Esitiedot

Määritelmä 3.4 Olkoon n ∈ N. Sanotaan, että avaruuden X singulaaristen
n-ketjujen ryhmä on joukon Σn(X) virittämä vapaa Abelin ryhmä. Merkitään
tätä ryhmää symbolilla Sn(X), siis
Sn(X) = Fr(Σn(X)).
Huomautus 3.5 Huomautuksessa 2.11 samastettiin A = i(A) ⊂ Fr(A) samastuskuvauksen
i(a) = fa kautta. Lisäksi huomautuksessa 2.14 todettiin, miten
jokainen f ∈ Fr(A) voitiin esittää yksikäsitteisellä tavalla formaalina
summana f =
a∈A na · a missä na ∈ Z ∀a ∈ A ja na = 0 m.k. a ∈ A. Singulaaristen
n-ketjujen kohdalla käytetään jatkossa useimmiten nimenomaan tätä
esitystapaa. Siten formaalisti
Sn(X) = {
qσ · σ | qσ ∈ Z ∀σ ∈ Σn(X) ja qσ = 0 m.k. qσ ∈ Σn(X)}.
σ∈Σn(X)
Esimerkki Jos X = R 2 , niin huomautuksen 3.3 tulkinnan mukaan Σ0(X) koostuu
kaikista R 2 :n pisteistä. Tällöin S0(R 2 ) koostuu näiden formaaleista summista.
Esimerkiksi siis eräs S0(R 2 ):n alkio on c = 1·(0,3)+2·(2,1)+4·(0,0). Tässä
on nyt kuitenkin huolellisesti muistettava, että kyse on todellakin formaalista
summasta: tuo c:ssä oleva yhteenlasku ei ole R 2 :n yhteenlasku, eikä sitä saa
mennä ”laskemaan”. Ei siis ole c = (4,5) vaikka äkkiä ajatellen niin voisi luulla.
Voi tietysti sitten kysyä, mitä varten näitä samastuksia (joista tuo erehtymisen
mahdollisuus johtuu) sitten otetaan käyttöön, jos niistä aiheutuu ongelmia.
Vastaus löytyy vaikkapa tästä: Mieti ihan tarkkaan, mitä oikein ovat (täsmälleen
määritelmän mukaan – ilman huomautuksissa 3.3 ja 3.5 käyttöönotettuja
samastuksia) ryhmän S0(R 2 ) alkiot. Vastaus on niin epähavainnollinen, että tuo
samastuksista johtuva ambivalenssi alkaa tuntua ihan siedettävältä.
Toinen syy näiden samastusten käyttöön on se, että jatkossa merkinnät tahtovat
tulla hyvin monimutkaisiksi, ja pyritään niitä hieman selkeyttämään esimerkiksi
jättämällä tuo samastuskuvaus i merkitsemättä – eli siis siirtymällä
formaaleihin summiin. Muitakin merkintöjä selkeyttäviä (vastaavia) sopimuksia
tullaan jatkossa tekemään.
Näillä samastuksilla siis joukko Σ1(R 2 ) koostuu jatkuvista kuvauksista ∆1 → R 2
(eli käytännössä R 2 :n poluista) ja ryhmä S1(R 2 ) näiden formaaleista summista,
joukko Σ2(R 2 ) koostuu jatkuvista kuvauksista ∆2 → R 2 ja ryhmä S2(R 2 )
näiden formaaleista summista ja niin edelleen.
Tässä vaiheessa on syytä palauttaa mieleen luvun 2 tärkeä tulos, lause 2.15,
joka sanoo, että jos A on joukko, G Abelin ryhmä, f : A → G mielivaltainen
kuvaus ja i : A → Fr(A) samastuskuvaus, i(a) = fa, niin on olemassa yksikäsitteisesti
määrätty homomorfismi f∗ : Fr(A) → G siten, että f∗ ◦ i = f. Nyt
jos A = Σn(X) ja Fr(A) = Sn(X), niin tämä homomorfismi on ryhmien Sn(X)
ja G välinen. Tämän avulla saadaan ensimmäinen homologiateorian tulos:
28