Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes

1.3. Treillis des réaliseurs d’un graphe plan maximal 19
1. le sous-graphe induit Gk−1 ⊂ G induit par u0,u1,...,uk−1 soit biconnexe et que
le cycle Ck−1 constitué des arêtes de la face extérieure contient l’arête (v0,v1).
2. vk appartient au cycle Ck et ses voisins dans Gk−1 forment un chemin dans
Ck−1 ⊂{v0,v1}.
Propriété 1.2.4. [FO01] Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur d’un graphe plan G. Le
parcours préfixe de l’arbre T0 est un ordre canonique de G.
Si on considère le réaliseur de la figure 12, on peut observer que l’ordre
v0,v1,u5,u1,u4,u3,u2,v2 est bien un ordre canonique.
1.3 Treillis des réaliseurs d’un graphe plan maximal
Définition 1.3.1. Soit R un réaliseur d’un graphe plan maximal et C un ccw-triangle
(resp. cw-triangle) de R. L’opération de recoloration S+ sur C (resp. S−) estdéfinie
de la manière suivante :
1. Inverser l’orientation des arêtes de C ;
2. Incrémenter (resp. Décrémenter) la couleur des arêtes du cycle C ;
3. Décrémenter (resp. Incrémenter) la couleur des arêtes à l’intérieur de C ;
4. Laisser les autres arêtes du réaliseur inchangées.
u 2
u 1
G c
u 0
S +
S -
u 2
u 1
G c
Figure 16 – Recoloration d’un triangle d’un réaliseur.
Fait 1.3.1. Soit G un graphe plan maximal et R un réaliseur de G. Sil’on applique
une opération S+ (resp. S−) surun ccw-triangle (resp. cw-triangle) C de R, onobtient
un nouveau réaliseur de G.
Propriété 1.3.1. Si un réaliseur R contient un k-cycle tricolore anti-trigonométrique
(resp. trigonométrique) alors il contient un cw-triangle (resp. ccw-triangle).
Démonstration. Soit C un cycle tricolore anti-trigonométrique composé du chemin
u0 1 −→ u1, u1 2 −→ u2, u2 0 −→ u0 (le cas d’un cycle tricolore trigonométrique est complètement
symétrique).
u 0