- Page 1 and 2: Esitiedot Tämä algebrallisen topo
- Page 3 and 4: Johdanto Topologian keskeisimpiä k
- Page 5 and 6: Osoittautuu, että Hk(S n ) ∼ =
- Page 7 and 8: ja vastaus on myöntävä: Brouweri
- Page 9 and 10: 1 Apuneuvoja lineaarialgebrasta; si
- Page 11 and 12: Huomautus. Havainnollisesti siis la
- Page 13 and 14: Määritelmä 1.8 Olkoon H ⊂ V ä
- Page 15 and 16: on joukon Sx0x1...xn painopiste. Sa
- Page 17 and 18: Joukko {e0,...,en} on selvästi rii
- Page 19 and 20: avaruudessa R n+1 ja selvästi Se0.
- Page 21 and 22: joten taaskin väite pätee kärkip
- Page 23 and 24: Huomautus. Kun nollaryhmä {0} sovi
- Page 25 and 26: Lause 2.13 Olkoon A mielivaltainen
- Page 27 and 28: onkin itse asiassa summista g = 4
- Page 29 and 30: Todistus. Harjoitustehtävä. Lause
- Page 31 and 32: joten väite (5) pätee. Yllä yht
- Page 33 and 34: Induktio-oletuksen nojalla Z n−1
- Page 35 and 36: Koska siis r = s, niin ehdosta (9)
- Page 37 and 38: Lause 3.6 Olkoon n ∈ N sekä X ja
- Page 39: missä oikealla oleva summa ei ole
- Page 43 and 44: 3.3 Olkoon X yhden pisteen muodosta
- Page 45 and 46: lei se nyt sitten satu surkastumaan
- Page 47 and 48: Määritelmä 4.3 Olkoon X topologi
- Page 49 and 50: Nyt summan (3) tulkinnassa on hyvä
- Page 51 and 52: σ(e2) σ(e2) −→ ∂2 ւ տ
- Page 53 and 54: Esimerkki. Olkoon X topologinen ava
- Page 55 and 56: joillekin q ′ x ∈ Z, ja esityks
- Page 57 and 58: on sama kuin loppupiste. Tämähän
- Page 59 and 60: yhmässä Z1(R 2 \ {0}) on jokin sy
- Page 61 and 62: ∂n−1 ∂n ∂n+1 ∂n+2 ... ←
- Page 63 and 64: Olkoot siis α,β ∈ Hn mielivalta
- Page 65 and 66: on kuvauksen f indusoima homologiah
- Page 67 and 68: 5.4 Unohdetaan tässä tehtäväss
- Page 69 and 70: Nyt voidaan heti todistaa tämän l
- Page 71 and 72: ∂1d i) ⎛ = ∂1 ⎝ σ∈Σ0(
- Page 73 and 74: koska on sovittu, että topologiset
- Page 75 and 76: silloin Hn(X). Vastaus on, että Hn
- Page 77 and 78: Lause 7.5 Olkoon G Abelin ryhmä ja
- Page 79 and 80: Lause 7.11 Olkoon ⊕α∈IGα Abel
- Page 81 and 82: Tällöin pätee H ∼ = ⊕α∈IG
- Page 83 and 84: Gn−1, koska se on homomorfismien
- Page 85 and 86: ∂ α n ... ←− G α n−1 ←
- Page 87 and 88: iv) = i α n ◦ p α n(h) α∈I
- Page 89 and 90: Esimerkki 7.23 Olkoot X ja Y topolo
- Page 91 and 92:
Tällöin lauseen 2.15 nojalla on o
- Page 93 and 94:
Todistus. Koska sekä ∂ α n ett
- Page 95 and 96:
Väitteen (5) todistus on nyt raaka
- Page 97 and 98:
A = {α ∈ I | fi(α) = 0 jollekin
- Page 99 and 100:
siten, että f(x) = F(x,0) g(x) =
- Page 101 and 102:
Lause 8.4 Olkoot X,Y ja Z topologis
- Page 103 and 104:
X = idX(X) = F(X × {0}) F(X × {0.
- Page 105 and 106:
juuri alkuun pääse), mutta vanha
- Page 107 and 108:
on astetta 0 oleva porrastettu homo
- Page 109 and 110:
Tapahtuu siis tällaista: e0 e2 ∆
- Page 111 and 112:
Huomaa tässä myös tuo janan ∆1
- Page 113 and 114:
Todistus. Koska tässä kaikki kuva
- Page 115 and 116:
e0 e2 ∆3 e1 e3 (σ × id) ◦ A
- Page 117 and 118:
Kun n = 1, D1(σ) = (σ × id) ◦
- Page 119 and 120:
Näille ehdokkaille väite (T’) t
- Page 121 and 122:
toisensa ja lopputulos on kuvassa 1
- Page 123 and 124:
∂n+1Dn(id∆n ) + Dn−1 ◦ ∂n
- Page 125 and 126:
Lause 9.18 Olkoon X topologinen ava
- Page 127 and 128:
(σ × id)n ◦ ∂n+1 ◦ Dn[∆n]
- Page 129 and 130:
eli se koostuu noista kahdesta kuva
- Page 131 and 132:
F : X × [0,1] → Y siten, että
- Page 133 and 134:
Lause 9.26 Olkoot (G,∂ G ), (H,
- Page 135 and 136:
Määritelmä 9.30 Olkoon X topolog
- Page 137 and 138:
Todistus. Oletuksen mukaan i ◦ r
- Page 139 and 140:
kaikille n ∈ N. Osoittautui, ett
- Page 141 and 142:
Huomautus 10.2 Joskus määritelmä
- Page 143 and 144:
Määritellään nämä haetut a ja
- Page 145 and 146:
tulee eksakti. Tällöin lauseen 10
- Page 147 and 148:
Pitää vielä osoittaa, että ψ3
- Page 149 and 150:
Todistus. Koska kaavion (1) yläriv
- Page 151 and 152:
Pitää vielä osoittaa, että ψ3
- Page 153 and 154:
missä yhtälö i) seuraa kaavion k
- Page 155 and 156:
Koska kaavion (10.15) rivit ovat ek
- Page 157 and 158:
Riittää osoittaa, että Ker(ϕn)
- Page 159 and 160:
Tälle x ′ n pätee ϕn−1(∂
- Page 161 and 162:
Valitaan konstruktion 10.16 mukaise
- Page 163 and 164:
missä yhtälö i) seuraa kaavion k
- Page 165 and 166:
Olkoot lisäksi ǫ G n : Hn(G ′
- Page 167 and 168:
Harjoitustehtäviä Tehtävissä 10
- Page 169 and 170:
on järkevästi määritelty ja eks
- Page 171 and 172:
11 Barysentrinen jako Tavoitteena o
- Page 173 and 174:
tai toisin sanoen x ∈ B(y,a), (2)
- Page 175 and 176:
samastuskuvaus i : Σ A n+1(K) →
- Page 177 and 178:
Yhtälö iv) seuraa huomautuksesta
- Page 179 and 180:
jonka nimi tilanahtauden vuoksi puu
- Page 181 and 182:
Todistus. Olkoon n ∈ Z. Riittää
- Page 183 and 184:
Bn : Hn(X) → Hn(X) on identtinen
- Page 185 and 186:
Yhtälön (T) vasemmalla puolella o
- Page 187 and 188:
Vähentämällä tästä σ eli (x0
- Page 189 and 190:
|c| ⊂ X sopimalla, että |c| =
- Page 191 and 192:
Määritelmä 11.23 Olkoon K konvek
- Page 193 and 194:
ii) seuraa mitan µ määritelmäst
- Page 195 and 196:
Todistus. Koska f on affiini, niin
- Page 197 and 198:
Tällöin σn(B A n [∆n](id∆n )
- Page 199 and 200:
Tässä yhtälö i) seuraa Bn:n mä
- Page 201 and 202:
joka on jo jonkin verran parempi. J
- Page 203 and 204:
⎛ k−1 ⎝ B j ⎞ ⎛ k−1 n
- Page 205 and 206:
Ensimmäiseen kysymykseen ei näin
- Page 207 and 208:
Lause 12.4 Olkoon X topologinen ava
- Page 209 and 210:
Kun c ∈ Sn(X), niin c = Tällöi
- Page 211 and 212:
joten ehto (4) pätee ja siten i F
- Page 213 and 214:
[c] kuvauksessa i F n . Koska nyt l
- Page 215 and 216:
jolloin gn on homomorfismien summan
- Page 217 and 218:
Lause 13.6 Olkoot merkinnät kuten
- Page 219 and 220:
Tällöin voidaan tulkita, että c1
- Page 221 and 222:
Koska αn on isomorfismi, niin α
- Page 223 and 224:
Homomorfismille γn kannattaa tehd
- Page 225 and 226:
Nyt kun n ≥ 2, niin Mayer-Vietori
- Page 227 and 228:
Jäljellä ovat vielä ryhmät H0(S
- Page 229 and 230:
Valitaan F1 ja F2 kuten kuvassa, jo
- Page 231 and 232:
Merkitään F1 = S 1 \ {(0,1)} ja F
- Page 233 and 234:
ja siten ξ1([σ]) = ǫ1([B1(σ)])
- Page 235 and 236:
on homeomorfismi. 14.2 Esimerkissä
- Page 237 and 238:
Tässä pelkkä eksaktisuus ei riit
- Page 239 and 240:
(∗) kautta - kuten itse asiassa y
- Page 241 and 242:
S p täsmälleen yhdessä pisteess
- Page 243 and 244:
Huomautus. Tuo viimeinen tehtävä
- Page 245 and 246:
Pidetään tässä n ja p kiintein
- Page 247 and 248:
ja silloin voidaan valita r1 ∈ {1
- Page 249 and 250:
Jätetään tämä harjoitustehtäv
- Page 251 and 252:
Koska upotuskuvaus i k0 on injektio
- Page 253 and 254:
Osoitetaan ensin, että se on surje
- Page 255 and 256:
Selvästi joukot Ai, i = 1,2 ovat h
- Page 257 and 258:
k = 0 on käsitelty eli nyt k ≥ 1
- Page 259 and 260:
Ilmeisesti A1 ∪ A2 = S p , joten
- Page 261 and 262:
Lause 16.8 Olkoon A ⊂ S p , p ≥
- Page 263 and 264:
Osoitetaan että myös γ(t0) /∈
- Page 265 and 266:
Ehdon (5) ja Jordan-Brouwerin lause
- Page 267 and 268:
Olkoon U ⊂ A avoin joukko avaruud
- Page 269 and 270:
jonka päitä liimailtiin. Määrit
- Page 271 and 272:
Huomautus 17.2 Määritelmä 17.1 o
- Page 273 and 274:
ovat eksakteja kaikille n. Lauseen
- Page 275 and 276:
Todistus. Rivien eksaktisuus seuraa
- Page 277 and 278:
Toisaalta ǫ0 on myös nollakuvaus,
- Page 279 and 280:
Koska lauseen 3.13 nojalla fn ◦ i
- Page 281 and 282:
Hn(X) ja jn : Hn(B) → Hn(Y ) niid
- Page 283 and 284:
Olkoot lisäksi p 1 n : Sn(X \U)
- Page 285 and 286:
on kommutoiva. Lauseen 17.9 nojalla
- Page 287 and 288:
Silloin ehtojen (17) ja (18) nojall
- Page 289 and 290:
Kaaviosta (6) saadaan lauseen 17.20
- Page 291 and 292:
Koska Y on polkuyhtenäinen, niin l
- Page 293 and 294:
Sijoittamalla ehdot (19) ja (21) jo
- Page 295 and 296:
A Ehdon (1) ja lauseen 9.29 nojalla
- Page 297 and 298:
Kuvaus f|K1∪K2 : K1 ∪ K2 → A
- Page 299 and 300:
ja 0 −→ H1(A,K1 ∪ K2) ǫ1 −
- Page 301 and 302:
Tällöin lauseen 10.9 nojalla H1(T
- Page 303 and 304:
Huomautuksessa 14.7 löydettiin ymp
- Page 305 and 306:
Ilmeisesti kaikille (x,y) ∈ I \ {
- Page 307 and 308:
Tästä ei voi päätellä pelkän
- Page 309 and 310:
Tarkastellaan sitten kaavion (22) k
- Page 311 and 312:
missä [r]2 ∈ Z2 on luvun r mää
- Page 313 and 314:
Hakemisto (S A (K),∂ A ), 166 (S