Esitiedot

Lause 1.21
Ax0x1...xn
= {{
n
λkxk | λ0,...,λn ∈ R,
k=0
Todistus. Tämä seuraa lauseesta 1.19.
n
λk = 1}.
Määritelmä 1.22 Olkoot V ja U vektoriavaruuksia ja A ⊂ V affiini aliavaruus
sekä f : A → U kuvaus. Sanotaan, että f on affiini kuvaus, jos kaikilla x,y ∈ A
ja λ ∈ R pätee
f(λx + (1 − λ)y) = λf(x) + (1 − λ)f(y).
Huomautus. Koska A on affiini aliavaruus, niin lauseen 1.18 mukaan λx + (1 −
λ)y ∈ A ja siten f(λx+(1−λ)y) on määritelty ja lauseen väite on siinä mielessä
järkevä.
Huomautus. Jos A on ”oikea” vektorialivaruus ja f lineaarikuvaus, niin välittömästi
nähdään, että f on myös affiini. Päteekö käänteinen suunta: Jos A on
aliavaruus ja f affiini, niin onko f välttämättä myös lineaarinen?
Havainnollinen tulkinta: Affiini kuvaus f toimii niin, että x:n ja y:n kautta
kulkeva suora kuvautuu f(x):n ja f(y):n kautta kulkevaksi suoraksi, jota f ”venyttää
tai kutistaa lineaarisesti.” Esimerkkejä affiineista (ei-lineaarisista) kuvauksista
saa helposti konstruoitua seuraavan lauseen avulla:
Lause 1.23 Olkoot V ja U vektoriavaruuksia ja A ⊂ V affiini aliavaruus sekä
f : A → U kuvaus. Tällöin f on affiini jos ja vain jos A:ta vastaavassa
vektorialiavaruudessa A − x0 (tässä x0 ∈ A, vrt. huom. 1.14) on määritelty
lineaarikuvaus T : A − x0 → U siten, että kaikille x ∈ A pätee
f(x) = T(x − x0) + f(x0).
Lisäksi, jos yo. lineaarikuvaus T on olemassa, niin se on yksikäsitteisesti määrätty.
Todistus. Harjoitustehtävä.
Havainnollinen tulkinta: Lauseen 1.23 nojalla voidaan sanoa, että affini kuvaus
toimii näin:
V
: n
siirto
+
lineaarikuvaus
+
U : n
siirto
.
T
y↦→y+f(x0)
x↦→x−x0
Huomautus 1.24 Affiinien kuvausten yhdiste on affiini. Edelleen, affiini kuvaus
f säilyttää konveksisuuden, ts. jos K on konveksi, niin f(K) on myös
konveksi. Näiden faktojen todistus jää taas harjoitustehtäväksi.
Merkintä 1.25 Otetaan pysyvästi käyttöön merkintä R n+1 :n (standardi)kantavektoreille:
Merkitään
k=0
e0 = (1,0,...,0), e1 = (0,1,0,...,0), en = (0,...,0,1).
8