Redes-y-complejidad2

(1) Si hay más de dos vértices impares, el trazado es imposible.
Carlos Reynoso – Redes sociales y complejidad
(2) Si hay exactamente dos vértices impares, el trazado es posible si comienza en uno
cualquiera de ellos.
(3) Si no hay ningún vértice impar el trazado es posible comenzando en cualquier
vértice.
Figura 4.2 – Kaliningrado – El puente entre A y B – Fotografía del autor, enero de 1995.
Aunque no utilizó esas palabras precisas, Euler advirtió que la solución del problema debería
considerar la paridad o imparidad del grado de los nodos, esto es, del número de aristas
que inciden en ellos. Así como se llama grafo euleriano a secas a un ciclo que atraviesa
cada línea del grafo exactamente una vez, se llama grafo hamiltoniano a un ciclo
que pasa exactamente una vez por cada punto. 11 Un famoso grafo antropológico que no
contiene ni caminos ni circuitos eulerianos es el anillo del Kula, dado que no hay en él un
ciclo de intercambio que active todas las relaciones o pase ordenadamente por todas las
islas (Hage 1979: 117; Malinowski 1986 [1922]). Algunos especialistas en etnomatemática
afirman haber encontrado grafos eulerianos (a veces más específicamente grafos planares
gaussianos 4-regulares) en los diseños sona de los Chokwe de Angola o en los dibujos
en arena Malekula de la isla de Vanuatu, pero no han ahondado en los detalles de los mecanismos
cognitivos involucrados (Ascher 1988; Gerdes 2006; Demaine y otros 2007). 12
11 La distinción entre trayectorias eulerianas y hamiltonianas se reproduce en la diferenciación de las dos
clases mayores de procesos de percolación existentes (de sitio y de ligadura), entre las gramáticas de reescritura
de nodo y reescritura de borde en los fractales sintetizables mediante sistemas-L, entre coloración
de vértice y coloración de arista en teoría cromática de grafos, y entre los modelos primal y dual de la
sintaxis del espacio. Véase capítulo 14, pp. 211 y capítulo 16 más adelante.
12 Un grafo planar es aquél al cual se puede dibujar de tal manera que sus aristas no se cruzan (Nishizeki y
Chiba 1988). La teoría de los grafos planares también se origina en los trabajos de Euler de 1736; Hopcroft
y Tarjan han elaborado algoritmos de tiempo lineal para probar la planaridad de un grafo. Para grafos simples
la prueba de planaridad es trivial; según Euler, si un grafo simple y conexo tiene e(≥2) aristas y v vértices,
entonces e≤(3v–6) (Koshy 2003: 580). Algunos problemas que son intratables para grafos en general
son tratables para grafos planares semejantes. Un grafo 4-regular es aquél en el cual los vértices tienen grado
4; algunos creen que todos los sona (y también otros diseños tales como los pulli kōlaṁ de Tamil Nadu)
pertenecen a esta categoría (cf. Reynoso 2010: cap. 4). No estoy seguro que los diseños sona sean grafos
planares en sentido estricto, pues los vértices no son explícitos y pueden entenderse más bien como los puntos
en los cuales la curva se cruza consigo misma.
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