Esitiedot

missä yhtälö i) seuraa lauseesta 3.13, yhtälö ii) siitä, että f −1 on f:n käänteiskuvaus
ja yhtälö iii) lauseesta 3.14.
Vastaavasti nähdään, että (f −1 )n ◦ fn = id Sn(X).
Huomautus 3.16 Lause 3.15 on kokonaisuutta ajatellen hyvin tärkeä. Kuten
johdannossa todettiin, koko algebrallisen topologian eräänä tavoitteena on liittää
topologiseen avaruuteen X jokin algebrallinen objekti A(X) siten, että pätee
X ≈ Y ⇒ A(X) ∼ = A(Y ).
Nyt lauseen 3.15 mukaan tähän tavoitteeseen on päästy eli singulaaristen nketjujen
ryhmät ovat sellaisia algebrallisia objekteja, joille pätee X ≈ Y ⇒
Sn(X) ∼ = Sn(Y ).
Kuten johdannossa edelleen todettiin, seuraavaksi on syytä pohtia löydetyn algebrallisen
objektin A(X) rakennetta. Jos se on liian yksinkertainen, siitä ei ole
välttämättä hyötyä, koska silloin A(X) ei erottele riittävän hyvin epähomeomorfisia
avaruuksia. Jos se taas on liian monimutkainen, niin syntyvä algebrallinen
ongelma ”Onko A(X) ∼ = A(Y )?” on liian vaikea ratkaistavaksi, jolloin k.o. tuloksesta
ei taaskaan ole hyötyä.
Ovatko nyt sitten nämä löydetyt algebralliset objektit eli singulaaristen n-ketjujen
ryhmät liian yksinkertaisia, ”sopivia” vai liian monimutkaisia?
Vastaus on, että ne ovat liian monimutkaisia. Nämä ryhmät ovat aivan liian
suuria, jotta ongelmaa ”Onko Sn(X) ∼ = Sn(Y )?” voitaisiin jotenkin helposti ratkaista.
Asiaan tulee parannus homologiaryhmien avulla. Nämä syntyvät ryhmistä
Sn(X) tietyn prosessin kautta (jota prosessia jatkossa käydään läpi) ja ne ovat
yleisesti ottaen paljon, paljon yksinkertaisempia kuin perusryhmät Sn(X) – eivät
kuitenkaan liian yksinkertaisia. Enemmän tai vähemmän perustellusti voidaan
sanoa, että ”homologiaryhmät pelkistävät ryhmistä Sn(X) esiin olennaisen”.
Jatkossa suunnataan siis homologiaryhmien kimppuun.
Harjoitustehtäviä
3.1 Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja f : X → Y jatkuva injektio.
Osoita, että f:n indusoima ketjuhomomorfismi fn : Sn(X) → Sn(Y ) on monomorfismi
kaikille n ∈ N.
3.2 Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja f : X → Y jatkuva surjektio.
Osoita esimerkillä, että f:n indusoima ketjuhomomorfismi fn : Sn(X) → Sn(Y )
ei välttämättä ole epimorfismi kaikille n ∈ N.
34