Esitiedot

Määritelmä 1.4 Olkoon H ⊂ V . Sanotaan, että joukon H konveksiverho
(avaruuden V suhteen) on pienin V :n konveksi osajoukko, joka sisältää H:n, ts.
KH ⊂ V on konveksi, H ⊂ KH ja KH on pienin tällainen eli jos X ⊂ V on
konveksi ja H ⊂ X, niin KH ⊂ X.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
. .
. .
. .
. .
.
... .
.
. .
.
. . ...
. .
. .
. . . .
. . .
. .
. .
. .
. .
.
... .
.
.
.
.
.
H KH
.
.
.
.
.
.
..
.
.
. .
. . . .
. . .
Havainnollisesti ajatellen konveksiverho KH syntyy lisäämällä joukkoon H ”niin
vähän pisteitä kuin mahdollista”, jotta syntyvä joukko olisi konveksi. Havainto
ei tietenkään yksinään riitä, vaan pitää huomata, että:
Lause 1.5 Jokaisen joukon H ⊂ V konveksiverho on olemassa ja yksikäsitteinen.
Todistus. Olkoon H ⊂ V . Määritellään osajoukkoperhe K asettamalla
K = {K | K ⊂ V, K on konveksi ja H ⊂ K}.
Tällöin ainakin (ks. huom. 1.2) V ∈ K, joten K = ∅. Silloin lauseen 1.3 nojalla
joukko
E =
K
K∈K
on konveksi. Lisäksi selvästi H ⊂ E ⊂ V ja E on määritelmän 1.4 mielessä pienin
H:n sisältävä V :n konveksi osajoukko, joten E on H:n konveksiverho. Tämä
todistaa olemassaolon.
Yksikäsitteisyys seuraa suoraan määritelmästä 1.4: jos E1 ja E2 molemmat ovat
H:n konveksiverhoja, niin määritelmän mukaan sekä E1 ⊂ E2 että E2 ⊂ E1,
joten E1 = E2.
Jatkossa tarvitaan konveksiverholle KH myös konkreettisempaa esitystä kuin
lauseen 1.5 todistuksessa oleva. Tällainen esitys on seuraavassa lauseessa:
Lause 1.6 Olkoon H ⊂ E. Merkitään
n
A = { λkxk | n ∈ N; xk ∈ H ja 0 ≤ λk ≤ 1 ∀k = 0,1,...,n;
k=0
Tällöin pätee KH = A.
2
n
λk = 1}.
k=0