Esitiedot

Toisaalta, koska H on ryhmä ja ψ(ϕ(h)) ∈ H, niin myös h − ψ(ϕ(h)) ∈ H, ja
silloin kuvauksen ϕ homomorfisuuden nojalla
ϕ(h − ψ(ϕ(h))) = ϕ(h) − ϕ(ψ(ϕ(h))). (8)
Koska ehdon (4) mukaan ϕ ◦ ψ = Id Im(ϕ), niin ehdon (8) nojalla
ϕ(h − ψ(ϕ(h))) = ϕ(h) − ϕ(h) = 0,
joten h−ψ(ϕ(h)) ∈ Ker(ϕ). Koska A = {a1,...,am} on ryhmän Ker(ϕ) kanta,
niin tällöin on olemassa q1,...,qm ∈ Z siten, että
Tällöin
i=1
h − ψ(ϕ(h)) =
i=1
m
qiai.
i=1
m
h = qiai + ψ(ϕ(h)) i) m
= qiai + ψ(rb) ii)
=
m
qiai + rψ(b),
joten esitys (6) on voimassa. Yllä yhtälö i) seuraa ehdosta (7) ja yhtälö ii) siitä,
että ψ on homomorfismi.
Pitää vielä osoittaa, että esitys (6) on yksikäsitteinen. Olkoon sitä varten
m
m
h = qiai + rψ(b) = piai + sψ(b), q1,...,qm,p1,...,pm,r,s ∈ Z; (9)
i=1
i=1
pitää osoittaa, että r = s ja qi = pi kaikille i = 1,...,m.
Ehdosta (9) saadaan
i=1
m
(qi − pi)ai = (s − r)ψ(b). (10)
i=1
Koska a1,...,an ∈ Ker(ϕ) ja ϕ on homomorfismi, niin
m
m
m
ϕ( (qi − pi)ai) = (qi − pi)ϕ(ai) = (qi − pi) · 0 = 0.
i=1
i=1
i=1
Tällöin ehdon (10) nojalla ϕ((s − r)ψ(b)) = 0, ja siten
0 = ϕ((s − r)ψ(b)) i) = (s − r)ϕ(ψ(b)) ii)
= (s − r)b, (11)
missä yhtälö i) seuraa siitä, että ϕ on homomorfismi ja yhtälö ii) ehdosta (4).
Koska b,s,r ∈ Z ja b = 0, niin ehdon (11) nojalla on oltava s = r. Tällöin esityksen
(6) yksikäsitteisyys seuraa, jos osoitetaan, että qi = pi kaikille i = 1,...,m.
26