Esitiedot

ajoittuma joukkoon ∆n. Huomaa, että (x0 ...xn) ei välttämättä ole lineaarikuvauksen
rajoittuma.
Havainnollinen tulkinta: Tässä n = 2 ja V = R 2 (eli x0,x1,x2 ∈ R 2 ja siten
(x0x1x2) : ∆2 → R 2 ).
e2
e1
∆2
(ξ0,ξ1,ξ2)
ւ
•
e0
(x0x1x2)
−→
x2
x1
x0
• տ (x0x1x2)(ξ0,ξ1,ξ2)
Huomautus. Jos Sx0...xn ⊂ E on simpleksijoukko, niin lauseen 1.19 nojalla
(x0 ...xn)(∆n) = Sx0...xn ja lisäksi pisteiden x0,...,xn riippumattomuuden nojalla
kuvaus (x0 ...xn) on injektio, joten (x0 ...xn) : ∆n → Sx0...xn on bijektio.
Lisäksi (x0 ...xn) kuvaa simpleksijoukon ∆n kärkipisteet e0,...,en simpleksijoukon
Sx0...xn kärkipisteille x0,...,xn. Itse asiassa se on ainoa affiinin kuvauksen
rajoittuma (ks. edellinen huomautus), jolla on tämä ominaisuus. Tämä
näkyy seuraavasta lauseesta:
Lause 1.29 Olkoot E,F vektoriavaruuksia, Sx0...xn ⊂ E simpleksijoukko ja kuvaukset
f,g : Ax0...xn → F affiineja. Jos f(xk) = g(xk) kaikille k = 0,...,n,
niin f = g.
Todistus. Harjoitustehtävä.
Lause 1.30 Olkoon E normiavaruus, jossa on normin määräämä topologia ja
x0,...,xn ∈ E. Tällöin affiini simpleksi (x0 ...xn) : ∆n → E on jatkuva. (Tässä
siis joukossa ∆n ⊂ R n+1 on avaruuden R n+1 normin määräämä ”tavallinen”
topologia, kuten jatkossa aina.)
Todistus. Harjoitustehtävä.
Merkintä 1.31 Olkoon n ≥ 1 ja {e0,...,en} avaruuden R n+1 standardikanta
sekä 0 ≤ k ≤ n. Merkitään
F k n = (e0 ...êk ...en) = (e0 ...ek−1ek+1 ...ek) : ∆n−1 → Se0...ek−1ek+1...en ⊂ ∆n.
Huomautus. Merkintä F k n = (e0 ...êk ...en) tarkoittaa siis, että kantavektori
on n − 1 ulotteinen simpleksijoukko
ek ”jätetään pois”. Tässä Se0...ek−1ek+1...en
10