Esitiedot

voidaan tällöin valita jokin xa ∈ ϕ −1 (a). Valinta-aksiooman nojalla näin syntyy
kuvaus f : A → G siten että
Tällöin pätee
f(a) = xa ∈ ϕ −1 (a) kaikille a ∈ A.
ϕ ◦ f(a) = a kaikille a ∈ A. (1)
Koska G on Abelin ryhmä, niin lauseen 2.15 nojalla f indusoi homomorfismin
siten, että
f∗ : Fr(A) → G
f∗ ◦ i = f. (2)
Olkoon j : A ֒→ H upotuskuvaus j(a) = a kaikille a ∈ A ja j∗ : Fr(A) → H sen
indusoima homomorfismi, jolle lauseen 2.15 nojalla pätee
j∗ ◦ i = j. (3)
Lauseen 2.17 nojalla j∗ on isomorfismi, jolloin sillä on käänteiskuvaus j −1
∗ : H →
Fr(A), joka on myös isomorfismi. Lisäksi ehdon (3) nojalla saadaan ehto
Määritellään nyt kuvaus ψ asettamalla
j −1
∗ ◦ j = i. (4)
ψ = f∗ ◦ j −1
∗ : H → G.
Koska sekä j −1
∗ : H → Fr(A) että f∗ : Fr(A) → G ovat homomorfismeja, myös
ψ : H → G on hyvin määritelty homomorfismi.
Osoitetaan, että tämä ψ toteuttaa väitteen ehdon ϕ ◦ ψ = idH eli että
ϕ ◦ ψ(x) = x kaikille x ∈ H. (5)
Olkoon tätä varten x ∈ H mielivaltainen. Koska A on H:n kanta, niin x voidaan
esittää äärellisenä summana
x =
naa, missä na ∈ Z ∀a ∈ A ja na = 0 m.k. a ∈ A. (6)
Tällöin saadaan
a∈A
ϕ ◦ ψ(x) i) = ϕ ◦ ψ(
a∈A
a∈A
a∈A
naa) ii)
=
na · ϕ ◦ ψ(a) iii)
=
a∈A
na · ϕ ◦ f∗ ◦ j −1
∗ ◦ j(a) v)
=
naa viii)
= x,
a∈A
a∈A
na · ϕ ◦ f∗ ◦ i(a) vi)
=
22
na · ϕ ◦ f∗ ◦ j −1
∗ (a) iv)
=
a∈A
na · ϕ ◦ f(a) vii)
=