Esitiedot

alkio. Tällöin pätee
F j n(ek) =
ek ∈ R n+1 kun 0 ≤ k < j ≤ n
ek+1 ∈ R n+1 kun 0 ≤ j ≤ k ≤ n − 1.
Jätetään tämän (suoraan määritelmistä seuraava) todistus harjoitustehtäväksi.
Merkintäongelma. Kuten merkinnän 1.25 jälkeisessä huomautuksessa ennakoitiin,
symbolin ei käyttö on vähän epämääräistä, koska ei ole selvillä minkä dimensioisessa
avaruudessa ollaan. Tästä on nyt huomautus 1.32 hyvänä (?) esimerkkinä:
siinä kaavan vasemmalla puolella oleva ej on avaruudessa R n , mutta
saman kaavan oikealla puolella symboli ej tarkoittaakin avaruuden R n+1 alkiota.
Huomautus 1.33 Kuvaukset F k n ovat siis affiinisimpleksejä, joten ne ovat jatkuvia
lauseen 1.30 mukaisesti.
Lause 1.34 Olkoon n ≥ 1, 0 ≤ j ≤ n ja 0 ≤ i ≤ n + 1. Tällöin pätee
F i n+1 ◦ F j
F
n =
j i−1
n+1 ◦ Fn kun j < i
F j+1
n+1 ◦ F i n kun i ≤ j.
Todistus. Huomaa, että väitteessä olevat yhdistetyt kuvaukset ovat järkevästi
määriteltyjä kuvauksia ∆n−1 → ∆n+1. Kuvaukset F k n ovat affiineja (tai oikeastaan
affiinin kuvauksen rajoittumia), joten huomautuksen 1.24 nojalla myös nämä
yhdistetyt kuvaukset ovat affiineja. Koska ∆n−1 on simpleksijoukko, niin
lauseen 1.29 nojalla riittää osoittaa, että väite pätee ∆n−1:n kärkipisteissä ek,
k = 0,...,n − 1.
Oletetaan ensin, että j < i. Simpleksijoukon ∆n−1 kärkipisteen ek indeksin
k suhteen on tällöin kolme vaihtoehtoa:
Tapauksessa a) saadaan
a) 0 ≤ k < j,
b) j ≤ k < i − 1 tai
c) i − 1 ≤ k ≤ n − 1.
F i n+1 ◦ F j n(ek) 1)
= F i n+1(ek) 2) 3)
= ek = F j 4)
n+1 (ek) = F j i−1
n+1 ◦ Fn (ek),
joten väite pätee kärkipisteessä ek. Tässä yhtälöt 1) ja 3) seuraavat huomautuksesta
1.32, koska k < j, ja yhtälöt 2) ja 4) saadaan myös samasta huomautuksesta,
koska tässä tapauksessa a) on k < j ≤ i − 1 < i.
Tapauksessa b) saadaan
F i n+1 ◦ F j n(ek) 1)
= F i n+1(ek) 2) 3)
= ek = F j 4)
n+1 (ek) = F j i−1
n+1 ◦ Fn (ek),
12