Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes

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22 Opération de changement de face extérieure sur un réaliseur. . . . . . 24 23 Graphe de la figure 18 avec une face extérieure différente. Le treillis qui lui est associé possède le même nombre d’éléments que celui du graphe d’origine. ............................. 25 24 Condition locale généralisée . . ..................... 26 25 Exemple de réaliseur triconnexe . . . .................. 26 26 Répartition des arêtes d’une paire ordonnée autour d’un sommet. . . 27 27 Exemple de graphe. Le premier dessin n’admet pas d’arbre ordonné. Le second admet un arbre ordonné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 28 Flip diagonal sur les graphes plans maximaux. . . . . . . . . . . . . . 32 29 Flip signé. . . ............................... 32 30 Exemple de séquence de flips permettant de passer d’un graphe planaire maximal à un autre de même taille. . . . . . . . . . . . . . . . . 33 31 Flips diagonaux sur les réaliseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 32 Configuration où il est possible d’appliquer un flip f i 1(u1) ou un flip f i 2(u1). . .................................. 34 33 Configuration où une arête ne peut pas être flippée. . . . . . . . . . . 34 34 L’ensemble R6 muni des opérations f1. . . . .............. 35 35 Le réaliseur D i n. . ............................. 36 36 Exemple de configuration de flip. . . .................. 37 37 32 configurations de flips de type f1. . .................. 39 38 Opération de demi-flip sur les réaliseurs des graphes triconnexes. . . . 41 39 Exemple de chemins de Dyck ne se coupant pas. . . . . . . . . . . . . 43 40 Exemple de réaliseur étoile. . . . ..................... 44 41 Codage d’un arbre ordonné enraciné à l’aide d’un mot de Dyck. . . . 45 42 a. Une face du graphe plan obtenue à partir de la connexion de T0 et En−2. b. La même face, avec les arêtes de T ′ 1 dedans. . . . . . . . . . 46 43 Exemple de séquence préfixe de flips : (0, 0, 1, 2). ............ 47 44 Séquence non-préfixe de flips (f 2 1 (u4),f 2 1 (u3)). ............. 48 45 (a) Une pastèque avec mur, 3 promeneurs ayant des trajectoires de longueur 8 et de déviation 2. (b) Une configuration étoile sans mur, avec 3 promeneurs ayant des trajectoires de longueur 6 et terminant respectivement aux ordonnées (−2, 2, 6). . . . ............. 55 46 Une pastèque aléatoire à 8 branches de longueur 200 sans mur. . . . . 61 47 Une pastèque aléatoire à 8 branches de longueur 200 avec mur. . . . . 61 48 Complexité des algorithmes de génération. (Test réalisé sur un Pentium 166) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 49 Passage de la pastèque à 2 branches à un polyomino parallélogramme. 62 50 7 polyominos jumeaux. .......................... 63 51 Une boucle sous-diagonale de longueur 10 5 générée aléatoirement. . . 64 52 Réaliseur aléatoire de taille 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
53 Hauteur moyenne des pastèques avec mur en fonction du nombre de branches et de la longueur des branches. . . . . . . . . . . . . . . . . 66 54 Hauteur moyenne des pastèques sans mur en fonction du nombre de branches et de la longueur des branches. . . . . . . . . . . . . . . . . 67 55 a(p). . . .................................. 67 56 Nombre de faces tricolores et nombre de triangles tricolores. . . . . . 68 57 Différents dessins lignes brisées d’un même graphe. De gauche à droite : "Mixed-Model" [GM98], "quasi-orthogonal", lignes droites [Sch90]. . . 74 58 Différents dessins orthogonaux d’un même graphe. De gauche à droite : Giotto, visibilité, dessin de 2-visibilité, Kandinsky. . . . . . . . . . . . 74 59 Constructions des graphes Hn. ...................... 76 60 Dessins d’une arête. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 61 Configuration de chevauchement d’arête et configuration corrigée. . . 77 62 Exemple de dessin lignes brisées obtenu par l’algorithme 7. Le graphe dessiné possède 16 sommets. Le dessin est effectué sur une grille de taille 9 × 9 et contient 7 brisures. .................... 84 63 Le graphe plan H du graphe G (à gauche), n’admet pas d’arbre recouvrant bien-ordonné. Le graphe plan H ′ de G (à droite), admet quant à lui un arbre recouvrant bien-ordonné T .Lapaire(T,H ′ ) est une paire bien-ordonnée de G. . . .......................... 89 64 Basculement du sous-graphe connexe composé de sommets libres pardessus une arête critique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 65 Exemple de super-triangulation. ..................... 95 66 Un arbre enraciné avec 8 feuilles et 3 bourgeons. La chaîne codant l’arbre (en gras le motif correspondant au bourgeon) 1101101111001010010000110100. . . .................. 99 67 Représentation d’un graphe planaire non connexe par le triplet (k, t(G),v). . . . .............................. 106 68 Comportement de f(λ) et f ′ (λ). ..................... 108 69 Comportement of h(µ). .......................... 112
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