Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes

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pour reconstruire le graphe G. Ladifficulté d’une telle approche est double : dans
un premier temps, il faut maximiser le graphe G de manière à conserver le maximum
d’informations sur G et dans un second temps il faut coder efficacement G ′ et les arêtes
de G ′ superflues.
Pour étudier et manipuler les graphes planaires maximaux, un outil s’est avéré indispensable
: le réaliseur. Cetobjet mathématique, a été introduit par Schnyder [Sch89]
pour caractériser les graphes planaires en terme de dimension d’un ensemble partiellement
ordonné.
Un réaliseur d’un graphe plan maximal G est une partition des arêtes internes de G
en trois arbres "recouvrants" (T0,T1,T2) telle qu’autour de chaque sommet interne de
G on rencontre, dans le sens anti-trigonométrique : l’arête vers le parent dans T0, des
arêtes vers les enfants dans T2 (s’ils existent), l’arête vers le parent dans T2, lesarêtes
vers les enfants dans T0 (s’ils existent), l’arête vers le parent dans T1 et enfin les arêtes
vers les enfants dans T2 (s’ils existent). La figure 1 montre un exemple de réaliseur.
v 2
u 2
u 3
u 1
v 0
Figure 1 – Un exemple de réaliseur.
Avant d’aller plus loin dans les applications des réaliseurs, rappelons que tout graphe
plan maximal admet au moins un réaliseur. De plus, on peut construire un tel réaliseur
en temps linéaire [Sch90].
Dans le domaine du dessin de graphes, cet objet a trouvé un grand essor. Citons 3
algorithmes de dessin s’appuyant sur les réaliseurs : dessin lignes droites [Sch90], dessin
de 2-visibilité [CLL01], "floor-planning" [LLY02]. Dans ce document nous présentons
un nouvel algorithme de dessin de graphes qui utilise les réaliseurs fournissant un
dessin avec des lignes brisées. Cet algorithme linéaire obtient des dessins de surface et
de largeur optimales pour la classe des graphes planaires.
Fraysseix et Ossona de Mendez [FO95] ont établi une bijection entre les 3orientations
(i.e. les orientations d’un graphe plan maximal telles que tous les sommets
internes ont un degré rentrant de 3) et les réaliseurs. Ils ont, par ailleurs, montré que
l’ensemble des réaliseurs d’un graphe a une structure de treillis distributif. Bien plus
tard, Chiang, Lin et Lu [CLL01] ont montré que la somme des nœuds internes des trois
arbres d’un réaliseur était strictement inférieure au nombre de nœuds du réaliseur :
ξ0 + ξ1 + ξ2 ≤ n − 1 où ξi désigne le nombre de nœuds internes de l’arbre Ti. Cedernier
u 4
u 5
v 1