Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes

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désigne le nombre de nœuds internes de l’arbre Ti et ∆ le nombre de faces tricolores
du réaliseur.
Chapitre 3 : Bijection entre les réaliseurs et les paires de chemins de Dyck
ne se coupant pas
Nous proposons ici une bijection entre les réaliseurs et les paires de chemins de
Dyck qui ne se coupent pas [Bon02]. Le codage d’un réaliseur par une paire de chemins
de Dyck qui ne se coupent pas et le décodage se font en temps linéaire. Utilisant cette
bijection, nous pouvons énumérer les réaliseurs de taille n et nous pouvons les générer
exhaustivement de manière efficace. De plus, nous prouvons que le nombre de faces
tricolores d’un réaliseur est asymptotiquement en moyenne de n/2+o(n).
Chapitre 4 : Génération aléatoire de pastèques
Dans le chapitre précédent nous avons considéré les paires de chemins de Dyck qui
ne se coupent pas. Ici nous considérons le cas de plusieurs chemins de Dyck qui ne se
coupent pas. Ces configurations sont également appelées pastèques. A l’aide de formules
d’énumération [EG95, KGV00] sur les facteurs gauches de telles configurations nous
proposons un algorithme de génération aléatoire de telles configurations. La complexité
de cet algorithme est en O(p 2 2 p l) où p est le nombre de chemins et l la longueur des
branches. La bijection présentée dans le chapitre précédant nous permet donc de générer
aléatoirement en temps linéaire des réaliseurs de taille n [BMar].
Quelques expérimentations ont été effectuées, montrant que la profondeur moyenne
d’un arbre d’un réaliseur est environ de 0, 97 √ n.
Partie II : Utilisations des réaliseurs pour le dessin et le codage
Chapitre 5 : Un algorithme de dessin lignes brisées basé sur les réaliseurs
Nous observons dans un premier temps que les dessins lignes brisées, comme les
dessins lignes droites [FPP90], nécessitent une grille de surface (resp. largeur) au moins
4(n−1) 2
(resp. ⌊ 9
2(n−1)
⌋). Nous présentons un algorithme linéaire de dessin lignes brisées
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utilisant les réaliseurs. Cet algorithme calcule, pour n’importe quel graphe planaire à n
sommets, un dessin lignes brisées sur une grille de surface au plus 4(n−1)2
.Les dessins
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obtenus ont au plus n − 2 brisures et au plus 1 brisure par arête. Il permet d’affirmer
que la surface (resp. largeur) de grille nécessaire et suffisante pour dessiner un graphe
planaire à l’aide de lignes brisées est 4(n−1)2
(resp. ⌊ 9
2(n−1)
⌋) [BLM02a].
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Chapitre 6 : Une majoration du nombre de graphes planaires à l’aide des
réaliseurs
Ce chapitre présente un travail réalisé en collaboration avec Cyril Gavoille et Nicolas
Hanusse [BGH03].