Esitiedot

Sanotaan, että summaesitys (2) on formaali summa. Koska esitys (1) on
yksikäsitteinen ja i on injektio, niin myös tämä formaali summaesitys on yksikäsitteinen.
On kuitenkin huomattava, että se ei ole ”oikea” summa: joukossa
A ei (välttämättä) ole mitään ryhmästruktuuria, eikä sen alkioiden monikertoja
voi siten muodostaa eikä niitä voi laskea yhteen. Formaali summa on siis vain
lyhennysmerkintä summaesitykselle (1).
Jatkossa sanotaan myös lyhyesti, että Fr(A) on joukon A virittämä vapaa
Abelin ryhmä.
Tuolla formaalilla summaesityksellä (2) on joitakin samoja piirteitä kuin ”oikealla”
summalla (1). Esimerkiksi pätee
na · a +
ma · a =
(na + ma) · a, (3)
a∈A
a∈A
minkä näkee suoraan määritelmästä ja lauseesta 2.3. Sen sijaan on varottava
seuraavaa tilannetta: Jos G on Abelin ryhmä ja ϕ : Fr(A) → G homomorfismi,
niin lauseen 2.3 nojalla
ϕ(
na · i(a)) =
na · ϕ(i(a)). (4)
a∈A
Sen sijaan ei päde (ainakaan ilman mitään lisätietoja)
ϕ(
na · a) =
na · ϕ(a). (5)
a∈A
Tämä johtuu tietenkin siitä, että A ei ole Fr(A):n osajoukko, ja kuvaus ϕ on
määritelty vain joukossa Fr(A), joten merkintä ϕ(a) on mieletön.
Varoitus. Edellisessä huomautuksessa jo vähän varoiteltiin tuon formaalin summan
käytöstä ja tässä varoitellaan lisää. Jos A:ssa sattuu olemaan määriteltynä
esimerkiksi yhteenlasku, se pitää tässä unohtaa kokonaan: summaa
n
k=1
a∈A
a∈A
nkak
ei saa mennä ”laskemaan”, vaikka se olisikin mahdollista. Jos esimerkiksi A = R
(jolloin {1,2,3} ⊂ A), niin formaalien summien joukko
a∈A
{n1 · 1 + n2 · 2 + n3 · 3 | n1,n2,n3 ∈ Z}
on Fr(A):n osajoukko. Tällöin siis esimerkiksi formaalit summat 4·1+2·2+4·3
ja 2·1+6·2+2·3 ovat Fr(A):n alkioita. Jos nyt nämä summat ”lasketaan”, niin
molemmista näyttäisi tulevan 20 eli ne olisivat samoja. Tämä on kuitenkin harhanäky,
sillä Fr(A):n alkioina nämä summat ovat eri alkioita. Tämä johtuu
tietysti siitä, että tarkkaan ottaen (jos siis ei käytetä samastusta A = i(A)) kyse
18