Esitiedot

kommutoi eli pätee (fn)∗ ◦ iX = iY ◦ fn. Tämä havainto – ja erityisesti homomorfismin
(fn)∗ yksikäsitteisyys – antaa aiheen määritellä:
Määritelmä 3.9 Olkoot X,Y topologisia avaruuksia ja f : X → Y jatkuva
kuvaus sekä n ∈ N. Olkoot lisäksi iX : Σn(X) → Sn(X) ja iY : Σn(Y ) →
Sn(Y ) samastuskuvauksia. Olkoon fn : Σn(X) → Σn(Y ) kuvauksen f indusoima
simpleksikuvaus. Sanotaan, että se yksikäsitteisesti määrätty homomorfismi
(fn)∗ : Sn(X) → Sn(Y ), jolle pätee
(fn)∗ ◦ iX = iY ◦ fn,
on kuvauksen f indusoima (ketju)homomorfismi. Ellei sekaannuksen vaaraa
ole, merkitään tätä ketjuhomomorfismia (fn)∗ myös symbolilla fn.
Huomautus. Tuo määritelmässä 3.9 käyttöönotettu yksinkertaistettu merkintä
(fn)∗ = fn saattaa joskus aiheuttaa sekaannusta, ja toisinkin voisi menetellä eli
pitää tuota tähteä tiukasti mukana. Tässä esityksessä nyt on kuitenkin valittu
tämä tolkuttomia merkintöjä yksinkertaistava linja, josta sitten on joku hinta
maksettava. Lauseen 3.12 todistuksessa näkyy hieman esimerkkejä siitä, minkälaisessa
dilemmassa tässä pyöritään: jos merkinnöistä pidetään tiukasti kiinni,
niin ne monimutkaistuvat (ja lopulta kohtuuttomasti, jolloin niiden lukeminen
on jo vaikeaa), mutta jos merkintöjä yksinkertaistetaan, niin tulkinta vaikeutuu.
Huomautus 3.10 On huomattava, että määritelmässä 3.9 kuvaus f on luonteeltaan
topologinen objekti, siinä ei ole lähtökohtaisesti mitään algebrallista (sen
enempää kuin topologisissa avaruuksissa X tai Y ). Sen sijaan ketjuhomomorfismi
fn on luonteeltaan (lähes) puhtaasti algebrallinen kuvaus: se on siis ryhmähomomorfismi.
Nimenomaan tämä ero on oleellista määritelmässä 3.9: siinä siis topologinen
konsepti f muutetaan algebralliseksi konseptiksi fn. Osoittautuu, että kuvauksen
f (topologisia) perusominaisuuksia voidaan tarkastella homomorfismien fn,
n ∈ N (algebrallisten) ominaisuuksien avulla. Tällöin päästään juuri siihen,
mistä tämän monisteen johdannossa puhuttiin: topologisia tuloksia voidaan todistaa
algebran avulla.
Tässä katsannossa voidaan sanoa, että määritelmä 3.9 on koko homologiateorian
ydinmääritelmä: se transformoi topologian algebraksi.
Huomautus 3.11 Palataan vielä huomautukseen 3.5, jossa samastettiin avaruuden
X n-simpleksi σ avaruuden X n-ketjuksi (eli simpleksien formaaliksi
summaksi) käyttämällä upotuskuvausta i : Σn(X) → Sn(X). (Mikä on muuten
tällöin yksittäisen simpleksin formaali summaesitys?) Jos nyt formaali summa
c =
σ∈Σn(X) nσ · σ on n-ketju, niin tarkkaan ottaen (eli ilman samastuksia)
onkin
c =
nσ · σ =
nσ · i(σ),
σ∈Σn(X)
30
σ∈Σn(X)