Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes

40 Chapitre 2. Théorème de Wagner sur les réaliseurs
2.3.2 Nombre d’arêtes flippables d’un réaliseur
On dit qu’une arête est flippable si l’on peut appliquer un flip sur cette arête.
Plus formellement, une arête (u1,u4) bordant deux faces (u1,u4,u2) et (u1,u3,u4) est
flippable si et seulement si u2 et u3 ne sont pas adjacents.
Théorème 2.3.2. (Gao, Urrutia et Wang 2001) [GUW01]
Tout graphe planaire maximal à n sommets possède au moins n − 2 arêtes flippables.
Dans le cas des réaliseurs la définition de flippable peut être adaptée. Soit e =
(u1,u4) une arête coloriée i.
On dit que e est f1-flippable si l’on peut appliquer l’opération f i 1(u1). Onditquee
est flippable si l’on peut appliquer l’opération f i 1(u1) ou f i 2(u1).
Théorème 2.3.3. Soit R un réaliseur possédant ∆ faces tricolores. Le nombre d’arêtes
f1-flippables de R est n − 4+∆.
Démonstration. Une arête (u1,u4) coloriée i est f1-flippable si et seulement si u1 est
un nœud interne (autre que vi) dansl’arbre Ti−1. Donclenombre d’arêtes f1-flippables
coloriées 0 est ξ2 − 1, lenombred’arêtes f1-flippables coloriées 1 est ξ0 − 1 et le nombre
d’arêtes f1-flippables coloriées 2 est ξ1 − 1. Lethéorème 2.3.1 nous permet de conclure.
2.4 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons proposé une extension du théorème de Wagner aux
réaliseurs. A l’aide de ce théorème nous avons établi une relation entre le nombre de
nœuds internes des arbres d’un réaliseur et le nombre de faces tricolores. Cette dernière
relation précise l’inégalité proposée dans [CLL01].
De plus, nous avons montré que (Rn,f i 1|f i+1
1 ) avait une structure d’EPO borné.
Naturellement, nous nous sommes demandé si (Rn,f i 1|f i+1
1 ) avait une structure de
treillis distributif. Malheureusement, nous avons constaté que ni (R6,f i 1|f i+1
1 ), ni
(Rn,f i 1|f i+1
1 |f i+1
2 ), ni(Rn,f i 1|f i+1
2 ) n’avaient une telle structure de treillis. Toutefois,
une question reste en suspens : (Rn,f i 1|f i+1
1 |f i+1
2 ) est-il également un EPO borné. Remarquons
que cela est vrai pour n ≤ 6.
Des questions restent encore à étudier : quelle est la distance (en termes de nombres
de flips) qui sépare deux réaliseurs de taille n ?Gao, Urrutia et Wang [GUW01] ont
étudié les flips diagonaux sur les graphes plans étiquetés. Peut-on étendre leurs résultats
aux réaliseurs étiquetés ? Si oui, quelle est la distance qui sépare deux réaliseurs
étiquetés ? Quelle est la distance qui sépare deux réaliseurs qui ne différent l’un de
l’autre que par leur étiquetage ? etc.
La notion de flip diagonal s’applique naturellement aux cartes dont les faces sont
des triangles. L’opération de flip diagonal colorié peut s’exprimer sous la forme de
deux demi-flips (voir figure 38) : f i 1(u1) =fus i 1(u1) ◦ sep i−1
1 (u2) et f i 2(u1) =fus i 2(u1) ◦
sep i+1
2 (u3). Nouspensons qu’une généralisation du théorème de Wagner aux réaliseurs