Esitiedot

Huomautus 2.9 Jos I on epätyhjä indeksijoukko ja {fα}α∈I on perhe Fr(A):n
alkioita ja {qα}α∈I perhe kokonaislukuja siten, että qα
= 0 m.k. α ∈ I niin
α∈I qαfα ∈ Fr(A) ja
(x) =
qα · fα(x) kaikille x ∈ A.
α∈I
qαfα
α∈I
Tämän todistus on helppo harjoitustehtävä ja perustuu merkintään 2.2 sekä ryhmän
Fr(A) summan määritelmään.
Määritelmä 2.10 Olkoon A epätyhjä joukko ja a ∈ A. Määritellään kuvaus
fa : A → Z asettamalla
1 kun x = a
fa(x) =
0 kun x ∈ A \ {a}.
Tällöin selvästi fa ∈ Fr(A). Määritellään edelleen kuvaus i : A → Fr(A) asettamalla
i(a) = fa kaikille a ∈ A.
Sanotaan, että kuvaus i : A → Fr(A) on samastuskuvaus.
Huomautus 2.11 Kuvaus i : A → Fr(A) on selvästi injektio, joten voidaan
sanoa, että se samastaa alkiot a ∈ A ja i(a) ∈ Fr(A) ja sitä kautta myös
joukot A ja i(A) ⊂ Fr(A).
Lause 2.12 Olkoon A epätyhjä joukko ja f ∈ Fr(A). Tällöin f voidaan esittää
summana
f =
f(a)i(a).
a∈A
Todistus. Riittää osoittaa, että kaikille x ∈ A pätee
f(x) = (
f(a)i(a))(x).
Näin on, sillä kun x ∈ A, niin
(
f(a)i(a))(x) i) = (
a∈A
a∈A
a∈A
f(x) · fx(x) iv)
= f(x) · 1 = f(x).
f(a)fa)(x) ii)
=
a∈A
f(a) · fa(x) iii)
=
Tässä yhtälö i) perustuu kuvauksen i määritelmään 2.10, yhtälö ii) seuraa
huomautuksesta 2.9, yhtälö iii) seuraa siitä, että määritelmän 2.10 mukaan
fa(x) = 0 kun a = x ja yhtälö iv) seuraa siitä, että määritelmän 2.10 mukaan
fx(x) = 1.
16