Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes

1.2. Réaliseur : définition et propriétés 17
les trois couleurs. Par la suite, nous dirons qu’une face coloriée de cette manière est
une face tricolore. Touteslesautres colorations utilisent 2 couleurs. Par la suite, on
appellera cw-face (resp. ccw-face) une face tricolore dont les arêtes tournent dans le
sens anti-trigonométrique (resp. trigonométrique). De même on appellera cw-triangle
(resp. ccw-triangle) un3-cycle tricolore dont les arêtes tournent dans le sens antitrigonométrique
(resp. trigonométrique).
u 2
u 2
u 0
u 0
u 1
u 1
u 2
u 2
u 0
u 0
u 1
u 1
Figure 13 – 8 colorations possibles des arêtes d’une face.
Propriété 1.2.2. Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur. Si u est un descendant de v dans
l’arbre Ti, alorsu ne peut être un descendant ou un ancêtre de v dans Tj pour i = j.
Démonstration. Supposons que u est un descendant de v dans T0 et u est un ancêtre
de v dans T1.
Comme le sommet u satisfait la condition locale, P1(u) est dans la région délimitée
par le cycle C =(u 0 −→ v, v 1 ←− u) (voir figure 14). Soit t le sommet commun à C et au
chemin u 1 −→ v1. Lesommet t ne peut être sur le chemin u 0 −→ v,àcausedelacondition
locale appliquée sur le sommet t. Donct se trouve sur le chemin u 1 −→ v.Danscecas,
nous avons un cycle colorié 1 : t 1 ←− u, u 1 ←− t (voir figure 14). Ceci est impossible car
l’ensemble des arêtes forme un arbre (T1). Donc, si u est un descendant de v dans T0
alors u ne peut pas être un ancêtre de v dans T1.
u
u 2
u 2
P 1 (u)
Figure 14 – Configuration impossible où u est un descendant de v dans T0 et u est un
ancêtre de v dans T1.
Un raisonnement similaire pourrait être effectué dans le cas où u serait un descendant
de v dans l’arbre T0, alorsu ne pourrait pas être un descendant v dans T1. Par
symétrie les autres cas se ramènent à ces deux cas.
v
t
u 0
u 0
u 1
u 1
u 2
u 2
u 0
u 0
u 1
u 1