Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes

1.4. Généralisations des réaliseurs 25
de G, ilexisteunesuitedefaces deux à deux adjacentes allant de la face extérieure de
G à celle de G ′ .Onpeutconstruiredeproche en proche une bijection permettant de
passer des réaliseurs de G à ceux de G ′ .
La figure 23 représente le réaliseur minimal d’un graphe plan G2. Cegraphe plan
diffère de celui de la figure 18 uniquement par le choix de la face extérieure. Comme
on peut le constater les deux treillis de réaliseurs ont bien le même nombre d’éléments.
En revanche, ils ne sont pas isomorphes.
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7
8
12
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4
6
1
2
5
3
11
9
10
R +(G (G2) 1
3
5
6
4
3
1
5
6 1
R- (G (G2 )
R + (G (G2 )
Figure 23 – Graphe de la figure 18 avec une face extérieure différente. Le treillis qui lui
est associé possède le même nombre d’éléments que celui du graphe d’origine.
1.4 Généralisations des réaliseurs
1.4.1 Réaliseurs d’un graphe plan triconnexe
Définition 1.4.1. (Di Battista, Tamassia et Vismara) [BTV99]
Soit G un graphe plan triconnexe. Un réaliseur R d’un graphe plan triconnexe G est
un triplet ( ¯ T0, ¯ T1, ¯ T2) d’arbres recouvrants de G vérifiant les propriétés suivantes :
1. Les racines v0,v1 et v2 des 3 arbres recouvrants sont situées sur la face extérieure.
2. Chaque arête de G appartient à un ou deux des arbres recouvrants.
3. Si une arête (u, v) appartient à deux arbres recouvrants, alors si u est l’enfant de
v dans le premier alors v est l’enfant de u dans le deuxième.
4. Considérons les arêtes de G avec les orientations qu’elles ont dans les trois arbres
recouvrants (i.e. vers la racine), et lorsqu’une arête appartient à deux arbres elle
est considérée deux fois.
6
5
4