimentales de la prueba de nanoindentación. Mientras que la segunda parte se 

encuentra enfocada a la prueba de indentación Vickers y a la formulación de tenacidad a 

la fractura que puede ser estimada a partir de esta prueba. 


Propiedades 

elastoplásticas de 

superficies endurecidas 

por difusión de boro 

Análisis dimensional del 

factor de intensidad de 

esfuerzos por 



PRUEBA DE 

NANOINDENTACIÓN 

Análisis dimensional 

de la gráfica carga‐ 

desplazamiento 

Evaluación numérica 

de la prueba de 


Formulación 

Esfuerzos residuales 

(σres) 

Fig. 1.4 Diagrama de flujo del análisis de la prueba de nanoindentación sobre superficies 

endurecidas por difusión de boro. 

PRUEBA DE 

MICROINDENTACIÓN VICKERS 

Formulación 

Tenacidad a la 

fractura (KIC) 

Fig. 1.5 Diagrama de flujo del análisis de la prueba de indentación Vickers sobre superficies 

endurecidas por difusión de boro. 



CAPÍTULO 2. REVISIÓN LITERARIA 

2.1 TÉCNICA DE NANOINDENTACIÓN 

2.1.1 Indentador piramidal y cónico 

El indentador Berkovich generalmente se utiliza en estudios de indentación de pequeña 

escala (nanómetros), ya que es más fácil hacer que coincidan los tres lados de la pirámide 

en un solo punto, mientras que en el indentador Vickers de cuatro lados se forma una 

línea de conjunción en la intersección de sus lados. El ángulo del vértice del indentador 

Berkovich es 65.27° y del indentador Vickers es de 68° Fig. 2.1. 

a) b) 

Fig.2.1 Indentador a) Vickers, b) Berkovich 

Indentadores cónicos tienes la ventaja de poseer simetría axial, con referencia a la Fig. 2.2 

las áreas proyectadas de contacto equivalentes entre indentadores cónicos e indentadores 

piramidales es: 

Donde: 

A= h 

2 2 

π tan α 

------------------------------------ Ec (2.1) 

h es la profundidad de penetración medida del área de contacto. Para indentadores 

2 

Vickers y Berkovich el área de contacto proyectada es A = 24.5h 

por lo que el ángulo α 

para un indentador cónico equivalente es 70.3°. 



Fig. 2.2. a) Esquema indentador cónico. 

2.1.2 Indentación instrumentada 

El elemento esencial de una prueba de indentación instrumentada es la curva cargadesplazamiento. 

Usualmente, la curva consiste de una parte de carga (que contiene la 

deformación elástica y plástica) seguida por una parte de descarga (usualmente 

completamente elástica). La Fig. 2.3 (a) muestra el esquema de una sección transversal 

de la geometría de indentación, mientras que en la Fig. 2.3 (b) se observa una típica curva 

carga-desplazamiento. En la parte inicial de la respuesta de carga, hay una transición del 

contacto puramente elástico a un contacto plástico aun para un indentador Berkovich. 

Para un contacto elástico inicial, la presión de contacto principal aumenta con el 

incremento de la carga como lo predicen las ecuaciones de contacto de Hertz. En la 

condición de un desarrollo completo en la zona plástica, el nivel de presión de contacto 

promedio se mantiene en un valor constante con el incremento de la carga y este valor de 

la presión de contacto promedio se conoce como dureza. Una vez que la profundidad de 

penetración llega a ser más grande que el radio de la punta, la forma piramidal del 

indentador se convierte en la geometría dominante de la indentación. Por lo que el 

contacto usualmente involucra una apreciable cantidad de deformación plástica dentro de 

la muestra. 



Fig. 2.3 (a) Esquema del indentador y la geometría de la superficie de la muestra en carga 

completa y descarga completa para un indentador cónico. (b) Curva carga-desplazamiento para 

carga elastoplástica seguida de descarga elástica. 

En la Fig. 2.3: h t es la profundidad de la impresión residual, h max es la profundidad de la 

superficie de la muestra original en la máxima carga P max , h e es el desplazamiento elástico 

durante la descarga, y h a es la distancia del lado del contacto a la superficie de la muestra 

en la carga máxima. Durante la carga elástica, la punta del indentador se mueve a través 

de una distancia h e , y el punto eventual de contacto con la superficie de la muestra se 

mueve a través de una distancia h a . 

Para mediciones de dureza, normalmente se selecciona la máxima carga para asegurar el 

desarrollo en la zona plástica sobre la muestra. Sin embargo, se presentan restricciones 

en el caso de pruebas de nanoindentación sobre películas delgadas, ya que se establece 

un límite para la profundidad de penetración total, usualmente menores al 10% del 

espesor de la película (para evitar o reducir la influencia del sustrato). Por esta razón es 

importante tener una punta aguda para pruebas de películas delgadas. Frecuentemente 

en la carga completa se mantiene un periodo de tiempo la carga, debido a los efectos de 

fluencia antes de que el indentador se retire. 

Después de alcanzar la máxima carga, la carga aplicada es reducida y la profundidad de 

penetración resultante se registra. El proceso de descarga usualmente se asume 

completamente elástico. La deformación elástica se presenta durante la descarga y la 

superficie del material intenta recuperar su forma original, pero la presencia de la zona 

plástica evita que suceda la completa recuperación elástica. 



La incompleta recuperación elástica se puede identificar fácilmente sobre la curva cargadesplazamiento 

en la Fig.2.3. El área interceptada entre las curva de carga y descarga 

representan la energía perdida como calor durante la deformación plástica. La pendiente 

de la curva de descarga en cualquier punto se conoce como la rigidez de contacto. 

Para determinar el área de contacto en la máxima carga se utilizan los datos de la curva 

de descarga, donde matemáticamente se transforma la geometría piramidal en un cono 

equivalente para obtener la misma área proyectada. Para un indentador Berkovich con 

ángulo de la cara θ se tiene: 

A= 3 3h tan θ ------------------------------------ Ec. ( 2.2) 

2 2 

c 

Para un indentador cónico de ángulo α , el área de contacto es expresada: 

A = πh 

2 2 

c tan 


α 

------------------------------------ Ec (2.3) 

Donde en ambos casos, h c es la distancia que se mide verticalmente de la punta del 

indentador como se muestra en la Fig. 2.3a. De las ecuaciones 2.2 y 2.3 para θ = 65.27° 

se obtiene α = 70.296°≈ 70.3°. 

Por lo que usualmente los análisis teóricos de la curva 

carga desplazamiento y modelos de elemento finito del proceso de indentación se llevan a 

cabo en términos de un cono de ángulo medio de 70.3°. 

2.1.2.1 Análisis de la curva de descarga de una gráfica carga-desplazamiento. 

La curva elástica de descarga se utiliza con ecuaciones elásticas de contacto para 

determinar el área de contacto bajo una carga dada. El área de contacto en combinación 

con la rigidez se puede utilizar para determinar el módulo de elasticidad combinado. 

Considerando un cono axisimétrico, el contacto entre un indentador cónico rígido y la 

mitad de un espacio elástico es: 

πa 

* 

P = E a cotα 

2 

----------------------------------- Ec. (2.4) 

Donde α es el semi-ángulo efectivo del cono (70.3° para un indentador Berkovich) Fig. 

2.4. La cantidad a cotα 

es la profundidad de penetración h c medido en el círculo de 

contacto Fig.2.3.


Fig. 2.4. Geometría de zona plástica para indentadores cónicos axisimétricos de semi-ángulo α . 

La profundidad por debajo de la superficie de la muestra dentro del círculo de contacto de 

la zona plástica, está dada por: 

⎛ π r ⎞ 

h = ⎜ − ⎟a 

cotα 

⎝ 2 a ⎠ ----------------------------------- Ec. (2.5) 

r ≤ a 

Considerando r = 0 , y sustituyendo en la ecuación 2.5, se obtiene 

P = 

2 2 

* 

E 

h tanα 

π -------------------------------- Ec (2.6) 

De acuerdo a la ecuación 2.6 la derivada de la carga P con respecto al desplazamiento h 

(la rigidez de contacto) está dada por: 

dP 

dh 

2 

2 

Sustituyendo en la ecuación 2.6 se obtiene: 

= 

E 

tanα 

h 

π 


* 

1 dP 

P = 

2 dh 

h 

------------------------------------- Ec. (2.7) 

---------------------------------- Ec. (2.8)


Si la profundidad total de penetración es h max en la carga P max , entonces como la carga es 

removida, el indentador se mueve a través de una distancia h e como se muestra en la Fig. 

2.3. 

En P = Pmax 

el desplazamiento hr= 0 he 

= y hr= a ha 

= . De la ecuación 2.5 en r a = , la 

profundidad plástica (o contacto) h c se encuentra de: 

⎡2( π − 2) 

⎤ Pmax 

= h − ⎢ ⎥ 

⎣ π ⎦ dP dh 

hc t 

-------------------------------- Ec. (2.9) 

Donde P max y dP 

son medidas durante un experimento. El termino dentro del paréntesis 

dh 

en la ecuación 2.9 se identifica frecuentemente por el símbolo ε y se evalúa para 0.72 

pero es práctica común utilizar un valor de 0.75 ya que ha mostrado exactitud para no 

uniformidades en la respuesta del material cuando se remueve la carga. 

Una vez que el valor de h c se determina, el área de contacto se encuentra de la ecuación 

2.3, donde para un indentador Berkovich ( α = 70.3°) 

la ecuación resulta: 

2 

24. 5 c h A = 

------------------------------------- Ec. (2.10) 

Combinando la ecuación 2.3 y 2.7, el módulo de elasticidad reducido es: 

dP 1 

dh 2 


E 

* = 

π 

A 

----------------------------- Ec. (2.11) 

Experimentos y análisis de elemento finito muestran que un factor de corrección β es 

necesario para la ecuación 2.11. El factor de corrección es aplicado como el factor 1 

β al 

valor de la medición de dP 

. Por lo que se obtiene: 

dh 

E 

* 

1 dP 1 

β dh 2 

π 

A 

---------------------------------- Ec. (2.12)

Y entonces la ecuación 2.9 se convierte en : 


Pmax 

= h − εβ 

dP dh 

hc t 

Donde dP 

, es la cantidad experimental actual. 

dh 

----------------------------- Ec. (2.13) 

La profundidad de contacto h c se determina de la rigidez de contacto dP 

en la máxima 

dh 

carga P max y usualmente se realiza ajustando una ecuación a los datos de descarga, por lo 

que encontrando la derivada de la ecuación se obtiene la rigidez de contacto dP 

. La 

respuesta de descarga tiene un comportamiento lineal, al menos en el inicio de la 

descarga lo que significa que en lugar de una ecuación polinomial de segundo orden en la 

ecuación 2.6, el contacto tiene una dependencia lineal con respecto a la carga como si el 

indentador fuera de punta cilíndrica. Para algunos materiales los datos de descarga inicial 

casi es lineal; por lo que un ajuste lineal de la porción superior de los datos de descarga es 

razonable. Sin embargo para otros materiales, particularmente aquellos con gran 

recuperación elástica (bajo valor en la proporción E 

), los datos de descarga describen 

H 

una forma curveada. 

En el mayor número de los casos un ajuste polinomial de segundo grado es un buen 

ajuste para los datos, pero para mejores resultados un ajuste potencial es apropiado. Para 

un ajuste potencial, se utiliza la función 2.14: 

( ) m 

f 

P = I h−h ALFONSO MENESES AMADOR 39 

dh 

--------------------------------------- Ec (2.14) 

Donde m es el superíndice de la ecuación, B es una constante, y f 

h es la profundidad 

residual final medida de la superficie original de la muestra libre, todos estos datos son 

cantidades desconocidas. El ajuste usando esta ecuación se realiza con un procedimiento 

de iteración con suposiciones iníciales de los valores desconocidos. Cuando se realiza un 

ajuste potencial se observa que el rango del superíndice m es de 1.1 a 1.8 dependiendo 

del material de la muestra. Este procedimiento se denomina el “método de Oliver y Pharr” 

[56].


2.2 CAMPO DE ESFUERZOS POR INDENTACIÓN 

La descripción matemática del campo de esfuerzos producido por un indentador, inicia con 

el análisis de un punto de contacto. Este análisis fue estudiado por Boussinesq en 1885 y 

se conoce como “solución de Boussinesq para un punto de contacto”, dicha solución 

permite determinar la distribución de esfuerzos para cualquier distribución de presión 

dentro de un área de contacto, mediante el principio de superposición. Cualquier 

configuración de contacto, tal como la indentación con un indentador esférico o cilíndrico 

con punta plana, puede ser vista como una distribución apropiada de cargas puntuales con 

intensidad variable en la superficie de la muestra, y la distribución de esfuerzos en el 

interior de la muestra está dado por la superposición de cada uno de los estados de 

esfuerzo de carga puntual. 

Los esfuerzos dentro de un sólido cargado puntualmente en coordenadas cilíndricas 

polares son: 

( ) 

( ) ( ) ⎥ ⎥⎥ 

⎡ ⎡ 

⎤ 

2 ⎤ 

P ⎢ ⎢ 1 z ⎥ 3r 

z 

σ r = 1− 

2v 

− 

− 

-------------------- Ec. (2.15) 

⎢ 

2 

1 

5 

2π 

⎢r 

2 2 2 ⎥ 2 2 

⎢⎣ 

⎣ r r + z 2 ⎦ r + z 2 

⎦ 

( ) 

( ) ( ) 2 

⎡ 

⎤ 

P 1 z 

z 

σ 1 2v 

⎢ 

⎥ 

θ = − − + 

+ 

2 

1 

3 

2π 

⎢ r 2 2 2 ⎥ 

2 

2 2 

⎣ r r + z ⎦ r + z 

-------------------- Ec. (2.16) 

3 

3P 

z 

σ z = − 

2π 

2 2 

r + z 

-------------------------------- Ec.(2.17) 

5 

( ) 2 

2 

3P 

rz 

τ rz = − 

-------------------------------- Ec.(2.18) 

2π 

( ) 2 

5 

2 2 

r + z 

Excepto en el origen los esfuerzos superficiales σ z, τ yz, τ zx = 0. 

Las deformaciones 

correspondientes a estos esfuerzos pueden ser obtenidas por la Ley de Hooke, la cual en 

coordenadas cilíndricas es: 

( σ σ ) 

v Z 

σ r − θ + 

ε r = -------------------------------- Ec. (2.19) 

E 

( σ + σ ) 

v z 

σ θ − r 

ε θ = ------------------------------- Ec. (2.20) 

E 



Una indentación producida por un indentador agudo inicialmente es elástica debido al 

radio finito de la punta del indentador, pero rápidamente se induce plasticidad con el 

incremento de la carga por lo que al retirarla generalmente se deja una impresión residual 

en la superficie de la muestra. El campo de esfuerzos es similar al descrito para un 

indentador cónico, aunque los cuatro lados del indentador piramidal significan que la carga 

ya no es axisimétrica. Sin embargo, la característica general del campo permanece sin 

cambios más que con el incremento de la distancia de indentación. Para indentadores 

agudos, la condición de plasticidad debajo del indentador es de considerable interés, ya 

que el agrietamiento de la muestra durante la carga y descarga depende de la 

transformación del campo de esfuerzos elástico. 

El análisis teórico del campo de esfuerzos elastoplástico generado por un indentador 

piramidal es complejo, debido a que las deformaciones plásticas en este tipo de 

indentación son mucho más grandes que cualquiera de las deformaciones elásticas. El 

modelo desarrollado en [57] proporciona la distribución de esfuerzos en la parte exterior de 

una zona plástica hemisférica, con radio a igual al radio del círculo de contacto como se 

muestra en la Fig. 2.4 

Con un sistema de coordenadas como el que se muestra en la Fig. 2.5, el esfuerzo esta 

dado por: 

( ) 

P 

B 

2 

σ r = ( 1− 

2v 

− 2( 

2 − v) 

cosθ 

) + 4 ( 5 − v) 

cos θ − ( 2 − v) 

-------------------- Ec. (2.21) 

2 

3 

2πr 

r 

σ θ 

2 ( 1− 

2v) 

cos 

2 

πr 

( 1+ 

cosθ 

) 

P θ B 

2 

= − 2( 

1− 

2v) 

cos θ -------------------- Ec. (2.22) 

3 

2 

r 

Fig.2.5. Sistema de coordenadas y esquema de indentación para un indentador agudo. 


σ φ 

P( 

1− 

2v) 

⎛ 1 ⎞ B 

= cosθ 

+ 2 

2 ⎜ − ⎟ v 

3 

2πr 

⎝ 1+ 

cosθ 

⎠ r 

τ r θ 

( 1− 

2v) 


2 

( 1− 

2 )( 2 − 3cos 

θ ) 

-------------------- Ec. (2.23) 

P sinθ 

cosθ 

B 

= + 4( 

1+ 

v) 

sinθ 

cosθ 

-------------------- Ec. (2.24) 

2 

3 

2πr 

1+ 

cosθ 

r 

τ rφ 

= τ θφ 

= 0 -------------------------------- Ec.(2.25) 

Donde P es la carga del indentador y B es una constante que caracteriza la extensión de 

la zona plástica. 

Donde: 

B = 0.06 pma ALFONSO MENESES AMADOR 42 

3 

---------------------------------- Ec. (2.26) 

Sustituyendo el valor de B en las ecuaciones 2.21-2.23 y normalizando la presión de 

contacto principal p m y el radio del círculo de contacto a , se obtiene. 

r 

pm 2 

3 

1 2 

( ) 

σ ⎡a 

⎤ 

⎡a 

⎤ 

= ⎢ 

⎣ r ⎥ 

⎦ 

⎢ 

⎣ r ⎥ 

2 

2 

⎦ 

( 1− 

2v 

− 2( 

2 − v) 

cosθ 

) + 0. 

06 4 ( 5 − v) 

cos θ − ( − v) 

2 

2 ( 1− 

2v) 

cos 

( 1+ 

cosθ 

) 

3 

( 1− 

2v) 

cos θ ) 

--------- Ec. (2.27) 

σ θ 1 ⎡a 

⎤ 

θ ⎡a 

⎤ 

2 

= 0. 

06 2 

2 ⎢ 

− 

⎣ r ⎥ 

⎦ 

⎢ 

⎣ r ⎥ 

-------------------- Ec. (2.28) 

⎦ 

p m 

( 1− 

2v) 

2 

3 

σ f ⎡a 

⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎡a 

⎤ 

2 

= cosθ 

⎟ + 0. 

06 2 

2 ⎢ ⎥ ⎜ − 

1 cosθ 

⎢ ⎥ 

v 

pm ⎣ r ⎦ ⎝ + ⎠ ⎣ r ⎦ 

τ 

rq 

pm ( 1− 

2v) 

2 

3 

( 1− 

2 )( 2 − 3cos 

θ ) 

----------- Ec. (2.29) 

⎡a 

⎤ sinθ 

cosθ 

⎡a 

⎤ 

= 0. 

06 4( 

1+ 

v) 

sinθ 

cosθ 

2 ⎢ 

+ 

⎣ r ⎥ 

⎦ 1+ 

cosθ 

⎢ 

⎣ r ⎥ 

-------------------- Ec. (2.30) 

⎦ 

τ = 0 ---------------------------------------- Ec. (2.31) 

rq= τ qf


En [58] se expresan los parámetros de B en términos de los parámetros de indentación y 

propiedades del material. 

B = 

⎛ P ⎞ 

0. 0816 f ⎜ ⎟ 

π ⎝ H ⎠ 


E 

3 

2 

---------------------------------- Ec. (2.32) 

Con f como factor de densificación, el cual varía de 0 (volumen acomodado enteramente 

por densificación) y 1 (no densificación del material de prueba), y H el valor de dureza 

definido como: 

P 

H = ---------------------------------------- Ec. (2.33) 

2 

2a 

Donde a es el radio del círculo de contacto. Sustituyendo la ecuación 2.33 en 2.32 resulta: 

3 

Ea 

B = 0. 

2308 f --------------------------------- Ec. (2.34) 

π 

La Fig. 2.6 muestra los esfuerzos procesados de la ecuaciones 2.27 – 2.30, los esfuerzos 

están normalizados a la presión de contacto promedio y las distancias han sido 

normalizadas al radio del circulo de contacto. 

Lo significativo de estos esfuerzos es que normalmente los diferentes tipos de grietas 

observadas en materiales frágiles son resultado de la acción de diferentes componentes 

del campo de esfuerzos. Por ejemplo, las grietas de anillo superficiales son producidas por 

⎛ π ⎞ 

los esfuerzos de tensión radial σ t ⎜θ= ⎟; 

las grietas que emanan de las esquinas de un 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

indentador piramidal son un resultado de los esfuerzos circunferenciales σφ⎜θ = ⎟; 

las 

⎝ 2 ⎠ 

grietas median que se localizan debajo del indentador surgen de los esfuerzos externos a 

0 

σ θ = 0 . 

lo largo del eje de simetría σ ( θ = ) y las grietas laterales del esfuerzo radial ( ) 

θ 

t


Fig. 2.6 Distribución de esfuerzos axisimétricos fuera de la zona plástica calculados por las 

formulas 2.27 a 2.30. (a) σr, (b)σθ (c) σφ 

De igual forma en [58] se presenta una descripción cualitativa de los esfuerzos residuales 

después de la descarga en el cual t 0.42 m p 

σ = − y 0.12 m p σ φ = sobre la superficie, y 

t 0.72 m p σ = y 0.06 m p 

σ φ =− sobre el eje debajo del indentador, mientras que en [57] se 

establece que el parámetro B que está asociado con el campo de esfuerzo alcanza su 

valor máximo durante la descarga y que corresponde a P max . En r = amax 

, los esfuerzos 

P 

ahora llegan a ser dependientes de la proporción y las propiedades del material f , E 

Pmax 

y H por lo que para pequeños valores del producto E 

f , se esperan grietas radiales 

H 

durante la descarga, pero para valores grandes, las grietas radiales se pueden formar 

durante la carga. 


KC = 

Hk ⎟⎠⎜⎝ 


2.3 TENACIDAD A LA FRACTURA POR INDENTACIÓN 

Una de las principales características de una grieta por indentación es que con 

incrementos de carga la grieta es estable [59]. Mientras que en materiales dúctiles se 

utilizan pruebas tipo viga con grietas rectas para obtener la tenacidad a la fractura, en 

materiales frágiles este tipo de pruebas es difícil llevarlas a cabo. Por lo que una 

alternativa para determinar la tenacidad a la fractura en materiales frágiles es mediante la 

técnica de VIF (fractura por indentación Vickers) en la cual las grietas por indentación 

requieren una pequeña superficie de prueba, y usualmente múltiples indentaciones 

pueden realizarse sobre la cara de una sola muestra. 

Normalmente se le otorga mucha atención a la longitud de las grietas radiales, las cuales 

son medidas radialmente a lo largo de la superficie a partir de la esquina de la indentación 

Fig. 2.7 

Fig. 2.7 Parámetros de grieta para indentadores (a) Vickers y (b) Berkovich. 

De acuerdo a [45] se estableció que la longitud de grieta l variaba como una función 

lineal de la carga de indentación , por lo que se estableció [49] una relación diferencial, 

donde se considera la forma completa de la grieta radial-median encontrándose que la 

P 

proporción (donde c es la medida del centro de contacto al final de la grieta) es una 

3 

c 

2 

constante y que el valor depende del material ensayado. Por lo que la tenacidad a la 

fractura se obtiene de: 

Donde k es una calibración constante igual a 0.016 y 

determinaron que 

3 

n = y k = 0.0098 [60]. 

2 

------------------------------------- Ec. (2.33) 

1 

n = con c= l+ a. 

Otros estudios 

2 


2.3.1 Modelo de M.T. Laugier [53] 


Establece que a diferencia de los resultados de tenacidad a la fractura obtenidos para 

vidrios, el agrietamiento debido a microindentación en cerámicos no es del tipo radialmedia, 

si no que la geometría del agrietamiento es más similar a la de tipo radial; por lo 

tanto los modelos radial-media no son adecuados para este tipo de agrietamiento y 

requieren de una modificación. Además se muestra que las grietas pueden ser 

representadas por semi-círculos de longitud l y profundidad d , a las cuales la forma de 

las grietas se aproximan, donde d es la profundidad de la grieta y l = c− a es la longitud 

de la grieta, y K es el factor de intensidad de esfuerzos que controla la extensión de la 

grieta superficial y difiere sólo por un pequeño término del orden de la unidad. Una 

expresión analítica para la representación semi-circular es: 

1 1 

− 

2 2 

sc ⎛ π ⎞ ⎛ l ⎞ CLP 

K = 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ K 

⎝2+ π ⎠ ⎝a⎠ ----------------------------- Ec.(2.34) 

CLP 1 r 

Donde 3 3 

2 2 

P 

⎛ ⎞⎛ ⎞ 

K = ⎜ ⎟⎜ ⎟ es el factor de intensidad de esfuerzos para una grieta tipo 

⎜ ⎟⎜ ⎟ 

⎝π⎠⎝c⎠ radial-media con carga centrada P r que es la fuerza que genera la grieta plástica residual. 

Ésta puede ser usada en la descripción del agrietamiento tipo radial en cerámicos. 

⎛1⎞ La nueva fórmula tipo radial puede ser calibrada, donde el término ⎜ ⎟ muestra poca 

⎝ z ⎠ 

variación para los cerámicos y los vidrios, presentando un valor medio de 0.68 con un 

coeficiente de variación igual a v = 0.14 . Por lo que resulta: 

K 

c 


2 

3 

1 

l 2 E 

⎛ 

P 

⎞ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

= 0.015⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ --------------------------------- Ec. (2.35) 

3 

⎝a⎠ ⎝Hv⎠ ⎜ ⎟ 2 ⎝c⎠ 1 

− 

2

2.3.2 Modelo de K. Niihara [51] 


Estudios de agrietamiento por microindentación en materiales frágiles han mostrado que 

las primeras grietas en formarse son las de tipo radial. Y se extienden radialmente desde 

los vértices de la microindentación permaneciendo cerca de la superficie. Durante la 

descarga, las grietas crecen en longitud y desplazamiento. Por lo cual Niihara propone que 

la geometría del agrietamiento sea descrito por un modelo semi-elíptico. Llegando a la 

conclusión de que las grietas tipo radial nuclean y se propagan durante la etapa de 

descarga, y que la máxima profundidad que se presenta durante la descarga es del orden 

del tamaño de la microindentación, obteniendo una ecuación que representa el 

agrietamiento tipo radial como sigue: 


2 

5 

⎛ E ⎞ 

KC = 0.0264( 

HVa) ⎜ ⎟ l 

⎝ HV 

⎠ 

1 

2 

--------------------------------- Ec. (2.36) 

2.3.3 Modelo de D.K. Shetty, I.G. Wight, P.N. Mincer, y A.H. Clauer . [52] 

En este modelo Shetty estudió el fenómeno del agrietamiento debido a microindentación 

Vickers, y analizaron los valores del tamaño de la grieta contra carga de microindentación 

en términos del agrietamiento tipo radial, obteniendo la siguiente ecuación: 

Donde: 

W = 

( ) 1 

2 

K = 0.0902 HW --------------------------------------- Ec. (2.37) 

P 

4g 

C V 

2.3.4 Modelo de Niihara, Morena y Hasselman [50] 

Niihara propuso que el mal ajuste de los datos de microindentación Vickers para la 

P 

relación (grieta radial-median) para determinar la tenacidad a la fractura, es debido a la 

3 

2 c 

⎛c⎞ transición de un sistema de grieta radial-median ⎜ >≈ 3⎟ 

a un sistema de grietas tipo 

⎝a⎠ ⎛c⎞ radial ⎜


Por lo que graficaron los datos de Evans y Wilshaw [61], Evans y Charles [48] y Dawihl y 

⎧ 2 

⎡ ⎤ ⎫ 

5 

⎪ KC HV 

Altmeyer [62] sobre ejes de log ⎢ φ ⎥⎛ 

⎞ ⎪ 

⎨ 1 ⎜ ⎟ ⎬ versus log 

⎢ ⎥ 

⎪ Eφ 

2 HVa ⎝ ⎠ 

⎢ ⎥ ⎪ 

⎩⎣ ⎦ ⎭ 

c ⎛ ⎞ ⎛ l ⎞ 

⎜ ⎟ o log ⎜ ⎟ , ya que 

⎝a⎠ ⎝a⎠ l c 

c 

= − 1. 

Los análisis de correlación muestran que para datos con ≥≈ 2.5 la mejor 

a a 

a 

correlación fue en términos de c 

vía la ecuación 

a 

⎡ ⎤ 

⎢ KCφ⎥ ⎛HV ⎞ ⎛c⎞ = 0.129 

⎢ 1 ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

Eφa 2 

⎝ ⎠ 

HVa ⎝ ⎠ 

⎢⎣ ⎥⎦ 

2 3 

− 

5 2 

---------------------------- Ec. (2.38) 

Asumiendo φ = 0.27 , la ecuación 2.38 puede reescribirse como la ecuación 2.39 

2 3 

1 − 

5 E c 2 

2 

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

KC = 0.0711⎜HVa 

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠⎝ 

HV⎠ ⎝a⎠ ------------------------ Ec.(2.39) 

c 

l 

Sin embargo, para datos con ≤≈ 2.5, 

la mejor correlación fue obtenida vía en vez de 

a a 

c 

l 

, tal que para en el rango de 0.25 a 2.5 el mejor ajuste se desarrollo para la ecuación 

a a 

2.40: 

⎡ ⎤ 

⎢ KVφ⎥ ⎛HV ⎞ ⎛ l ⎞ 

= 0.035 

⎢ 1 ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

Eφa 2 

⎝ ⎠ 

HVa ⎝ ⎠ 

⎢⎣ ⎥⎦ 

2 1 

− 

5 2 

------------------------- Ec. (2.40) 

Por lo que para el planteamiento del problema se considera la ecuación 2.40 para 

desarrollar la parametrización del presente estudio. 


2.4 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. 


El principio se encuentra ilustrado en la Fig 2.6, en el cual se considera una grieta interna 

de longitud 2c dentro de un sólido infinito cargado externamente por un esfuerzo uniforme 

σ a , como se muestra en la Fig. 2.6a. La presencia de la grieta intensifica el esfuerzo en la 

vecindad de la punta de la grieta, y el factor de intensidad de esfuerzo K I es determinado 

de la ecuación 2.41. Considerando una serie de tracciones superficiales en la dirección 

opuesta al esfuerzo, y aplicándolas a la cara de la grieta para que la grieta se cierre 

completamente como se muestra en la Fig. 2.6b. En este punto, la distribución de 

esfuerzos dentro del solido es precisamente igual al que tendría que existir en ausencia de 

la grieta, debido a que ahora la grieta está completamente cerrada y el factor de intensidad 

de esfuerzos desciende a cero, ya que no hay concentración de esfuerzos en la punta de 

la grieta. Por lo que, en un caso la presencia de la grieta causa que el esfuerzo aplicado 

sea intensificado en la vecindad de la grieta, y por otro lado, la aplicación de las tracciones 

superficiales causa que esta intensificación se reduzca a cero. 

K I a 

= σ Y πc 

-------------------------------- Ec.(2.41) 

Fig. 2.8 (a) Grieta interna en un sólido cargado con un esfuerzo externo. (b) Grieta cerrada por la 

aplicación de una distribución de tracciones superficiales F. (c) Grieta interna cargada con 

tracciones superficiales FA y FB 



Considerando la situación ilustrada en la Fig. 2.6c., es posible determinar el factor de 

intensidad de esfuerzos K I en una de las puntas de la grieta (Α) , donde para una grieta 

interna y simétrica de longitud total 2c , la cual es cargada por fuerzas F A aplicadas sobre 

la cara de la grieta a una distancia b del centro, el valor de K I es: 

K 

1A 

= 

( πc) 


F 

A 

1 

2 

⎛ c + b ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ c − b ⎠ 

1 

2 

------------------------------- Ec.(2.42) 

Las fuerzas F B también contribuyen al campo de esfuerzos en A , y el factor de intensidad 

de esfuerzos debido a estas fuerzas es: 

K 

1B 

= 

F 

B 

1 

2 

( πc) 

⎛ c − b ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ c + b ⎠ 

1 

2 

----------------------------- Ec. (2.43) 

Considerando que los factores de intensidad de esfuerzos son de naturaleza aditiva, el 

factor de intensidad de esfuerzos en la punta de la grieta Α (Fig. 2.6c) debido a las fuerzas 

F A y FB es: 

Donde: FA = FB = F 

K1 = K1A 

+ K1B 

2F 

⎛ 

= 1 ⎜ 

⎝ c 

2 π 

2 

c 

− b 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

2 

---------------------- Ec. (2.44) 

Ahora, si las tracciones F son continuas a lo largo de la grieta, entonces la fuerza por 

unidad de longitud se puede asociar con un esfuerzo aplicado σ ( b) 

normal a la grieta. El 

factor de intensidad de esfuerzos esta dado por la integral de la ecuación 2.45 con F 

dF = σ b db . 

remplazado por ( ) 

K 

1 

c 

= 

2 

1 ∫ c 

2 π 

0 

1 

2 

σ ( b) 

c 

2 

− b 

2 

db -------------------------------- Ec. (2.45)


Sin embargo, si a las fuerzas F se les invierte el signo de tal modo que cierren 

completamente la grieta, entonces la distribución de esfuerzos asociados σ ( b) 

tiene que 

ser aquel que existía anterior a la introducción de la grieta. El factor de intensidad de 

esfuerzos que se calculo por la ecuación 2.45 para tracciones superficiales continuas 

aplicado para cerrar la grieta, es precisamente el mismo (con excepción del signo) que el 

calculado para la grieta usando el esfuerzo macroscópicoσ a en la ausencia de tales 

tracciones. Por ejemplo, para el caso de esfuerzo uniforme, donde σ ( b) = σ ( a) 

, la 

ecuación 2.45 se reduce a la ecuación 2.43. 

Por lo que si el campo de esfuerzos anterior a la grieta dentro del sólido es conocido, el 

factor de intensidad de esfuerzos para cualquier patrón de grieta propuesto se puede 

determinar usando la ecuación 2.45. 

2.5 ANÁLISIS DIMENSIONAL 

La idea básica del análisis dimensional es que las leyes físicas no dependan de la 

arbitrariedad en la elección de las unidades básicas de medición. Consecuentemente, las 

funciones que expresan leyes físicas deben procesar ciertas propiedades matemáticas, 

llamada homogeneidad generalizada (cada uno de los términos aditivos en las funciones 

tendrán las mismas dimensiones o unidades). Este concepto muchas veces permite que 

el número de argumentos en funciones que describen funciones físicas se reduzca, por lo 

que los hace más simple de obtener tales funciones ya sea de cálculos o de experimentos. 

Esta idea básica conduce al teorema central en análisis dimensional, el llamado teorema 

de PI o (teorema ∏ ) el cual ha sido atribuido a Buckingham [63]. 

El análisis dimensional ha sido aplicado a pruebas de dureza [64], así como a análisis de 

fractura inducidos por indentación [45-48]. 

En [65] se aplico análisis dimensional al modelo de indentación instrumentada conocida 

también como nanoindentación, en dicho trabajo se examina la indentación cónica y 

piramidal en sólidos elastoplásticos descritos por la ley de potencias de endurecimiento 

por deformación, así como la termofluencia en sólidos y materiales viscoelásticos. Este 

trabajo se convirtió en la base para los análisis de indentación mediante análisis 

dimensional, en base a los estudios llevados a cabo por [63] e involucrando un análisis 

inverso en [66] se estudian propiedades mecánicas de capas delgadas en el cual se 

considera la influencia del sustrato; también se han estudiado por análisis dimensional: la 

termofluencia, los esfuerzos residuales y efectos del sustrato para materiales 

elastoplásticos [67]. 


2.5.1 Cantidades físicas, unidades y dimensiones 


En general, una cantidad física x es expresada en términos de un número y dicho número 

es obtenido midiendo la cantidad física. “Medición” es la comparación directa o indirecta 

de una cierta cantidad con un apropiado estándar o unidad de medición. Las unidades de 

medición para cantidades físicas están divididas en dos categorías, unidades 

fundamentales y derivadas. Un sistema de unidades es un grupo de unidades 

fundamentales las cuales son necesarias además de suficientes para medir las 

propiedades de una clase de fenómeno. La dimensión de cualquier cantidad física es 

invariante con respecto a las unidades seleccionadas. En este sentido, dimensión es un 

objetivo cuantitativo. En el sistema longitud/tiempo/masa, las dimensiones para longitud, 

tiempo y masa son denotadas por L, T y M . La velocidad con la unidad de 

longitud/tiempo tiene la dimensión LT -1 . 

2.5.2 Leyes físicas y relaciones 

En ciencias físicas e ingeniería, las leyes cuantitativas o sus relaciones pueden ser 

expresadas al menos conceptualmente en forma matemática como: 

�� ,…,� ��------------------------------- Ec. (2.46) 

Para mostrar que la cantidad dependiente z es una función de las variables independientes 

y parámetros z1 a z n . Sea i cantidades dimensionalmente independientes en esta relación 

con i≤ n. 

Sin pérdida de generalidad, se pueden agrupar para ser z 1 a z i . Las variables 

restantes son entonces dimensionalmente dependientes. Consecuentemente, su 

dimensión puede ser expresada como: 

1 [ z] [ z ] ... [ z ] 

[ ] 1 a j 


1 

a ai 

i 

= ------------------------------------ Ec. (2.47) 

ji 

⎣ 

⎡zi+ j⎦ ⎤ = z1 ... ⎣ 

⎡zj⎦ ⎤ , j = 1,..., n−i Entonces, la siguiente cantidad n− i+ 

1 formada fuera de la original n + 1 �� son 

adimensionales. 

a 

1 

1 ... 

z 

∏= -------------------------------------- Ec. (2.48) 

a i 

z zi 

zi+ 

j 

∏= , j = 1,..., n− i 

aj1aji z ... z 

1 

i


La existencia de los exponentes en la parte superior de la ecuación 2.48 garantiza el 

hecho de que z tanto como z i+ j son dimensionalmente dependientes sobre z j ( ) 1,..., j = i . 

Se puede apreciar que la construcción de las ∏ i´ s aseguran que son todas 

independientes, ya que contienen un elemento que no está presente en ninguna de las 

otras ∏ j´ s . 

Por lo tanto la ecuación 2.46 se puede escribir en términos de las nuevas variables ∏ y 

∏ como: 

j 

( ,..., , ,..., ) 

∏= f z1 zi ∏1 ∏ n−i -------------------------------------------- Ec. (2.49) 

Ahora pasando de un sistema de unidades básicas a otro los valores de z1 a z j puede ser 

hecho arbitrariamente grande o pequeño mientras los valores de la ∏ ´s permanezcan 

invariables. En consecuencia el requerimiento de que las relaciones físicas puedan ser 

objetivas e independientes de las unidades, prohíbe la aparición de las zs ´ en la ecuación 

2.49. Con lo que, se obtiene 

( 1 ) ,..., ∏= f ∏ ∏ n−i ---------------------------- Ec. (2.50) 

La ecuación 2.50 difiere de la ecuación 2.46 en que el número de variables se reduce por 

i , el número de cantidades dimensionalmente independientes y de que todas las variables 

de la ecuación 2.50 son adimensionales. Esto se conoce como el “teorema de ∏ ”. Este 

teorema lo que describe es que las leyes físicas no dependen de las unidades 

seleccionadas. 

2.5.2.1 Etapas de análisis dimensional 

Los puntos que se generalmente se consideran para llevar a cabo un análisis dimensional 

se dividen en tres: 

1.- Enlistar las variables independientes y parámetros de las cuales dependan las 

cantidades de interés (variables dependientes) 

2.- Identificar variables independientes y parámetros con dimensiones independientes. 

3.- Formar cantidades adimensionales y establecer relaciones entre cantidades 

adimensionales. El número de relaciones es igual al número de cantidades dependientes. 



Es importante para la aplicación del análisis dimensional primero reconocer cuales son las 

variables dependientes y cuales las variables independientes. Así mismo se escogen las 

variables independientes y parámetros, manteniendo las variables y parámetros relevantes 

y excluyendo aquellas que son irrelevantes. La formación de las ∏ ´s es en realidad medir 

las cantidades físicas relevantes mediante medidas inherentes al problema en lugar de 

mediciones impuestas externamente, tales como metro, segundo y gramos. 



CAPÍTULO 3 

ESTIMACIÓN DE ESFUERZOS 

RESIDUALES POR 

NANOINDENTACIÓN 

3.1 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 

3.1.1 Tratamiento termoquímico de borurado. 

Los procesos termoquímicos consisten en colocar un compuesto reactivo en forma líquida 

o sólida sobre la superficie de un material metálico o cerámico, elevando la temperatura en 

un rango que depende del soluto y del solvente, para que los átomos incrementen su 

energía y logren obtener la energía necesaria para activar el proceso de difusión 

colocándose en los intersticios de la red cristalina del material utilizado como matriz. Para 

realizar este trabajo se utilizaron datos experimentales de: tratamiento termoquímico de 

borurización, pruebas de nanoindentación y pruebas de microindentación Vickers 

proporcionados por [68] en el cual se realiza el tratamiento termoquímico de borurización 

para 4, 6 y 8 h de tiempo de exposición y 1000°C de temperatura, el tratamiento se llevo a 

cabo utilizando carburo de boro B4C con carburo de silicio SiC y criolita KBF4 como 

activador, con lo cual se difunden átomos de boro en la superficie del acero AISI 1018 

logrando altas durezas en las fases formadas en la superficie de los aceros. Durante el 

proceso de difusión, los átomos de boro se ubican en la red cristalina del hierro 

colocándose en los sitios intersticiales con lo que se produce una reacción química entre 

los átomos de hierro y de boro, dando lugar a la nucleación y crecimiento de nuevos 

granos de boruro de hierro FeB y Fe2B. La composición química del acero AISI 1018 se 

muestra en la tabla 3.1. 

Tabla 3.1 Composición química del acero AISI-1018 [69] 

Porcentaje en peso (wt %) 

c Mn Si P S Cr Ni Mo 

0.15-0.20 0.60-0.90 ---- 0.04 0.05 ---- ---- --- 



Las Figs. 3.1 (a), (b) y (c) muestran fotografías de la sección transversal del acero AISI 

1018 endurecido por el tratamiento termoquímico de borurización. La composición 

estructural de la capa consiste de la fase Fe2B [68]. La morfología en forma de dientes 

acerrados requerida para una buena adhesión entre la capa y el sustrato se observa en la 

interface de la capa Fe2B y el sustrato de acero AISI 1018. Los valores del espesor 

promedio de la capa borurada se muestran en la tabla 3.2. 

(a) (b) 

(c) 

Fig. 3.1. Vistas de la sección transversal del acero borurado AISI 1018 con 1000ºC de temperatura 

y (a) 4h (b) 6h y (c) 8h de tiempo de exposición. 

Tabla 3.2. Espesores de capa de acero borurado AISI 1018 para 1000°C y 4,6 y 8h de tiempo de 

exposición. 

Espesor de capa (µm) 

Temperatura 4h 6h 8h 

1000°C 131.47±47 198.30±53 217.1±57 


3.1.2 Prueba de nanoindentación. 


Avances en la instrumentación permiten la medición rutinaria de desplazamientos y 

fuerzas muy pequeñas con gran precisión. Una de las más grandes influencias sobre la 

validación o calidad de los datos de prueba de nanoindentación, es la condición de la 

superficie de la muestra y la manera en la cual se monta la muestra para realizar la 

prueba. Las bases teóricas de las ecuaciones de contacto asumen una superficie 

perfectamente plana, por lo que cualquier irregularidad en el perfil de la superficie causara 

dispersión en la lectura. 

Típicamente valores de entrada son: fuerza de contacto inicial, número de incrementos de 

carga, periodo de tiempo que se mantiene la carga máxima, número de incrementos de la 

descarga, tiempo de espera de la última descarga, velocidad de carga o control de 

velocidad de profundidad, etc. Las indentaciones se llevan a cabo en la interfase entre la 

capa Fe2B y el sustrato Fig. 3.2; con el equipo “nanoindentador MCS NTH” (Fig. 3.3) 

a) 

Fig. 3.2. Representación gráfica de las nanoindentaciones realizadas sobre la interfase entre la 

capa Fe2B y el sustrato de un acero AISI 1018 endurecido superficialmente por el tratamiento 

termoquímico de borurización. 

Fig. 3.3. Equipo de Nanoindentación MCS NTH. 



3.2 RESISTENCIA A LA CEDENCIA DE LA INTERFASE CAPA Fe2B-SUSTRATO DE 

UN ACERO BORURADO AISI 1018. 

La resistencia a la cedencia σ y se puede calcular a partir de la presión de contacto media 

p m (o dureza H ) determinada de acuerdo a la ecuación 3.1. 

P 

H = = pm 

--------------------------------------------- Ec. (3.1) 

A 

Para materiales suaves los cuales presentan baja dureza comparada con su módulo de 

elasticidad, la resistencia a la cedencia es usualmente calculada de acuerdo a [70] por la 

ecuación 3.2. Para materiales más duros, como es el caso de las capas boruradas esta 

relación no se mantiene, ya que la deformación elástica bajo el indentador no es 

despreciable comparada con la deformación plástica. 

H 

σ y = ------------------------------------------ Ec. (3.2) 

3 

Por lo que una resistencia a la cedencia y una deformación característica o representativa 

en la prueba de indentación tiene que ser definida. La resistencia a la cedencia 

representativa es usualmente derivada de la presión de contacto media como: 

p H 

G G 

m σ rep = = ---------------------------------------- Ec. (3.3) 

Donde G es conocido como el factor de restricción. La definición de la deformación 

representativa depende del tipo de indentador, donde para indentadores agudos [70] 

propuso. 

ε = 0.2 tan β -------------------------------------- Ec. (3.4) 

rep 

Donde β es el ángulo entre la superficie del indentador y la muestra. Para indentadores 

Berkovich o Vickers, β = 19.7°. 

Para 1.1σ y ≤ pm 

≤ 3σ 

y, 

[71] propuso la ecuación 3.5 entre la 

dureza y la resistencia a la cedencia, donde E es el módulo de elasticidad del material. 



H 2⎡⎛1 E ⎞⎤ 

= ⎢2+ ln⎜ tanβ⎟⎥---------------------------- 

Ec. (3.5) 

σ y 3⎢ ⎜3σ ⎟ 

⎣ ⎝ y ⎠⎥⎦ 

Para cargas y deformaciones más altas, el campo de flujo plástico se desarrolla 

H 

completamente, y la proporción permanece constante (≈3). La ecuación 3.5 puede 

σ y 

reescribirse de una forma más general como: 

p ⎛ 

m 

E ⎞ 

= A+ Bln ⎜k ε rep ⎟ ------------------------------ Ec. (3.6) 

σ ⎜ 

y σ ⎟ 

⎝ y ⎠ 

4 2 5 

Donde A= , B = y k = . En la ecuación 3.6 la parte derecha corresponde al factor de 

3 3 3 

E 

restricción G , el cual depende de ε rep y la proporción que caracteriza la 

σ y 

susceptibilidad del material al flujo plástico. 

pm 

Por lo que para 1.1< < 3, 

la resistencia a la cedencia se puede obtener de m, 

σ y 

por solución numérica de la ecuación 3.6. 

3.2.1 Exponente de endurecimiento por deformación. 

p E yε rep 

El exponente de endurecimiento por deformación para la zona de interfase Fe2B-sustrato 

de un acero AISI 1018 endurecido superficialmente por difusión de boro, se estima a partir 

de las pruebas de nanoindentación experimental utilizando la ecuación propuesta por [72] 

⎛ h ⎞ ⎛ r h ⎞ r 

n= D+ I⎜ ⎟+ J⎜ 

⎟ 

h h 

⎝ max ⎠ ⎝ max ⎠ 


2 

------------------------------- Ec. (3.7) 

Donde r h es la profundidad residual, h max es la profundidad máxima, 

D= 0.9358, I =− 1.6781 y J = 0.9931.


3.3 ESFUERZOS RESIDUALES DE LA ZONA DE INTERFASE CAPA Fe2B-SUSTRATO 

DE UN ACERO BORURADO AISI 1018. 

Durante el proceso de borurización surgen esfuerzos residuales termales, los cuales se 

desarrollan principalmente por la diferencia de los coeficientes de expansión térmica entre 

el sustrato y la capa. Estos esfuerzos residuales termales pueden causar daño a las 

propiedades mecánicas y vida a fatiga de aceros borurados. Por lo que en este estudio se 

estiman los esfuerzos residuales presentes sobre la interfase entre el sustrato y la capa 

Fe2B de aceros borurados AISI 1018. 

En la prueba de indentación donde se utilizan cargas bajas aplicadas sobre indentadores 

Vickers o Berkovich es posible investigar el desarrollo mecánico de recubrimientos y capas 

delgadas. Por más de dos décadas las pruebas de microindentación se han utilizado en la 

evaluación de las propiedades mecánicas de los materiales; ambas técnicas se pueden 

utilizar no solo para obtener e interpretar el número de dureza, sino también para adquirir 

información sobre las propiedades mecánicas de la superficie de sólidos y recubrimientos. 

Estas pruebas se pueden desarrollar en una gran variedad de materiales, películas 

delgadas y recubrimientos para estudiar: el módulo de elasticidad, adhesión capasustrato, 

propiedades de fractura, esfuerzos residuales, etc. Sin embargo los esfuerzos 

residuales obtenidos por esta técnica están restringidos a materiales dúctiles o en su caso 

dúctil y frágil sin hacer ningún tipo de distinción en su comportamiento. Por lo que en este 

estudio se deriva una formulación para estimar los esfuerzos residuales de la zona de 

interfase capa Fe2B-sustrato (comportamiento frágil) a partir de la técnica de 

nanoindentación, involucrando técnicas de aproximación como lo es el método del 

elemento finito. 

El mayor problema en la técnica de nanoindentación es la influencia de los efectos del 

sustrato sobre la respuesta mecánica del recubrimiento deformado. Las propiedades 

mecánicas del recubrimiento y sustrato juegan un papel importante en la respuesta del 

sistema durante el proceso de indentación; ya que una zona deformada se crea 

inmediatamente debajo de la punta del indentador, la cual puede extenderse al sustrato; 

por lo que para evitar la influencia del sustrato en esta técnica de nanoindentación la 

profundidad de indentación no debe exceder el 10% del total del espesor del recubrimiento 

[73]. La zona de deformación es completamente reversible para un sólido perfectamente 

elástico. Sin embargo para materiales reales puede ocurrir deformación plástica o fractura. 



3.3.1 Análisis dimensional de las curvas de carga en una gráfica cargadesplazamiento 

bajo carga de indentación 

Una curva de carga en un diagrama carga-desplazamiento bajo cargas de indentación es 

la relación entre la carga F y el desplazamiento h , la cual puede ser medida 

continuamente durante el experimento de indentación. Para materiales elásticos [74], [75] 

y [76] obtuvieron una expresión analítica entre la carga F y la profundidad de penetración 

h , en el caso de un indentador cónico rígido normalmente cargado sobre la superficie de 

un cuerpo elástico suave, como: 

2 

2Eh 

2 

F = tanθ 

= C 2 

eh 

-------------------------------- Ec. (3.8) 

1− 

v π 

( ) 

Concluyeron que la carga es proporcional al cuadrado del desplazamiento del indentador 

durante la carga y descarga. El factor de proporcionalidad, C e depende de los parámetros 

E 

elásticos y la geometría del indentador θ . 

2 

1− 

v 

Aplicando similitud geométrica para sólidos plásticos rígidos la presión promedio que actúa 

sobre un indentador cónico o piramidal es la misma para cualquier tamaño de indentación 

[70], tanto como el material es uniforme y homogéneo. 

Debido a que la presión media es empíricamente encontrada para ser independiente de la 

profundidad de indentación, la carga es entonces proporcional al cuadrado de la 

profundidad de indentación. 

F C h 

2 

= p -------------------------------------- Ec. (3.9) 

Generalmente para un sólido elasto-plástico homogéneo y uniforme, la ecuación para la 

curva de carga de un diagrama carga-desplazamiento (Fig. 3.5) puede ser obtenida 

analíticamente y se asume como: 

2 

F = Ch ------------------------------------- Ec. (3.10) 



Fig. 3.4 Curva carga-desplazamiento de un material elasto-plástico. 

Donde C es una función de las propiedades elásticas y plástica del material y la 

geometría del indentador. Varias ecuaciones se han propuesto que ligan las propiedades 

elásticas y plásticas del material del factor C [77]. 

Ahora aplicando análisis dimensional al proceso de nanoindentación con un indentador 

cónico sobre un sólido isotrópico elasto-plástico que obedece a la regla de endurecimiento 

por deformación (Fig. 3.5) y asumiendo que el indentador es rígido y sin rugosidad en la 

superficie, además de considerar el coeficiente de fricción entre el indentador y la 

superficie del material como cero. 

. 

Fig. 3.5 Esquema del comportamiento de un material isotrópico con endurecimiento por 

deformación sometido a carga de tensión uniaxial. 



σ = Eε 

para 

n 

= Kr 

para 

σ ε 

y 

ε ≤ --------------------------- Ec. (3.11) 


σ 

E 

σ y 

ε ≥ ε 

E 

Donde E es el módulo de elasticidad, σ y corresponde a la resistencia a la cedencia, n 

es el exponente de endurecimiento por deformación, y el coeficiente de resistencia K r se 

encuentra definido por la expresión: 

⎛ E ⎞ 

= ⎜ 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Kr σ y 

σ y 

n 

--------------------------------- Ec. (3.12) 

• En la primera etapa se selecciona las variables dependientes y se identifican las variables 

independientes y parámetros. Si se selecciona la fuerza sobre el indentador F , como la 

variable dependiente, el desplazamiento del indentador h , es la variable independiente. 

Las propiedades mecánicas del material, tales como el módulo de elasticidad E , la 

proporción de Poisson v , resistencia a la cedencia σ y , y el exponente de endurecimiento 

por deformación n , son parámetros independientes. El ángulo medio del indentador θ el 

cual caracteriza la geometría del indentador es también un parámetro independiente. Por 

otro lado, cantidades como el esfuerzo y la deformación bajo el indentador no son variables 

independientes sino variables dependientes. Parámetros tales como la temperatura, 

humedad y velocidad de indentación no son relevantes en el problema ya que estos 

parámetros se encuentran fuera del modelo definido por la ecuación 3.11 por lo que no se 

consideran. Después de identificar todas las variables independientes y parámetros se 

obtiene una expresión general, f L para la curva de carga. 

( , , σ , , , θ ) 

F = f E v n h ------------------------------------ Ec. (3.13) 

L y 

• La segunda etapa es identificar entre los seis parámetros gobernantes los que presenten 

dimensiones independientes. Se observa que dos de ellos E y h , tienes dimensiones 

independientes (dimensiones de esfuerzo y longitud). Las dimensiones de y, , , vn σ θ y F 

están dadas por 

0 0 0 0 0 0 

⎡ 

⎣σ ⎤= y ⎦ [ E] ; [ v] = [ E] [ h] ; [ n] = [ E] [ h] ; [ θ] 

= [ E] [ h] 

y [ ] [ ][ ] 2 

F = 

E h


• De acuerdo al tercer paso del análisis dimensional se aplica el teorema de ∏ con lo que 

se obtiene: 

Que es equivalente a 

( , , , ) vn 

∏ =∏ ∏ --------------------------------- Ec. (3.14) 

α α 1 θ 

⎛σ⎞ = ∏ ⎜ , , , θ ⎟ ----------------------------- Ec. (3.15) 

⎝ E ⎠ 

2 

y 

F Eh α v n 

F σ y 

Donde ∏ α = , ∏ 2 1 = , vn , y θ son todas adimensionales. 

Eh E 

Basado en el análisis dimensional se pueden hacer varias observaciones importantes para 

un indentador cónico rígido con un ángulo medio θ , indentado en un sólido elastoplástico 

con endurecimiento por deformación. 

• Primero, la fuerza sobre el indentador F , es proporcional al cuadrado del desplazamiento 

del indentador h . Esta dependencia del cuadrado es común a la indentación cónica en 

puramente elástico ( y ) 

σ →∞ , plástico rígido ( 0) 

( n = 0) 

y sólidos elastoplásticos con endurecimiento por deformación 

E → , elástico perfectamente plástico 

F 

σ y 

• Segundo, el parámetro es una función de , nv , para un ángulo θ . 

2 

Eh E 

• Tercero, el problema original de una función de seis parámetros es reducido a 2 

parámetros con dimensiones independientes en la ecuación 3.14. Por lo que ahora es una 

función de cuatro parámetros debido a simplificar el problema original de seis parámetros y 

permitir una evaluación sistemática de los efectos de cada parámetro. Además 

considerando que se conoce la relación de Poisson y el exponente de endurecimiento por 

deformación de las capas endurecidas por difusión de boro, así como el ángulo del 

indentador la función puede escribirse: 

2 

y 

= ∏ α ,0.2,0.23,70.3° 

F Eh 

⎛σ⎞ ⎜ ⎟ ----------------------------- Ec. (3.16) 

⎝ E 

⎠ 



⎛σy⎞ Finalmente el valor numérico de la función ∏α ⎜ ,0.2,0.23,70.3⎟ 

no se puede conocer 

⎝ E 

⎠ 

solamente de análisis dimensional y tiene que ser obtenido a través de experimentos o 

modelación. 

La resistencia a la cedencia se sustituye por la resistencia a la cedencia efectiva, la cual es un 

valor que se le otorga a la resistencia a la cedencia bajo carga uniaxial que involucra los 

parámetros de plasticidad del material (Ec. 3.17), esta consideración es debido a que el análisis se 

lleva a cabo en la curva de carga la cual involucra propiedades elásticas como plásticas. 

Por lo que considerando un material con endurecimiento por deformación isotrópico 

sometido a carga de tensión uniaxial, el desarrollo constitutivo que representa tal 

comportamiento esta dado por la ecuación 3.11. 

Ya que la resistencia a la cedencia efectiva σ y* 

se define como: 

Entonces 

( ) 1 

2 

σ = σ ----------------------------------------- Ec. (3.17) 

y* yK y* 

∏ 1* = ----------------------------------------- Ec. (3.18) 


σ 

E 

En base a la prueba de nanoindentación experimental desarrollada sobre capas endurecidas por 

difusión de boro (Anexo A) se grafica la función 3.16 para determinar el valor numérico de la 

relación entre las cantidades adimensionales de la carga aplicada con respecto al esfuerzo de 

cedencia efectivo Fig. 3.6.

F/Eh 2 

1.6 

1.2 

0.8 

0.4 

0 


y = 6.756x 0.521 

R² = 0.988 

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 

σy*/E Fig. 3.6 Gráfica para determinar ∏α de las capas endurecidas por difusión de boro. 

En base a la figura 3.6 se determina la dependencia que tiene la cantidad adimensional de 

la carga aplicada con respecto a la cantidad adimensional de la resistencia a la cedencia 

efectiva, se observa que la relación es potencial dada por la expresión 3.19. 

0.521 

⎛σy* ⎞ 

= 6.756 

2 ⎜ ⎟ 

F 

Eh ⎝ E ⎠ 

------------------------------ Ec. (3.19) 

La ecuación 3.19 describe el comportamiento de la curva de carga en un diagrama cargadesplazamiento 

para materiales endurecidos por difusión de boro. El siguiente paso es analizar la 

influencia que tienen los esfuerzos residuales sobre la curva de carga, dependiendo del tipo de 

esfuerzo residual que se encuentre presente ya sea de compresión o de tensión. Para lo cual se 

llevan a cabo simulaciones numéricas mediante el método del elemento finito, involucrando los 

esfuerzos residuales como una condición inicial en el proceso de nanoindentación sobre 

superficies endurecidas por difusión de boro. 


3.3.2 Método del elemento finito. 


El análisis de elemento finito es una manera de simular condiciones de carga sobre un 

diseño y determinar la respuesta del diseño a tales cargas; el diseño es modelado usando 

bloques de construcción discretos llamados elementos, por lo que cada elemento tiene 

una ecuación exacta que describe como se comportara a ciertas cargas, la suma de la 

respuesta de todos los elementos en el modelo da la respuesta del diseño, los elementos 

tienen un número finito de incógnitas por lo cual se le denomina elemento finito. El modelo 

de elemento finito, el cual tiene un número finito de incógnitas puede solo aproximar la 

reacción del sistema físico, el cual tiene incógnitas infinitas, por lo que el método del 

elemento finito es útil ya que reduce la cantidad de pruebas de prototipo debido a que la 

simulación numérica permite múltiples escenarios para ser probados rápida y 

efectivamente, de igual forma ayuda a simular diseños que no son susceptibles para 

pruebas de diseño; en este estudio el método del elemento finito se utiliza para analizar el 

comportamiento de la curva de carga de un diagrama carga-desplazamiento bajo la 

influencia de esfuerzos residuales en la interfase de las capas boruradas Fe2B-sustrato. 

Un análisis lineal asume que la carga causa despreciables cambios a la rigidez de la 

estructura, sus características principales son: la deflexión es pequeña, los esfuerzos y 

deformaciones se encuentran dentro del límite elástico, no existe cambio abrupto en la 

rigidez tal como dos cuerpos sometidos a contacto repetido. Mientras que el análisis no 

lineal es necesario si la carga causa significantes cambios en la rigidez de la estructura, 

algunas razones para que la rigidez cambie significativamente son: las deformaciones se 

encuentran más allá del límite elástico (plasticidad), existen grandes deflexiones o 

contacto entre dos cuerpos como es el caso de la prueba de indentación; por lo que para 

este estudio se realiza un análisis no lineal. 

El objetivo del análisis no lineal es calcular la respuesta de desplazamiento no lineal 

utilizando un grupo lineal de ecuaciones, por lo que un planteamiento es aplicar la carga 

gradualmente dividiéndola en una serie de incrementos y ajustando la matriz de rigidez en 

el final de cada incremento, el problema del planteamiento es que el error se acumula con 

cada incremento de carga causando que el resultado final se encuentre fuera de equilibrio, 

por lo que aplicando el algoritmo de Newton Raphson se aplica la carga gradualmente en 

incrementos y se desarrollan iteraciones de equilibrio, tal que en cada incremento de 

carga conduzca a la solución incremental para el equilibrio resolviendo la ecuación 3.20: 

Donde: 

[ K T ] = matriz de rigidez tangente 

{ ∆ u} 

= incremento del desplazamiento 

{ F } = vector de carga externa 

nr { F } = vector de fuerza interna 

nr 

[ KT ]{ u} { F} { F } 

∆ = − -------------------------------- Ec. (3.20) 


nr 

La iteración continua hasta que { F} { F } 


− (diferencia entre la carga externa y la carga 

interna) se encuentre dentro de una tolerancia. 

3.3.3 Construcción del modelo de elemento finito para la prueba de 

nanoindentación. 

En este estudio, se realiza la simulación de la prueba de nanoindentación sobre la 

interfase Fe2B-sustrato de un acero AISI 1018 endurecido por el tratamiento termoquímico 

de borurización haciendo uso del método del elemento finito mediante el programa 

comercial ABAQUS 6.8-2. El modelo se construye con geometría axisimétrica como se 

ilustra en la Fig. 3.7. La simulación de la prueba de nanoindentación se realiza con el ciclo 

completa del ensayo (carga-descarga). En el primer paso de carga, conocido como 

“estado de carga” representa la fase de indentación sobre la muestra. Durante el segundo 

paso de carga, llamado “estado de relajación”, el indentador se retira de la muestra, 

conduciendo a una recuperación elastoplástica del material. 

Fig. 3.7 Esquema del modelo de elemento finito para la prueba de nanoindentación. 

Es necesario reemplazar la pirámide Berkovich con un cono equivalente para incrementar 

la exactitud del cálculo. El indentador se considera como un cuerpo rígido analítico con 

ángulo semi-vertical de 70.3°, el cual resulta en la misma función de profundidad de área 

que un indentador Berkovich [78]. Las propiedades elastoplásticas de la interfase Fe2Bsustrato 

se modela de acuerdo a los resultados obtenidos de forma experimental con 

módulo de elasticidad de 290 GPa a 350GPa, resistencia a la cedencia de 6.7GPa a 



8.2GPa, relación de Poisson de 0.2 y coeficiente de endurecimiento por deformación de 

0.23. 

El modelo de la muestra es mallado con elementos CAX4R resultando 2501 elementos y 

2602 nodos. Los elementos más finos se localizan en el área de contacto central y el 

tamaño de los elementos es más grande tanto como estos se alejan de la parte de 

contacto. 

El coeficiente de fricción entre la punta y la muestra se asume como cero [79]. La parte 

inferior de la muestra se restringe para evitar el movimiento en dirección vertical; sin 

embargo puede deslizarse libremente o deformarse en dirección horizontal, la profundidad 

de penetración se controla con el desplazamiento del indentador sobre la muestra, la cual 

tiene un valor de 576 nm. Además, para verificar el modelo se aplico carga de 100mN 

sobre el indentador para obtener la misma profundidad de penetración que en pruebas 

experimentales. 

Tabla 3.3. Parámetros de la capa Fe2B del acero borurado AISI 1018 utilizados para el modelo de 

MEF de la prueba de nanoindentación. 

Módulo de 

elasticidad "E" 

(Gpa) 

Relación de 

Poisson "ν" 

Resistencia a la 

Cedencia “σy” 

(GPa) 

Esfuerzos 

residuales 

“σres” 

(GPa) 

290 0.2 6 ‐2,‐1,0,1,2 

304 0.2 6.7 ‐2,‐1,0,1,2 

314 0.2 7.3 ‐2,‐1,0,1,2 

333 0.2 8.2 ‐2,‐1,0,1,2 

350 0.2 8.5 ‐2,‐1,0,1,2 



CAPÍTULO 4 

ESTIMACIÓN DE TENACIDAD A LA 

FRACTURA DE CAPAS Fe2B POR 

INDENTACIÓN VICKERS 

4.1 PRUEBA DE INDENTACIÓN VICKERS 

La indentación Vickers [80] se utiliza principalmente para determinar la dureza de 

materiales. Sin embargo también es posible determinar la tenacidad a la fractura de 

materiales frágiles mediante esta prueba. La aplicación de la prueba de tenacidad a la 

fractura por indentación Vickers (VIF por sus siglas en inglés) se ha extendido, debido a 

que puede ser aplicada sobre pequeñas muestras de material no susceptible a ser 

probado por otras pruebas de tenacidad a la fractura. La preparación de la muestra es 

relativamente simple requiriendo solamente una superficie plana perfectamente pulida, el 

indentador Vickers que se utiliza para producir las indentaciones es un dispositivo 

estándar, el cual se utiliza en un probador de dureza o sobre una máquina de prueba 

universal, la longitud de la grieta en ocasiones puede ser medida ópticamente sin 

demasiada dificultad, además de ser rápida y de bajo costo. El equipo utilizado por la 

referencia [68] para realizar las microindentaciones sobre la superficie endurecida por 

difusión de boro, es el “Microdurometro HVS 1000” (Fig. 4.1) empleando la norma ASTM 

E386. 

Fig. 4.1. Microdurometro HVS 1000. 



4.2 AGRIETAMIENTO DEBIDO A CARGAS DE INDENTACIÓN. 

Diferentes tipos de grietas pueden aparecer durante la indentación dependiendo de la 

forma del indentador (cónico, esférico, de punta plana, Berkovich, Vickers, etc.) y sobre las 

propiedades del material. La recuperación elástica durante la descarga conduce a una 

redistribución de esfuerzos la cual es responsable del agrietamiento lateral [81,82]. Grietas 

laterales en la interfase entre recubrimiento y sustrato se pueden utilizar para estimar la 

tenacidad interfacial [83,84], las grietas laterales también son responsables del desgaste 

abrasivo y erosión de cerámicos [85]. 

Cuando indentadores agudos (Vickers, Knoop y Berkovich) penetran en materiales frágiles 

frecuentemente nuclean grietas superficiales, debido a la permanente deformación plástica 

y se propagan a lo largo de la dirección radial Fig. 4.2 (a) [58]. Dos tipos de grietas 

superficiales se observaron ampliamente en experimentos [45,86]: grietas “half-penny” 

(GHP) y grietas radiales (GR) las cuales se distinguen por su morfología de sección 

transversal Fig. 4.2 (b). La forma de las grietas radiales se aproxima a un semicírculo y 

son grietas superficiales poco profundas que emanan de la esquina de la impresión y se 

expanden radialmente. Las grietas half-penny se generan debajo de la zona de 

deformación plástica y también se extienden en la dirección radial durante la descarga. 

Fig. 4.2. Esquema del sistema de grietas half-penny y grietas radiales por indentación Vickers: 

(a) vista superior (b) vista de la sección A-A 



Por lo que es más fácil medir la geometría de la grieta superficial (especialmente para 

materiales no transparentes), los dos tipos de grietas (GR y GHP) son la base para 

estimar la tenacidad a la fractura [48,49,51,60,87 y 88]. En [58] se investigaron grietas en 

materiales frágiles inducidas por indentación Vickers, donde se argumenta que en bajas 

cargas se formaban grietas radiales mientras que en cargas altas se formaban grietas halfpenny; 

y que los dos tipos de grietas crecían a su máxima longitud después de completar 

la descarga (cuando su longitud se pude medir), por otro lado se determina que los 

sistemas de agrietamiento son diferentes (grietas radiales no son precursoras de grietas 

half-penny en cargas criticas). 

Ya que el desarrollo de indentación esta acoplado con campos de esfuerzos complejos 

que surgen de la deformación finita, estos campos de esfuerzos se encuentra 

implícitamente relacionado con el desarrollo elastoplástico y de fractura del material. 

Soluciones de esfuerzos analíticos simples [50] se utilizaron para establecer una relación 

adimensional o empírica entre las variables relevantes y se ajustaron parámetros claves 

de extensos experimentos. En [48] se propone una simple relación entre la tenacidad a la 

fractura y la longitud de grieta para GHP. Ajustando resultados experimentales, en [50] se 

argumenta que las ecuaciones propuestas por [48] no eran muy exactas en bajas cargas 

donde se formaban grietas radiales, por lo que propuso distinguir grietas radiales de 

grietas half-penny de las ecuaciones para determinar la tenacidad a la fractura por 

indentación Vickers. En un estudio siguiente [51] se propone una formulación para grietas 

radiales y se desarrolla un nuevo modelo para este tipo de grietas. 



4.3 METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS DE FRACTURA POR INDENTACIÓN 

VICKERS. 

Como se observa en la Fig. 4.3 un indentador Vickers con ángulo de 136° se aplica sobre 

una muestra; en la penetración máxima la carga de indentación máxima es P , la longitud 

total de la diagonal de la impresión es 2a . La grieta radial es tomada como ideal 

l 

(geometría semicircular) para simplificar el análisis; el radio de la grieta radial es . 

2 

Un extremo de la grieta radial se localiza en la esquina de la impresión, la cual es 

determinada en la máxima carga y es asumido que con la presencia del indentador, el final 

de la grieta radial no se puede propagar hacia adentro y solo el extremo de la grieta radial 

que se encuentra alejado de la impresión puede crecer hacia afuera radialmente. 

El desarrollo plástico se caracteriza con el criterio de cedencia de Von Mises y con el 

desarrollo elástico perfectamente plástico ya que pruebas de compresión sobre varios 

materiales frágiles muestran que estos materiales se pueden aproximar por el desarrollo 

elástico perfectamente plástico [89]. La relación de Poisson v se considera 0.2, un valor 

típico para materiales frágiles. 

Para este estudio se utiliza la técnica de superposición [90] para determinar la intensidad 

del esfuerzo del sistema, el cual es confiable cuando se ignora la plasticidad en la punta 

de la grieta como es el caso de los materiales frágiles. 

La técnica de superposición descrita en el capítulo 2 se utiliza para el planteamiento del 

problema, en el cual se estudia el agrietamiento en superficies endurecidas por difusión de 

boro (Fig. 4.3). El problema de agrietamiento por indentación Vickers se divide en dos 

etapas. En la primera etapa se deriva el estado de esfuerzo residual debido a la 

indentación elastoplástica en ausencia de una grieta Fig. 4.4 (a). De acuerdo a previos 

estudios, las grietas radiales crecen a su máxima longitud después de la descarga, 

entonces solo se considera el campo de esfuerzo residual debido a la indentación después 

de la descarga. 

Fig. 4.3 Esquema de una superficie indentada y la grieta asociada en un material frágil. 



En la segunda etapa, una grieta radial es involucrada en la muestra deformada Fig. 4.4 

(b), y el estado de esfuerzos residual distribuido σ ( x) 

obtenido de la primera etapa se 

aplica sobre la superficie de la grieta; finalmente el factor de intensidad de esfuerzos se 

calcula para una geometría de grieta dada Fig. 4.4 (c). 

Fig. 4.4 Técnica de superposición aplicada al problema de agrietamiento por indentación Vickers. 



4.3.1 Análisis dimensional del factor de intensidad de esfuerzo por indentación 

Vickers. 

Para el análisis de agrietamiento de capas endurecidas por difusión de boro debido a 

cargas de indentación Vickers, se realiza un análisis dimensional. 

• En la primera etapa se selecciona las variables dependientes y se identifican las 

variables independientes y parámetros. 

Se selecciona el factor de intensidad de esfuerzos como variable dependiente, ya que es 

el parámetro de interés. Aparentemente el valor del factor de intensidad de esfuerzos 

según la Fig. 4.5 depende de la localización en la cara frontal de la grieta θ , las 

propiedades del material: módulo de elasticidad E y resistencia a la cedencia σ y ; carga 

de indentación la cual se representa por el tamaño de la impresión a y por la longitud de 

la grieta radial l . Por lo que resulta la expresión 4.1. 

( θ, , σ , , ) 

K = f E a l ----------------------------------- Ec. (4.1) 

i y 

• La segunda etapa es identificar entre los seis parámetros gobernantes los que 

presenten dimensiones independientes 

Se observa que dos parámetros σ y y l tienen dimensiones independientes (dimensiones 

de esfuerzo y longitud). Las dimensiones de E, a, θ y K están dadas por 

0 0 

[ E] = ⎡ 

⎣σ ⎤ y⎦; [ a] = [ l] ; [ θ] = ⎡ 

⎣σ ⎤ y⎦ 

[ l] 

y [ ] [ ] 1 

K ⎡σ⎤ 2 

y a 

= ⎣ ⎦ ----------- Ec. (4.2) 

• De acuerdo a la tercera etapa del análisis dimensional se aplica el teorema de ∏ 

con lo que se obtiene: 

Que es equivalente a 

( , , ) 

∏ =∏ ∏ ∏ --------------------------------- Ec. (4.3) 

β β 1 2 θ 

⎛ E l ⎞ 

K = σ y a∏β⎜ 

, , θ ⎟ ----------------------------- Ec. (4.4) 

⎜σya⎟ ⎝ ⎠ 



Fig. 4.5. Esquema de agrietamiento tipo radial debido a una indentación Vickers. 

De acuerdo a análisis dimensional se observar dos puntos importantes para el modelo de 

agrietamiento por cargas de indentación Vickers. 

• El valor de la cantidad adimensional de K depende de la longitud de grieta 

adimensional l 

E 

, la posición de la cara frontal θ y las propiedades del material 

a σ y 

• El problema original de una función de cinco parámetros en la ecuación 4.1 es reducido a 

una ecuación 4.3 con 2 parámetros con dimensiones independientes. Por lo que ahora es 

una función de tres parámetros debido a simplificar el problema original de cinco 

parámetros y permitir una evaluación sistemática de los efectos de cada parámetro. 

La condición crítica se alcanza cuando el factor de intensidad de esfuerzos iguala la 

tenacidad a la fractura del material, y para que la grieta se propague sobre la superficie (y 

entonces llegue a ser medible) el factor de intensidad de esfuerzos en la superficie 

necesita exceder la tenacidad a la fractura del material. 

Por lo que se llevan a cabo simulaciones numéricas para determinar el valor numérico de 

∏ β el cual representa la relación que existe entre la cantidad adimensional del factor de 

intensidad de esfuerzos, con las cantidades adimensionales que representan la longitud 

de la grieta y las propiedades del material. 



4.4 MODELO DE ELEMENTO FINITO PARA LA ESTIMACIÓN DEL ESTADO DE 

ESFUERZOS RESIDUALES DEBIDO A CARGAS DE INDENTACIÓN VICKERS. 

De acuerdo a la metodología planteada (técnica de superposición) para el estudio del 

agrietamiento de capas duras bajo cargas de indentación Vickers, la primera fase del 

problema se refiere a estimar el estado de esfuerzos residual que se presenta en la 

muestra debido a cargas de indentación Vickers. Para lo cual se llevan a cabo 

simulaciones numéricas mediante el programa comercial ABAQUS 6.8-2 con deformación 

finita. La opción de superficie rígida analítica se utiliza para representar el indentador 

Vickers sin fricción Fig. 4.6 (a), la muestra es modelada considerando la morfología de la 

interfase de la superficie endurecida por difusión de boro Fig. 4.6 (b). Ya que la muestra 

presenta simetría, se modela solo una cuarta parte de la superficie endurecida por difusión 

de boro para evaluar la prueba de indentación Vickers sobre un acero borurado AISI 1018, 

con lo que permite realizar un modelo más fino y detallado. 

(a) (b) 

Fig. 4.6 Modelo de MEF para la determinación del estado de esfuerzos residual debido a cargas de 

indentación Vickers (a) Indentador Vickers, (b) Muestra de acero borurado AISI 1018. 

Fig. 4.7 Malla de la muestra (acero borurado AISI 1018) para el análisis de MEF. 



Para generar la malla se utilizan elementos “brick” de ocho nodos y diferentes técnicas de 

mallado debido a la geometría irregular que presenta la morfología de las capas duras 

(Fig. 4.7) mientras que la malla del indentador se genera de forma libre como una 

superficie rígida analítica (Fig. 4.8), en el área de contacto se presenta una malla más fina 

entre el indentador Vickers y la muestra Fig. 4.9 (a) y (b), con el objetivo de obtener mayor 

precisión en la adquisición de datos de la zona de interés. 

b) 

Fig. 4.8 Malla del indentador Vickers para el análisis de MEF. 

a) 

4.9 Ensamble del indentador y la muestra para el análisis de la prueba de indentación Vickers 

mediante MEF. 



4.5 MODELO DE ELEMENTO FINITO PARA AGRIETAMIENTO RADIAL DEBIDO A 

CARGA DE INDENTACIÓN VICKERS. 

De acuerdo a la técnica de superposición la segunda etapa es involucrar una grieta (tipo 

radial) en el modelo de indentación Vickers sobre capas duras y enseguida aplicar el 

estado de esfuerzos residual por indentación que se genero en la primera etapa (en 

ausencia de grieta) a la superficie de la grieta para analizar el factor de intensidad de 

esfuerzos. 

La técnicas que se utilizan para el agrietamiento por indentación Vickers consiste en 

generar la grieta radial en un bloque independiente (Fig. 4.10 (a) y (b)) para después 

ensamblar dicho bloque en el modelo final. 

(a) (b) 

Fig. 4.10. Modelo de la grieta para el análisis de elemento finito (a) muestra (b) bloque con la grieta 

radial. 

La malla se realiza de forma separada para la muestra y para el bloque que contiene la 

grieta radial, siendo la generación de la malla sobre la grieta la principal razón para 

realizar la malla de forma independiente (Fig. 4.11) 

(a) (b) 

Fig. 4.11. Modelo de la malla de la grieta radial para el análisis de elemento finito (a) muestra 

(b) bloque con la grieta radial. 



En la Fig. 4.12 se muestra el ensamble del bloque que contiene la grieta radial con el resto 

del modelo de la muestra. Para generar la malla del modelo se utilizan elementos C3D8R 

y elementos C3D20R para la grieta; resultando un total de 31783 elementos. La dirección 

de la extensión de la grieta se considera hacia afuera como lo indica la Fig. 4.13, se 

restringe el desplazamiento de la muestra en todas direcciones y se aplican el estado de 

esfuerzos residual por indentación generado en la primera etapa sobre la superficie de la 

muestra 

Fig. 4.12 Ensamble del bloque de la grieta radial con la muestra para el análisis del factor de 

intensidad de esfuerzos mediante MEF. 

Fig. 4.13 Dirección de la extensión de la grieta radial para el análisis del factor de intensidad de 

esfuerzos mediante MEF. 



CAPÍTULO 5 

ANÁLISIS DE RESULTADOS 

5.1 DUREZA Y MÓDULO DE ELASTICIDAD MEDIANTE LA PRUEBA DE 

NANOINDENTACIÓN (EXPERIMENTAL). 

En la prueba de nanoindentación, la carga máxima aplicada debe ser suficiente para 

producir una deformación permanente sobre la capa, para determinar sus propiedades 

mecánicas. Los resultados de la medición del espesor de la difusión controlada de las 

capas boruradas Fe2B del acero borurado AISI 1018, muestran que el espesor máximo es 

217.1±57 µm y de acuerdo a los experimentos de nanoindentación, la profundidad de 

indentación máxima es 1.316 µm. Como un resultado, la proporción del espesor de la 

capa borurada y la profundidad de indentación máxima son aproximadamente 0.6%, lo 

que indica que se encuentran en límites aceptables para llevar a cabo el análisis con este 

procedimiento. Para este estudio se utilizo el “nanoindentador MCS NTH” para la 

determinación experimental del módulo de elasticidad y dureza de la zona de interfase 

entre la capa borurada Fe2B-sustrato, con carga constante de 100mN. Las características 

de la curva carga-desplazamiento del acero borurado AISI 1018 para 1000°C y diferentes 

tiempos de exposición se muestran en la Fig. 5.1. 

Carga (mN) 

120 

90 

60 

30 

0 

4h 

6h 

8h 

0 200 400 600 

Desplazamiento (nm) 

Fig. 5.1. Curva carga-desplazamiento para la zona de interfase Fe2B-sustrato del acero borurado 

AISI 1018 a 1000ºC y 4,6 y 8h de tiempo de exposición con 100 mN de carga. 



Tabla 5.1. Valores obtenidos de la prueba experimental de nanoindentación para los diferentes 

tiempos de exposición y 100mN de carga aplicada. 

Condiciones Indentación F (mN) H (GPa) 

8h 1000°C 

6h 1000°C 

4h 1000°C 

1 

Promedio 

H (GPa) 

E (GPa) 

3 20.3 334 

4 100 19.8 19.6±0.9 345 

Promedio E 

(GPa) 


17.9 

308 

2 19.8 333 

5 19.7 339 

6 20.6 349 

7 19.1 322 

1 

16.1 

309 

2 18.9 300 

3 18.1 293 

4 

5 

100 

17.9 

17.6 

17.7±0.8 

295 

306 

6 17.3 343 

7 17.5 320 

8 17.9 341 

1 

16.9 

303 

2 16.5 295 

3 100 15.9 16.7±1.1 313 

4 15.7 292 

5 18.5 315 

333±14 

314±19 

304±10 

5.2 RESISTENCIA A LA CEDENCIA Y COEFICIENTE DE ENDURECIMIENTO POR 

DEFORMACIÓN EN BASE A LA PRUEBA DE NANOINDENTACIÓN. 

La resistencia a la cedencia de la zona de interfase entre la capa Fe2B-sustrato del acero 

AISI 1018 endurecido mediante el tratamiento termoquímico de borurización, fue calculada 

pm 

de acuerdo a la ecuación 5.1, donde la expresión se cumple para 1.1< < 3 

σ 

p ⎛ 

m 

E ⎞ 

= A+ Bln ⎜k ε rep ⎟ --------------------------------- Ec. (5.1) 

σ ⎜ 

y σ ⎟ 

⎝ y ⎠ 

y


Donde E es el módulo de elasticidad, p m es la presión media o dureza, σ y es la 

resistencia a la cedencia, 

4 2 

A≈ , B ≈ y 

3 3 

5 

k ≈ 

3 

Tabla 5.2. Resistencia a la cedencia σ y de la interfase Fe2B-sustrato del acero borurado AISI 

1018 

Condiciones Indentación 

Dureza H 

(GPa) 

Cedencia 

σy (GPa) 

Relación 

H/σy 

1 17.9 7.47 2.40 

8h 1000°C 

6h 1000°C 

4h 1000°C 

2 19.8 8.35 2.37 

3 20.3 8.61 2.35 

4 19.8 8.23 2.41 

5 19.7 8.20 2.40 

6 20.6 8.67 2.38 

7 19.1 8.03 2.38 

1 16.1 6.47 2.50 

2 18.9 8.14 2.32 

3 18.1 7.75 2.34 

4 17.9 7.61 2.36 

5 17.6 7.33 2.40 

6 17.3 6.83 2.53 

7 17.5 7.14 2.45 

8 17.9 7.22 2.49 

1 16.9 6.95 2.43 

2 15.2 6.05 2.78 

3 15.9 6.32 2.52 

4 15.7 6.36 2.47 

5 18.5 7.73 2.39 

Promedio 

σy (GPa) 

8.2±0.4 

7.3±0.5 

6.7±0.7 

Los resultados se muestran en la tabla 5.2. Como se puede apreciar la relación que existe 

entre la dureza y la resistencia a la cedencia se encuentra dentro del rango que establece 

la formulación 5.1 para que esta pueda ser aplicada. 



El coeficiente de endurecimiento por deformación n se calcula partir de la expresión 3.7 

Tabla 5.3. Coeficiente de endurecimiento por deformación n de la interfase Fe2B-sustrato del 

acero borurado AISI 1018. 

Condiciones Indentación hr (nm) hmax (nm) hr / hmax n Promedio n 

8h 1000°C 

6h 1000°C 

4h 1000°C 

1 431.2 571.8 0.75 0.235 

2 407.1 546.5 0.74 0.237 

3 402.2 542.8 0.74 0.238 

4 408.1 543.6 0.75 0.236 

5 410.0 546.8 0.75 0.236 

6 398.3 535.5 0.74 0.237 

7 415.7 555.9 0.75 0.236 

1 456.0 593.3 0.77 0.233 

2 415.3 567.5 0.73 0.240 

3 425.3 577.0 0.74 0.238 

4 428.3 578.4 0.74 0.238 

5 434.2 578.8 0.75 0.236 

6 442.3 573.4 0.77 0.232 

7 436.9 576.1 0.76 0.234 

8 431.4 565.7 0.76 0.234 

1 445.7 584.1 0.76 0.234 

2 564.8 679.9 0.83 0.227 

3 462.3 593.2 0.78 0.231 

4 464.4 601.6 0.77 0.232 

5 423.9 564.0 0.75 0.236 

0.236±0.001 

0.236±0.003 

0.232±0.003 



5.3 ESTIMACIÓN DE ESFUERZOS RESIDUALES POR NANOINDENTACIÓN. 

Los esfuerzos residuales son aquellos que existen dentro de un material sin la aplicación 

de una carga externa, o también se definen como los esfuerzos que permanecen en un 

cuerpo que se encuentra estacionario y en equilibrio con su alrededor. Los esfuerzos 

residuales son un parámetro importante para la evaluación de la confiabilidad estructural e 

influyen en la respuesta del material durante el proceso de indentación. 

Los resultados de la simulación de la prueba de nanoindentación para la interfase Fe2Bsustrato 

utilizando el programa comercial ABAQUS 6.8-2 se muestran en las Figs. 5.2 y 

5.3. En la Fig. 5.2 se observan los esfuerzos de Von Mises que se generan al aplicar la 

máxima profundidad de penetración, mientras que la Fig. 5.3 muestra la distribución de 

tales esfuerzos después de que el indentador es removido, y la región de la superficie de 

la muestra deformada plásticamente. 

. 

Fig. 5.2. Esfuerzos de Von Mises sobre la interfase Fe2B-sustrato de un acero AISI 1018 

endurecido superficialmente por difusión de boro en la primera etapa de carga de la prueba de 

nanoindentación 



Fig. 5.3. Esfuerzos de Von Mises sobre la interfase Fe2B-sustrato de un acero AISI 1018 

endurecido superficialmente por difusión de boro en la segunda etapa de carga de la prueba de 

nanoindentación. 

5.3.1 Evaluación numérica de la influencia de esfuerzos residuales sobre la gráfica 

carga-desplazamiento de superficies endurecidas por difusión de boro. 

En base a las simulaciones numéricas llevadas a cabo mediante el método del elemento 

finito con el programa ABAQUS 6.8.2, se observa la influencia de los esfuerzos residuales 

de tensión y compresión sobre la curva de carga de una gráfica carga-desplazamiento 

(Fig. 5.4 y 5.5). Se puede observar que para esfuerzos residuales de compresión la curva 

de carga se incrementa y por lo tanto la dureza aumenta; mientras que con presencia de 

esfuerzos residuales de tensión la curva de carga se reduce y en consecuencia decrece 

la dureza. 


F (mN) 

150 

100 

50 

0 


0 200 400 600 

h (nm) 

Fig. 5.4. Indentación sobre capas duras obtenidas por difusión superficial de boro en un acero 

AISI 1018 sujeto a diferentes estados de esfuerzos residuales con penetración constante de 

h=576 nm 

F (mN) 

100 

50 

0 

‐2 GPa 

0 Gpa 

2 GPa 

‐2 GPa 

0 Gpa 

2 GPa 

0 200 400 600 

h (nm) 

Fig. 5.5. Indentación sobre capas duras obtenidas por difusión superficial de boro en un acero 

AISI 1018 sujeto a diferentes estados de esfuerzos residuales con carga constante de F=100 mN. 



Los esfuerzos residuales de tensión o compresión en la superficie indentada se asumen 

como un estado de esfuerzos equi-biaxial con igual magnitud en la dirección x y y , por lo 

que existe un esfuerzo residual equivalente σ res (Fig. 5.6). El esfuerzo residual equivalente 

se encuentra representado en una gráfica esfuerzo uniaxial vs deformación plástica 

uniaxial para una simple prueba de compresión según la Fig. 5.7 

Fig. 5.6. Prueba de nanoindentación con presencia de esfuerzos residuales. 

Fig. 5.7. Esfuerzo residual representado en la gráfica esfuerzo uniaxial vs deformación plástica en 

una prueba de compresión. 

Por lo que en el análisis dimensional sobre la influencia de los esfuerzos residuales en la 

curva de carga de un diagrama carga-desplazamiento, se llevan a cabo en función de la 

resistencia a la cedencia efectiva, la cual involucra parámetros de plasticidad del material. 

El análisis dimensional de la curva de carga de una superficie endurecida por difusión de 

boro en un diagrama carga-desplazamiento, se realiza de acuerdo al comportamiento que 

resulta de las simulaciones numéricas de la prueba de nanoindentación con presencia de 

esfuerzos residuales. 



La presencia de esfuerzos residuales de compresión tienden a incrementar la curva de 

carga, en relación a la curva de carga en ausencia de esfuerzos residuales, por lo que 

realizando análisis dimensional resulta. 

F 

⎛σ σ ⎞ ⎛σ ⎞ ⎡ ⎛σ σ ⎞⎤ 

=∏ ⎜ , =∏ × ⎢1 +∏ , 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎥ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦ 

y* res y* y* 

res 

2 α α'⎜ 

⎟ 

b 

Eh E σ y* E E σ y* 

------------ Ec. (5.2) 

⎛σy* ⎞ 

Donde la función ∏α ' ⎜ ⎟ corresponde a la curva de carga en ausencia de esfuerzos 

⎝ E ⎠ 

⎛σy* σ ⎞ 

r 

residuales y la función ∏b ⎜ , ⎟ corresponden a la influencia que tienen los esfuerzos 

⎜ E σ ⎟ 

⎝ y* 

⎠ 

residuales de compresión sobre dicha curva de carga. 

Fig. 5.8. Curva de carga con efecto de esfuerzos residuales de compresión. 

Para esfuerzos residuales de tensión la curva de carga desciende en relación a la curva 

de carga en ausencia de esfuerzos residuales, lo que indica que desciende la dureza del 

material de prueba en presencia de esfuerzos residuales de tensión. Por lo que realizando 

análisis dimensional de la curva de carga en presencia de esfuerzos residuales de tensión 

resulta: 

F 

⎛σ σ ⎞ ⎛σ ⎞ ⎡ ⎛σ σ ⎞⎤ 

=∏ ⎜ , =∏ × ⎢1 −∏ , 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎥ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦ 

y* res y* y* 

res 

2 α α'⎜ 

⎟ 

b 


------------ Ec. (5.3) 



De igual forma la primera función describe el comportamiento de la curva de carga en 

ausencia de esfuerzos residuales y el segundo término representa la disminución de la 

curvatura debido a la presencia de esfuerzos residuales de tensión. Se puede observar en 

las ecuaciones 5.2 y 5.3 que en ausencia de esfuerzos residuales la función de ∏b resulta 

cero, con lo que las ecuaciones se reduciría a la ecuación en ausencia de esfuerzos 

residuales. 

Fig. 5.9. Curva de carga con efecto de esfuerzos residuales de tensión. 

En seguida se determina la función ∏ b , la cual relaciona la cantidad adimensional de la 

carga aplicada con las cantidades adimensionales de resistencia a la cedencia efectiva y 

esfuerzo residuales presentes en la curva de carga de un diagrama carga-desplazamiento 

para una superficies endurecidas por difusión de boro. 

F 

La Fig. 5.10 muestra la relación que existe entre 2 

Eh y 

σ res de la zona de interfase 

σ y* 

Fe2B-sustrato de un acero AISI 1018 endurecido superficialmente por difusión de boro; los 

valores de los diferentes parámetros utilizados para graficar se muestran en la tabla 5.4; 

donde, además de considerarse los tres grupos que son producto del promedio de las 

condiciones de tratamiento (4,6 y 8h), se agregaron los dos primeros grupos con datos 

experimentales para ampliar el rango de análisis. 


Tabbla 

5.4. Parrámetros 

dee 

la zona dee 

interfase FFe2B-sustraato 

del aceroo 

borurado AISI 1018 

utilizados para el anáálisis 

dimenssional. 

σy 

(GPPa) 

E 

(GGPa) 

5. 0 2295 

8. 1 3300 

6. 7 3304 

7. 3 3314 

8. 2 3333 

2 

Fig. 5.110. 

Relación 

entre F / Eh y σ ress 

/ σ y* 

de la zona de int terfase Fe2BB-sustrato 

ddel 

acero AISI 

1018 enduurecido 

supeerficialmentte 

por el trattamiento 

termoquímicoo 

de boruriz zación. 

La pendiente 

γ ess 

la que reelaciona 

lass 

cantidadees 

adimensionales 

dde 

la carga aplicada ccon 

el esfuerzo 

residual 

para un u rango de 

propiedaades 

de mmaterial 

reppresentado 

o por la razzón 

σ 

, es sta relacióón 

es con el objetivvo 

de que la función n final queede 

en té érminos dee 

la 

y 

E 

F/Eh 2 

1.8 

1.6 

1.4 

1.2 

0.8 

σ y 

cantidaad 

adimenssional 

E 

ALFONSOO 

MENESES AMADOR 

1 

‐0.3 

* 

n 

0.23 

0.23 

0.23 

0.23 

0.23 

‐0.2 

INNSTITUTO 

PPOLITÉCNICOO 

NACIONAAL, 

ESIME ZZACATENCO 

O 

σy / E 

0.017 

0.027 

0.021 

0.023 

0.025 

‐0.1 0 0.1 

σres/σσ y* 

K=σy(E/σyy)^n 

σy*=( (σyK)^0.5 

(Gpa) ( Gpa) 

12.77 

18.66 

16.11 

17.34 

19.22 

88.00 

112.32 

110.39 

111.25 

112.55 

0.0221 

0.0223 

0.0225 

0.0227 

, la cual innvolucra 

parámetros 

de plasticcidad 

del mmateria. 

0.2 

0.3 

σy*/E 

0.027 

0.041 

0.034 

0.036 

0.038 

91

Pendiente γ 

2 

1.8 

1.6 

1.4 

1.2 


y = 38.29x + 0.224 

R² = 0.989 

0.030 0.033 0.036 0.039 0.042 

Fig. 5.11. Relación entre la pendiente γ de la fig. 5.10 y * / y E 

σy*/E σ de la zona de interfase Fe2Bsustrato 

del acero AISI 1018 endurecido por el tratamiento termoquímico de borurización. 

De la Fig. 5.11 la pendiente γ se puede aproximar por: 

⎛σ⎞ γ = ⎜ ⎟+ 

⎝ E ⎠ 

y* 

38.29 0.224 

Con lo cual se obtiene el valor de ∏ b para la ecuación 5.5 

0.521 

F σ y* σ ⎛σ y* ⎞ 

σ 

res y* 

σres 

=∏ , 6.756 1 , 

2 α 

= ⎜ ⎟ × ±∏b 


-------------------------------------- Ec. (5.4) 

⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤ 

⎜ 

⎟ 

⎢ ⎜ 

⎟ 

⎥ ------------- Ec. (5.5) 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦ 

Sustituyendo la ecuación 5.4 en 5.5 resulta la expresión general para estimar esfuerzos 

residuales en superficies endurecidas por difusión de boro. 

⎧ 

⎪ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎫ 

⎪ 

⎜ ⎟ ⎨ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎜ 

⎜ ⎟ 

⎬ ------- Ec. (5.6) 

⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦⎝ 

⎠⎪⎭ 

0.52 0.48 −0.52 

F ⎛σ y* ⎞ ⎛σ y* ⎞ ⎛σ y* ⎞ σ res 

= 6.756 × 1± 5.667 + 0.033 

2 

Eh E E E σ y* 



La Fig. 5.12 representa los esfuerzos residuales presentes en la zona de interfase Fe2Bsustrato 

de un acero AISI 1018 endurecido superficialmente por difusión de boro, donde se 

observa el incremento de los esfuerzos residuales de compresión con relación al tiempo 

de exposición para una temperatura constante de 1000°C. 

Tabla 5.5. Esfuerzos residuales de la interfase de la capa Fe2B-sustrato del acero borurado AISI 

1018 a 1000°C y 4,6 y 8h de tiempo de tratamiento. 

Tiempo (h) F (mN) E (GPa) σy (GPa) hmax (nm) σy*/E σr (MPa) 

4 100 304 6.7 605 0.034 ‐236 

6 100 314 7.3 576 0.036 ‐305 

8 100 333 8.2 549 0.038 ‐329 

Carga (mN) 

120 

90 

60 

30 

0 

4h 

6h 

8h 

‐329 MPa 

‐236 MPa 

‐305MPa 

0 200 400 600 

Desplazamiento (nm) 

Fig. 5.12. Esfuerzos residuales de la interfase Fe2B-sustrato del acero borurado AISI 1018 a 

1000ºC y 4,6 y 8h de tiempo de exposición y 100 mN de carga en la prueba de nanoindentación . 

Con el objetivo de validar la ecuación 5.6 para estimar esfuerzos residuales en capas 

endurecidas por difusión de boro, se realiza un perfil de nanoindentaciones a lo largo del 

espesor de la capa Fe2B de un acero borurado AISI 1018, ya que las propiedades que 

presenta se encuentran dentro del rango establecido para la aplicación de la formulación 

desarrollada, y se compara con esfuerzos residuales determinados experimentalmente por 

difracción de rayos X. 



Fig. 5.13. Representación esquemática de las indentaciones desarrolladas en capas duras 

obtenidas por difusión superficial de boro sobre un acero AISI 1018 

Esfuerzo Resiaual(Mpa) 

‐1000 

‐1500 

‐2000 

Ec. dimensional 5.7 

Difracción de rayos X 

25 45 65 85 105 125 

Profundidad de la superficie (µm) 

Fig. 5.14. Estado de esfuerzos residuales en capas duras obtenidas por difusión superficial de boro 

sobre un acero AISI1018 



5.4 ESTADO DE ESFUERZOS RESIDUALES DEBIDO A CARGAS DE INDENTACIÓN 

VICKERS 

El campo de esfuerzo normal σ 22 es responsable del crecimiento de las grietas radiales 

(en este caso σ 22 es el componente de esfuerzo perpendicular al plano de la grieta). Los 

parámetros utilizados para el análisis de la prueba de indentación Vickers se presentan en 

la tabla 5.6. 

Tabla 5.6. Propiedades elásticas para la simulación de la prueba de indentación Vickers. 

Condiciones 

Relación 

de Poisson 

ν 

Módulo de 

elasticidad E 

(GPa) 

Resistencia a la 

cedencia σy 

(GPa) 

Proporción 


E/σy 

8h 1000°C 0.2 333 8.2 40 

6h 1000°C 0.2 314 7.3 43 

4h 1000°C 0.2 304 6.7 45 

En las Figs. 5.15 y 5.16 se muestran los campos de esfuerzos σ 22 generados por la 

prueba de indentación Vickers sobre la capa borurada Fe2B para una proporción de 

E 

= 43 y una carga de 50 grs, lo cual corresponde a la muestra borurada de acero AISI 

σ 

y 

1018 con un tiempo de exposición de 6h y temperatura de 1000°C. En la primera etapa se 

aplica la carga máxima derivando en un valor de σ 22 = 846MPa , los mayores esfuerzos de 

compresión se encuentran en la zona de contacto entre el indentador y la muestra como 

se puede observar en la Fig. 5.15. 

Fig. 5.15. Primera etapa de carga para la prueba de indentación Vickers sobre un acero borurado 

AISI 1018 mediante MEF con E/σy = 43 y 50 grs de carga.


Para la segunda etapa de carga (Fig. 5.16) la cual se considera al retirar el indentador, 

existe una redistribucion de esfuerzos con lo que el esfuerzo residual de tensión máximo 

debidoa carga de indentación se localiza alrededor de la esquina de la impresión. 

Fig. 5.16. Segunda etapa de carga para la prueba de indentación Vickers sobre un acero borurado 

AISI 1018 mediante MEF con E / σ y = 43 y 50 grs de carga. 

En las Figs. 5.17 y 5.18 se muestra el estado de esfuerzos σ 22 del modelo de indentación 

Vickers sobre la capa borurada Fe2B de un acero AISI 1018 endurecido por difusión de 

E 

boro, para una relación de = 43 y una carga de 300 grs.. La Fig. 5.17 muestra el estado 

σ 

y 

de esfuerzos σ 22 durante el primer paso de carga, el cual se considera al aplicar la 

máxima carga, se puede observar que los mayores esfuerzos de compresión se ubican en 

la zona donde se produce el contacto y alcanzan un valor de σ 22 =1435 MPa. 

Fig. 5.17. Primera etapa de carga para la prueba de indentación Vickers sobre un acero borurado 

AISI 1018 mediante MEF con E / σ y = 43 y 300 grs. de carga. 



Para la etapa de carga llamado de relajación (se retira el indentador completamente) de 

igual forma se produce una redistribución de esfuerzos (Fig. 5.18), para estas condiciones 

de carga se aprecian los mayores esfuerzos residuales de tensión en la esquina de la 

impresión, similares a los producidos para carga de 50 grs. aunque con mayor magnitud 

debido al incremento de la carga. 

Fig. 5.18. Segunda etapa de carga para la prueba de indentación Vickers sobre un acero borurado 

AISI 1018 mediante MEF con E / σ y = 43 y 300 grs. de carga. 

La Fig. 5.19 muestra el historial del punto A de la Fig. 5.18, el cual se encuentra justo fuera 

de la zona de impresión sobre la superficie de la muestra; como se puede apreciar la 

magnitud de los esfuerzos σ 22 aumenta a su máximo valor durante la descarga, lo cual 

justifica que las grietas radiales alcancen su máxima longitud después de que el 

indentador es retirado, lo cual concuerda con previas investigaciones [58]. 

Esfuerzo normalizado (σ 22/σ y) 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

Carga 

Descarga 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8 1.2 0.6 1.4 0.4 

1.6 

Profundidad normalizada (δ/δ max) 

Fig. 5.19. Historial del esfuerzo normal σ 22 durante el ciclo de carga/descarga en el punto A de la 

figura 5.18 del análisis de MEF sobre la capa borurada. 



5.5 ANÁLISIS DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE ESFUERZOS DE GRIETAS 

RADIALES DEBIDO A CARGAS DE INDENTACIÓN VICKERS 

De acuerdo a la técnica de superposición que es la metodología utilizada para llevar a 

cabo el presente estudio, después de obtener el estado de esfuerzos residual resultado de 

las cargas de indentación Vickers, este estado de esfuerzos se aplica a una geometría de 

grieta dada para obtener el factor de intensidad de esfuerzos (SIF) Fig. 5.20. 

Fig. 5.20. Aplicación del estado de esfuerzo residual por indentación Vickers al modelo de 

agrietamiento de superficies endurecidas por difusión de boro. 

La grieta se modela para valores de la razón l 

E 

de 0.5, 1, 1.5, 2 y 2.5, y = 35, 40, 43, 

a σ y 

45 y 50 , el factor de intensidad de esfuerzo normalizado a lo largo de la parte frontal de la 

grieta esta dado como una función de − 90°≤θ ≤ 90°, 

como se muestra en las Figs. 5.21 a 

5.25. Ya que solo la longitud de la grieta en la superficie ( θ = 90° 

) se puede medir en un 

experimento, el factor de intensidad de esfuerzos K en θ = 90° 

sobre la longitud de grieta 

final l del sistema de agrietamiento radial, es igual a la tenacidad a la fractura del material 

K . 

c 


K / σ y ɑ½ 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 


‐90 ‐60 ‐30 0 

θ (grados) 

30 60 90 

Fig. 5.21. Factor de intensidad de esfuerzos normalizado a lo largo de la cara frontal de la grieta 

con E / σ y = 35. 

K / σ y ɑ½ 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

l/a=0.5 

θ (grados) 


con E / σ y =40 


l/a=1 

l/a=1.5 

l/a=2 

l/a=2.5 

l/a=0.5 

l/a=1 

l/a=1.5 

l/a=2 

l/a=2.5 

‐90 ‐60 ‐30 0 30 60 90

K / σ y ɑ½ 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 


l/a=0.5 

‐90 ‐60 ‐30 0 

θ (grados) 

30 60 90 


con E / σ y =43. 

K / σ y ɑ½ 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

‐90 ‐60 ‐30 0 

θ (grados) 

30 60 90 


con E / σ y =45. 


l/a=1 

l/a=1.5 

l/a=2 

l/a=2.5 

l/a=0.5 

l/a=1 

l/a=1.5 

l/a=2 

l/a=2.5

K / σ y ɑ½ 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 


‐90 ‐60 ‐30 0 30 60 90 

θ (grados) 


con E / σ y =50. 

De acuerdo a las gráficas se observan tres puntos principales: 

l/a=0.5 

E 

• El factor de intensidad de esfuerzos normalizado aumenta conforma la proporción 

σ y 

incrementa de 35 a 50 (la dureza disminuye). 

• El factor de intensidad de esfuerzo normalizado es más alto en el sitio de iniciación de la 

grieta, el cual es forzado a la esquina de la impresión bajo carga máxima (θ =-90°) y 

gradualmente decrece θ hasta alcanzar la otra punta de la grieta sobre la superficie 

(θ =90°). 

• El factor de intensidad de esfuerzos (SIF) disminuye en función del incremento de la 

longitud de la grieta. 

En la Fig. 5.26 se muestra el factor de intensidad de esfuerzos crítico ( K C ) computarizado 

como una función de l 

E 

, para valores seleccionados de (35, 40, 43, 45 y 50). La 

a σ y 

tendencia que se puede observar en la gráfica es que la tenacidad a la fractura decrece 

conforme incrementa la longitud de la grieta y es menor a medida que el material obtiene 

E 

mayor dureza (disminuye la proporción ). Con los análisis numéricos realizados 

σ y 

⎛ l ⎞ 

donde se varía la razón de longitud de grieta y longitud de la diagonal de impresión ⎜ ⎟ 

⎝a⎠ de 


l/a=1 

l/a=1.5 

l/a=2 

l/a=2.5


⎛ E ⎞ 

0.5 a 2.5 y la proporción entre el módulo de elasticidad y resistencia a la cedencia ⎜ 

⎟ 

σ ⎟ 

⎝ y ⎠ 

de 35 a 50, es posible deducir ∏ β de la ecuación 5.7 para estimar la tenacidad a la 

fractura ( K IC ) de la capa Fe2B de un acero AISI 1018 endurecido superficialmente por 

difusión de boro en función de las cantidades adimensional de longitud de grieta l 

a y 

E 

propiedades del material , resultando la ecuación 5.8. 

σ 

y 

⎛ E l ⎞ 

K = σ y a∏β⎜ 

, , θ ⎟ ----------------------------- Ec. (5.7) 

⎜σya⎟ ⎝ ⎠ 

Fig. 5.26. Gráfica del factor de intensidad de esfuerzos critico normalizada en función de E / σ y y 

l/ a. 

2 3 2 

KC a+ bλ+ cλ + dλ + eψ + fψ 

= 

2 2 

σ a 1+ 

gλ+ hλ + iψ + jψ 

y 

----------------------- Ec. (5.8) 

⎛ E ⎞ 

Donde λ = ln ⎜ ⎟ y ln 

⎜σ⎟ ⎝ y ⎠ 

l ⎛ ⎞ 

ψ = ⎜ ⎟; 

los valores de los coeficientes de la ecuación 5.8 se 

⎝a⎠ muestran en la tabla 5.7. 


. 


Tabla 5.7. Coeficientes de formulación para estimar tenacidad a la fractura de capas boruradas 

Fe2B (Ec. 5.8) 

Coeficiente Valor 

a -0.4500689 

b 0.3824819 

c -0.1058195 

d 0.0096257 

e -0.0026865 

f 0.0007587 

g -0.4649972 

h 0.0549274 

i -0.0038780 

j -0.0017207 

De acuerdo a datos experimentales en [51] se determina que si la relación de l 

es menor 

a 

que aproximadamente 2.5 las grietas que se forman son de tipo radial; por lo que se 

propuso la ecuación empírica 5.9 la cual es reescrita a la ecuación 5.10 y comparada con 

l 

E 

el presente estudio en las Figs. 5.27 y 5.28 donde 0.5 < < 2.5 para valores de =35 y 

a 

σ y 

50. 

2 1 

− 

5 2 

⎛ KCϕ⎞⎛ HV ⎞ ⎛ l ⎞ 

⎜ ⎟⎜ ⎟ = 0.035⎜ 

⎟ 

H E a 

V a ⎟ 

⎝ ⎠⎝ 

ϕ ⎠ ⎝ ⎠ 

---------------------------- Ec. (5.9) 


1 

2 

− 

KC ⎛ l ⎞ ⎛ E ⎞ 

= 0.035⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

σ 

a 

y a ⎝ ⎠ ⎜σ⎟ ⎝ y ⎠ 

2 

5 

------------------------------ Ec. (5.10)

K c / σ y� ½ 


Fig. 5.27. Comparación de C K normalizada de la ecuación 5.8 con ecuación 5.10 para / E σ y =35. 

K c/σ y� ½ 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 


. 

�/� 

Niihara 

Numérico 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

�/� 

Niihara 

Numérico 

Fig. 5.28. Comparación de C K normalizada de la ecuación 5.8 con ecuación 5.10 para / E σ y =50.


La Fig. 5.29 muestra la tenacidad a la fractura por indentación Vickers para diferentes 

proporciones de l 

de una superficie endurecida por difusión de boro, mediante la 

a 

ecuación empírica derivada por [53], la Fig. 5.30 mediante la ecuación de [51] y la Fig. 

5.31 presenta los valores de tenacidad utilizando la ecuación 5.8. Se puede apreciar que 

los valores de tenacidad a la fractura obtenidos en base a la ecuación 5.8 presentan 

buena aproximación respecto a los calculados por las ecuaciones de [53] y [51]. 

K c (MPa*mm ‐1/2 ) 

8 

6 

4 

2 

0 

y = 2.427x ‐1.17 

R² = 0.960 

0 1 2 3 

�/� 

Fig. 5.29. Gráfica de IC K de la capa Fe2B de un acero borurado AISI1018 con tiempo de 

exposición de 4 y 6h a 920°C, 950°C y 1000°C en base a la ecuación de [53]. 

K c (MPa*mm ‐1/2 ) 

6 

4 

2 

0 

y = 3.496x ‐0.49 

R² = 0.996 

Fig. 5.30. Gráfica de IC K de la capa Fe2B 

0 1 2 3 

�/� 

de un acero borurado AISI1018 con tiempo de 

exposición de 4 y 6h a 920°C, 950°C y 1000°C en base a la ecuación de [51] 


K c (MPa*mm ‐1/2 ) 

6 

4 

2 

0 


y = 2.713x ‐0.63 

R² = 0.959 

Fig. 5.31. Gráfica de IC K de la capa Fe2B 

0 1 2 3 

�/� 

de un acero borurado AISI1018 con tiempo de 

tratamiento de 4 y 6h a 920°C, 950°C y 1000°C en base a la ecuación 5.8 


CONLUSIONES 


En el presente trabajo se describe el comportamiento mecánico bajo cargas de 

indentación que muestra la capa Fe2B, la cual se forma en la superficie de una muestra de 

acero AISI 1018 sometido al tratamiento termoquímico de endurecimiento superficial 

denominado borurización. Para cargas de indentación aplicadas en el rango sub-micro 

(denomina nanoindentación o indentación instrumentada), se determinaron propiedades 

mecánicas de resistencia a la cedencia y exponente de endurecimiento por deformación 

de la interfase capa-sustrato de un acero borurado AISI 1018 con 1000°C y 4, 6 y 8h de 

tiempo de exposición, encontrando que las propiedades mecánicas de la interfase se 

mantienen constantes en función del tiempo de exposición, donde la resistencia a la 

cedencia se encuentran en un rango de 5 a 8GPa, mientras que el exponente de 

endurecimiento por deformación adquiere un valor de 0.23. La variación de resistencia a la 

cedencia en el rango de 5 a 8GPa es debido a que este parámetro se estimo de acuerdo a 

formulación existente en literatura, en la cual se relaciona la resistencia la cedencia con el 

valor de dureza del material, y siendo que la prueba de nanoindentación se desarrolla a 

niveles sub-micro existen variaciones en la dureza de la interfase capa-sustrato del acero 

AISI 1018 endurecido superficialmente por difusión de boro. Con respecto al coeficiente de 

endurecimiento por deformación se mantiene constante a través de la interfase capasustrato 

y se estima a partir de una formulación que relaciona el desarrollo elastoplástico 

con el desarrollo elástico del material durante el proceso de indentación. Ya que la capa 

Fe2B presenta un gradiente de dureza a lo largo de su espesor, localizándose el mayor 

valor en la superficie de la capa endurecida y conforme se acerca al sustrato desciende el 

valor de dureza, la resistencia la cedencia exhibirá el mismo comportamiento debido a que 

se encuentra directamente relacionada con el valor de dureza del material. El exponente 

de endurecimiento por deformación se mantiene en un valor constante de 0.23 a lo largo 

del espesor de la capa endurecida Fe2B, lo cual es muy próximo a lo reportado en 

literatura para capas FeB, a la cual le asignan un valor de 0.26. 

La formulación de la expresión que estima los esfuerzos residuales presentes en 

superficies endurecidas por difusión de boro, se llevo a cabo en base a un análisis 

dimensional de la curva de carga de un diagrama carga-desplazamiento resultado de la 

prueba de nanoindentación, donde la base de la formulación es el comportamiento de la 

curva de carga que presentan los materiales en los cuales se encuentran presentes 

esfuerzos residuales, de acuerdo a las simulaciones desarrolladas de la prueba de 

nanoindentación mediante el método del elemento finito con ayuda del programa ABAQUS 

6.8-2 sobre la interfase de capa-sustrato ,se observa que con la presencia de esfuerzos 

residuales de tensión disminuye la curvatura de la gráfica de carga y en consecuencia la 

dureza del material; mientras que con la presencia de esfuerzos residuales de compresión 

la curvatura aumenta resultando en un incremento de la dureza del material. En base a 

estas observaciones se formulo una expresión semi-empírica por la técnica de análisis 

dimensional que capture tal comportamiento del material expuesto a esfuerzos residuales, 



donde dicha expresión queda en función de parámetros obtenidos directamente de la 

prueba de nanoindentación tales como: profundidad de penetración máxima, módulo de 

elasticidad del material y carga máxima de indentación, así como parámetros 

característicos del material como lo es la resistencia a la cedencia y exponente de 

endurecimiento por deformación, los cuales pueden ser obtenidas indirectamente por 

formulaciones establecidas en literatura de la prueba de nanoindentación. La formulación 

para estimar esfuerzos residuales se aplica a la interfase capa-sustrato del acero AISI 

1018 endurecido superficialmente por difusión de boro a 1000°C y 4, 6 y 8h de tiempo de 

exposición, donde se observa que los esfuerzos residuales presentes en la superficie 

endurecida están en función del tiempo de tratamiento, donde para la condición de tiempo 

de exposición de 6h se encuentran esfuerzos residuales de compresión alcanzando un 

valor promedio de -286MPa, y conforme disminuye el tiempo de exposición a 4h los 

esfuerzos residuales también presentan un decremento, sin embargo se mantienen de tipo 

compresivo resultando en un valor promedio de esfuerzo residual de la interfase de - 

100MPa. De acuerdo al análisis realizado para la determinación de esfuerzos residuales 

se pueden observar algunas ventajas respecto a formulaciones encontradas en literatura 

para estimar esfuerzos residuales a partir de la prueba de nanoindentación, dentro de las 

cuales se pueden mencionar que en las formulaciones encontradas en literatura es 

necesario que exista agrietamiento ya que el análisis se basa en el agrietamiento 

producido por la aplicación de cargas de indentación, por lo que el material debe presentar 

una alta fragilidad y puede no ser el caso del material estudiado. Existen formulaciones 

que no necesitan agrietamiento pero los coeficientes involucrados en tales ecuaciones 

están restringidos a un cierto tipo de material, donde si el material en cuestión no se 

encuentra dentro de los parámetros establecidos no es posible determinar esfuerzos 

residuales a través de estas formulaciones. Mientras que el análisis aquí desarrollado 

aunque tiene menor significado físico que el desarrollado por otros autores, es más flexible 

y por lo tanto puede ser aplicado a una más amplia variedad de materiales presentando 

buena estimación de esfuerzos residuales. En relación a métodos experimentales como el 

de difracción de rayos X, el esfuerzo residual determinado es un promedio del área 

irradiada por el haz de rayo X, por lo que es difícil determinar esfuerzos residuales en 

lugares específicos y exactos como el requerido en la interfase de la capa-sustrato 

estimado en el presente trabajo, la cual presenta una morfología aserrada. 


TRABAJOS FUTUROS 


Los recubrimientos de estructuras son un campo de estudios muy amplio en la medida que 

se mejoren sus propiedades mecánicas con la optimización de procesos. Por lo que se 

vuelve primordial determinar las propiedades mecánicas de diferentes recubrimientos 

desarrollados sobre superficies metálicas en investigaciones futuras. 

1. Construir el diagrama esfuerzo-deformación a partir de las pruebas experimentales de 

nanoindentación, debido a que en muchas ocasiones el material ensayado existe 

únicamente como recubrimientos como es el caso de las superficies endurecidas por 

difusión de boro, por lo que no es posible llevar a cabo una prueba de tensión uniaxial 

donde los parámetros estimados sean solamente representativos del recubrimiento. 

2. Desarrollar una expresión para estimar esfuerzos residuales a partir de la prueba de 

nanoindentación, donde además de la magnitud sea posible predecir el tipo de esfuerzo 

presente ya sea de tensión o de compresión, ya que las funciones propuestas en este 

estudio necesitan de un conocimiento previo del tipo de esfuerzo residual que se espera 

obtener para aplicar la fórmula adecuada. Esto es motivado debido a que en algunos 

recubrimientos que presentan multicapas muchas veces se encuentran esfuerzos que 

cambian su condición de tensión a compresión o viceversa a lo largo de espesor del 

recubrimiento y no es posible definir con exactitud el valor en el cual cambian su condición. 

3. Proponer una formulación que describa el comportamiento de esfuerzos residuales a partir 

de la prueba de nanoindentación para materiales que presenten un desarrollo ortotrópico o 

anisotrópico, con lo cual se contribuiría en áreas como la médica en el caso de estudio de 

huesos y en el área de materiales compuestos. 

4. Realizar un comparativo de los esfuerzos residuales de las capas endurecidas por difusión 

de boro estimados a partir de la prueba de nanoindentación en la misma dirección que los 

esfuerzos residuales obtenidos por difracción de rayos X , ya que los esfuerzos residuales 

obtenidos por la formulación propuesta en este estudio consideran un estado de esfuerzos 

biaxial en dirección paralela a la superficie, mientras que los esfuerzos estimados por 

difracción de rayos X consideran un estado de esfuerzos biaxial normal a la superficie. 

5. Desarrollar una formulación representativa de las capas endurecidas por difusión de boro 

que considere el modelo de agrietamiento tipo radial-medio para el estudio de la tenacidad 

a la fractura por el método de fractura por indentación Vickers (VIF), con lo cual se pueda 

evaluar la adherencia de la capa al sustrato estimando la tenacidad a la fractura interfacial. 


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