Esitiedot

More documents

Recommendations

Info

kertaiset todistukset on sivuutettu; näiden omakohtainen (ja yksityiskohtainen) tekeminen on kuitenkin suurena apuna melko abstraktiin asiaan sisälle pääsemisessä. Tätä suuresti suosittelen. Varsinaiset harjoitustehtävät ovat pääsääntöisesti vaikeampia – joukossa on myös erittäin vaikeita ongelmia. Toki joukossa on myös helppoja tehtäviä, mutta näitä ei ole mitenkään erikseen merkitty; eräänä metatehtävänä onkin oppia tunnistamaan helppo tehtävä vähemmän helposta. Tämä kurssi rakentuu niin, että ensin rakennetaan tarvittava algebrallinen pohja (ketjukuvaukset yms.), joiden avulla sitten siirrytään varsinaiseen algebralliseen topologiaan eli tässä tapauksessa homologiateoriaan. Suurin piirtein kurssin puolivälissä ryhdytään sitten soveltamaan saatuja tuloksia R n :ään, ja saadaan aikaan varsin syvällisiä tuloksia, joista enemmän seuraavassa luvussa. Käytettävistä nimityksistä ja merkinnöistä: Tällä kurssilla (lähes) kaikki esiintyvät ryhmät ovat kommutatiivisia. Kommutatiivisesta ryhmästä käytetään nimitystä Abelin ryhmä norjalais-tanskalaisen matemaatikon Niels-Henrik Abelin mukaan. Tällaisen ryhmän neutraalialkiota merkitään symbolilla 0. Tämä sama symboli tulee siis olemaan useissa eri merkityksissä: luonnollisena lukuna, reaalilukuna, Abelin ryhmien neutraalialkiona ja joskus jopa vektoriavaruuden nolla-alkiona. Usein merkitään myös 0 = {0}, millä tarkoitetaan siis yhden alkion muodostamaa ryhmää. Asiayhteydestä selvinnee, mistä on kyse, eikä tämä aiheuttane sekaannuksia – ainakaan toivottavasti. Injektiivisestä (ryhmä-)homomorfismista käytetään nimitystä monomorfismi ja surjektiivisesta homomorfismista nimitystä epimorfismi. Homomorfismin ϕ : G → G ′ kuvajoukkoa merkitään symbolilla Im(ϕ) ja sen ydintä eli neutraalialkion alkukuvaa symbolilla Ker(ϕ). Tällöin siis ϕ on epimorfismi jos ja vain jos Im(ϕ) = G ′ ja (kuten algebran kurssilta tiedetään) monomorfismi jos ja vain jos Ker(ϕ) = {0} ⊂ G. ii
Johdanto Topologian keskeisimpiä käsitteitä on topologisten avaruuksien välinen homeomorfismi; voidaan sanoa, että topologisilla avaruuksilla X ja Y on sama topologinen struktuuri, jos niiden välillä on homeomorfinen kuvaus f : X → Y – tällöinhän sanotaan myös, että X ja Y ovat homeomorfisia ja merkitään X ≈ Y . Tähän liittyy luonnollisella tavalla tunnistamisongelma: mistä tiedetään, ovatko annetut avaruudet keskenään homeomorfisia? Jos onnistutaan konstruoimaan homeomorfismi f : X → Y , niin asia on selvä. Usein kuitenkin tällaisen homeomorfismin eksplisiittinen konstruointi on vaikeaa. Periaatteessa vielä vaikemmaksi tilanne muuttuu, jos X ja Y eivät ole homeomorfismia. Miten osoitetaan, että homeomorfismia f : X → Y ei ole olemassa, eli miten ylipäätään voidaan osoittaa, että X ≈ Y ? Puhtaasti topologisia keinoja on olemassa. Homeomorfiset avaruudet ovat yhtaikaa esimerkiksi yhtenäisiä, kompakteja jne., joten näitä ominaisuuksia voidaan tarkastella erikseen X:ssä ja Y :ssä: jos toinen on vaikkapa kompakti ja toinen ei, niin välttämättä pätee X ≈ Y . Monissa tapauksissa tämä topologinen luokittelu ei kuitenkaan tuota toivottua tulosta. Miten esimerkiksi osoitetaan, että R n ≈ R m , kun n = m? Algebrallinen topologia tarjoaa seuraavanlaisen menetelmän: Pyritään liittämään jokaiseen topologiseen avaruuteen X jokin algebrallinen objekti A(X) (esim. ryhmä, rengas, vektoriavaruus tms.) niin, että X ≈ Y täsmälleen silloin, kun A(X) ja A(Y ) ovat isomorfisia. Tällöin topologinen tunnistusongelma ”Onko X ≈ Y ?” muuttuu algebralliseksi tunnistusongelmaksi ”Onko A(X) ∼ = A(Y )?”. Pyritään samalla (tietysti) siihen, että tämä syntyvä algebrallinen ongelma on riittävän yksinkertainen, jotta se osataan ratkaista. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että nämä algebralliset objektit A(X) ovat riittävän yksinkertaisia. Jos halutaan pelkästään osoittaa, että X ≈ Y , niin tehtävä helpottuu, sillä tällöinhän A(X):t riittää rakentaa niin, että ei välttämättä X ≈ Y ⇔ A(X) ∼ = A(Y ), vaan ainoastaan X ≈ Y ⇒ A(X) ∼ = A(Y ). (1) Jos nyt pystytään näkemään, että A(X) ∼ = A(Y ), niin ehdon (1) nojalla on oltava myös X ≈ Y . Esimerkki. Olkoon X topologinen avaruus. Merkitään C(X) = {f : X → R | f on jatkuva}. Tässä siis C(X) on yllä puhuttu ”algebrallinen objekti”, sillä joukkoon C(X) voidaan luonnollisella tavalla (eli miten?) määritellä yhteen- ja kertolasku niin, että siitä tulee rengas. Nyt pätee klassinen Banach-Stonen lause (tätä ei todisteta tällä kurssilla; nimensä lause on saanut herrojen Stefan Banach ja Marshall Stone mukaan): iii
Page 1: Esitiedot Tämä algebrallisen topo
Page 5 and 6: Osoittautuu, että Hk(S n ) ∼ =
Page 7 and 8: ja vastaus on myöntävä: Brouweri
Page 9 and 10: 1 Apuneuvoja lineaarialgebrasta; si
Page 11 and 12: Huomautus. Havainnollisesti siis la
Page 13 and 14: Määritelmä 1.8 Olkoon H ⊂ V ä
Page 15 and 16: on joukon Sx0x1...xn painopiste. Sa
Page 17 and 18: Joukko {e0,...,en} on selvästi rii
Page 19 and 20: avaruudessa R n+1 ja selvästi Se0.
Page 21 and 22: joten taaskin väite pätee kärkip
Page 23 and 24: Huomautus. Kun nollaryhmä {0} sovi
Page 25 and 26: Lause 2.13 Olkoon A mielivaltainen
Page 27 and 28: onkin itse asiassa summista g = 4
Page 29 and 30: Todistus. Harjoitustehtävä. Lause
Page 31 and 32: joten väite (5) pätee. Yllä yht
Page 33 and 34: Induktio-oletuksen nojalla Z n−1
Page 35 and 36: Koska siis r = s, niin ehdosta (9)
Page 37 and 38: Lause 3.6 Olkoon n ∈ N sekä X ja
Page 39 and 40: missä oikealla oleva summa ei ole
Page 41 and 42: kommutoivat. Tällöin kaavion (1)
Page 43 and 44: 3.3 Olkoon X yhden pisteen muodosta
Page 45 and 46: lei se nyt sitten satu surkastumaan
Page 47 and 48: Määritelmä 4.3 Olkoon X topologi
Page 49 and 50: Nyt summan (3) tulkinnassa on hyvä
Page 51 and 52: σ(e2) σ(e2) −→ ∂2 ւ տ
Page 53 and 54:
Esimerkki. Olkoon X topologinen ava
Page 55 and 56:
joillekin q ′ x ∈ Z, ja esityks
Page 57 and 58:
on sama kuin loppupiste. Tämähän
Page 59 and 60:
yhmässä Z1(R 2 \ {0}) on jokin sy
Page 61 and 62:
∂n−1 ∂n ∂n+1 ∂n+2 ... ←
Page 63 and 64:
Olkoot siis α,β ∈ Hn mielivalta
Page 65 and 66:
on kuvauksen f indusoima homologiah
Page 67 and 68:
5.4 Unohdetaan tässä tehtäväss
Page 69 and 70:
Nyt voidaan heti todistaa tämän l
Page 71 and 72:
∂1d i) ⎛ = ∂1 ⎝ σ∈Σ0(
Page 73 and 74:
koska on sovittu, että topologiset
Page 75 and 76:
silloin Hn(X). Vastaus on, että Hn
Page 77 and 78:
Lause 7.5 Olkoon G Abelin ryhmä ja
Page 79 and 80:
Lause 7.11 Olkoon ⊕α∈IGα Abel
Page 81 and 82:
Tällöin pätee H ∼ = ⊕α∈IG
Page 83 and 84:
Gn−1, koska se on homomorfismien
Page 85 and 86:
∂ α n ... ←− G α n−1 ←
Page 87 and 88:
iv) = i α n ◦ p α n(h) α∈I
Page 89 and 90:
Esimerkki 7.23 Olkoot X ja Y topolo
Page 91 and 92:
Tällöin lauseen 2.15 nojalla on o
Page 93 and 94:
Todistus. Koska sekä ∂ α n ett
Page 95 and 96:
Väitteen (5) todistus on nyt raaka
Page 97 and 98:
A = {α ∈ I | fi(α) = 0 jollekin
Page 99 and 100:
siten, että f(x) = F(x,0) g(x) =
Page 101 and 102:
Lause 8.4 Olkoot X,Y ja Z topologis
Page 103 and 104:
X = idX(X) = F(X × {0}) F(X × {0.
Page 105 and 106:
juuri alkuun pääse), mutta vanha
Page 107 and 108:
on astetta 0 oleva porrastettu homo
Page 109 and 110:
Tapahtuu siis tällaista: e0 e2 ∆
Page 111 and 112:
Huomaa tässä myös tuo janan ∆1
Page 113 and 114:
Todistus. Koska tässä kaikki kuva
Page 115 and 116:
e0 e2 ∆3 e1 e3 (σ × id) ◦ A
Page 117 and 118:
Kun n = 1, D1(σ) = (σ × id) ◦
Page 119 and 120:
Näille ehdokkaille väite (T’) t
Page 121 and 122:
toisensa ja lopputulos on kuvassa 1
Page 123 and 124:
∂n+1Dn(id∆n ) + Dn−1 ◦ ∂n
Page 125 and 126:
Lause 9.18 Olkoon X topologinen ava
Page 127 and 128:
(σ × id)n ◦ ∂n+1 ◦ Dn[∆n]
Page 129 and 130:
eli se koostuu noista kahdesta kuva
Page 131 and 132:
F : X × [0,1] → Y siten, että
Page 133 and 134:
Lause 9.26 Olkoot (G,∂ G ), (H,
Page 135 and 136:
Määritelmä 9.30 Olkoon X topolog
Page 137 and 138:
Todistus. Oletuksen mukaan i ◦ r
Page 139 and 140:
kaikille n ∈ N. Osoittautui, ett
Page 141 and 142:
Huomautus 10.2 Joskus määritelmä
Page 143 and 144:
Määritellään nämä haetut a ja
Page 145 and 146:
tulee eksakti. Tällöin lauseen 10
Page 147 and 148:
Pitää vielä osoittaa, että ψ3
Page 149 and 150:
Todistus. Koska kaavion (1) yläriv
Page 151 and 152:
Pitää vielä osoittaa, että ψ3
Page 153 and 154:
missä yhtälö i) seuraa kaavion k
Page 155 and 156:
Koska kaavion (10.15) rivit ovat ek
Page 157 and 158:
Riittää osoittaa, että Ker(ϕn)
Page 159 and 160:
Tälle x ′ n pätee ϕn−1(∂
Page 161 and 162:
Valitaan konstruktion 10.16 mukaise
Page 163 and 164:
missä yhtälö i) seuraa kaavion k
Page 165 and 166:
Olkoot lisäksi ǫ G n : Hn(G ′
Page 167 and 168:
Harjoitustehtäviä Tehtävissä 10
Page 169 and 170:
on järkevästi määritelty ja eks
Page 171 and 172:
11 Barysentrinen jako Tavoitteena o
Page 173 and 174:
tai toisin sanoen x ∈ B(y,a), (2)
Page 175 and 176:
samastuskuvaus i : Σ A n+1(K) →
Page 177 and 178:
Yhtälö iv) seuraa huomautuksesta
Page 179 and 180:
jonka nimi tilanahtauden vuoksi puu
Page 181 and 182:
Todistus. Olkoon n ∈ Z. Riittää
Page 183 and 184:
Bn : Hn(X) → Hn(X) on identtinen
Page 185 and 186:
Yhtälön (T) vasemmalla puolella o
Page 187 and 188:
Vähentämällä tästä σ eli (x0
Page 189 and 190:
|c| ⊂ X sopimalla, että |c| =
Page 191 and 192:
Määritelmä 11.23 Olkoon K konvek
Page 193 and 194:
ii) seuraa mitan µ määritelmäst
Page 195 and 196:
Todistus. Koska f on affiini, niin
Page 197 and 198:
Tällöin σn(B A n [∆n](id∆n )
Page 199 and 200:
Tässä yhtälö i) seuraa Bn:n mä
Page 201 and 202:
joka on jo jonkin verran parempi. J
Page 203 and 204:
⎛ k−1 ⎝ B j ⎞ ⎛ k−1 n
Page 205 and 206:
Ensimmäiseen kysymykseen ei näin
Page 207 and 208:
Lause 12.4 Olkoon X topologinen ava
Page 209 and 210:
Kun c ∈ Sn(X), niin c = Tällöi
Page 211 and 212:
joten ehto (4) pätee ja siten i F
Page 213 and 214:
[c] kuvauksessa i F n . Koska nyt l
Page 215 and 216:
jolloin gn on homomorfismien summan
Page 217 and 218:
Lause 13.6 Olkoot merkinnät kuten
Page 219 and 220:
Tällöin voidaan tulkita, että c1
Page 221 and 222:
Koska αn on isomorfismi, niin α
Page 223 and 224:
Homomorfismille γn kannattaa tehd
Page 225 and 226:
Nyt kun n ≥ 2, niin Mayer-Vietori
Page 227 and 228:
Jäljellä ovat vielä ryhmät H0(S
Page 229 and 230:
Valitaan F1 ja F2 kuten kuvassa, jo
Page 231 and 232:
Merkitään F1 = S 1 \ {(0,1)} ja F
Page 233 and 234:
ja siten ξ1([σ]) = ǫ1([B1(σ)])
Page 235 and 236:
on homeomorfismi. 14.2 Esimerkissä
Page 237 and 238:
Tässä pelkkä eksaktisuus ei riit
Page 239 and 240:
(∗) kautta - kuten itse asiassa y
Page 241 and 242:
S p täsmälleen yhdessä pisteess
Page 243 and 244:
Huomautus. Tuo viimeinen tehtävä
Page 245 and 246:
Pidetään tässä n ja p kiintein
Page 247 and 248:
ja silloin voidaan valita r1 ∈ {1
Page 249 and 250:
Jätetään tämä harjoitustehtäv
Page 251 and 252:
Koska upotuskuvaus i k0 on injektio
Page 253 and 254:
Osoitetaan ensin, että se on surje
Page 255 and 256:
Selvästi joukot Ai, i = 1,2 ovat h
Page 257 and 258:
k = 0 on käsitelty eli nyt k ≥ 1
Page 259 and 260:
Ilmeisesti A1 ∪ A2 = S p , joten
Page 261 and 262:
Lause 16.8 Olkoon A ⊂ S p , p ≥
Page 263 and 264:
Osoitetaan että myös γ(t0) /∈
Page 265 and 266:
Ehdon (5) ja Jordan-Brouwerin lause
Page 267 and 268:
Olkoon U ⊂ A avoin joukko avaruud
Page 269 and 270:
jonka päitä liimailtiin. Määrit
Page 271 and 272:
Huomautus 17.2 Määritelmä 17.1 o
Page 273 and 274:
ovat eksakteja kaikille n. Lauseen
Page 275 and 276:
Todistus. Rivien eksaktisuus seuraa
Page 277 and 278:
Toisaalta ǫ0 on myös nollakuvaus,
Page 279 and 280:
Koska lauseen 3.13 nojalla fn ◦ i
Page 281 and 282:
Hn(X) ja jn : Hn(B) → Hn(Y ) niid
Page 283 and 284:
Olkoot lisäksi p 1 n : Sn(X \U)
Page 285 and 286:
on kommutoiva. Lauseen 17.9 nojalla
Page 287 and 288:
Silloin ehtojen (17) ja (18) nojall
Page 289 and 290:
Kaaviosta (6) saadaan lauseen 17.20
Page 291 and 292:
Koska Y on polkuyhtenäinen, niin l
Page 293 and 294:
Sijoittamalla ehdot (19) ja (21) jo
Page 295 and 296:
A Ehdon (1) ja lauseen 9.29 nojalla
Page 297 and 298:
Kuvaus f|K1∪K2 : K1 ∪ K2 → A
Page 299 and 300:
ja 0 −→ H1(A,K1 ∪ K2) ǫ1 −
Page 301 and 302:
Tällöin lauseen 10.9 nojalla H1(T
Page 303 and 304:
Huomautuksessa 14.7 löydettiin ymp
Page 305 and 306:
Ilmeisesti kaikille (x,y) ∈ I \ {
Page 307 and 308:
Tästä ei voi päätellä pelkän
Page 309 and 310:
Tarkastellaan sitten kaavion (22) k
Page 311 and 312:
missä [r]2 ∈ Z2 on luvun r mää
Page 313 and 314:
Hakemisto (S A (K),∂ A ), 166 (S
show all

Esitiedot

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?