Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes

36 Chapitre 2. Théorème de Wagner sur les réaliseurs
vi-1 vi+1 n-3
v i
Figure 35 – Le réaliseur D i n.
transitivité :soientR1,R2 et R3 trois réaliseurs tels que R1(f i 1|f i+1
1 ) ∗ R2(f i 1|f i+1
1 ) ∗ R3.
En concaténant les séquences qui transforment R1 en R2 et R2 en R3, onobtient une
séquence de flips qui transforme R1 en R3. DoncR1(f i 1|f i+1
1 ) ∗ R3.
anti-symétrie : soient R = (T0,T1,T2) et R ′ = (T ′ 0,T ′ 1,T ′ 2) tels que
R(f i 1|f i+1
1 ) ∗ R ′ (f i 1|f i+1
1 ) ∗ R.D’aprèsla propriété 2.2.1, Ti ≥cw T ′
i ≥cw Ti. DoncTi = T ′
i .
Comme un réaliseur est entièrement défini par deux de ses arbres, R = R ′ .
Soit D i n le réaliseur de taille n où tous les arbres Ti−1 et Ti+1 sont des arbres de
profondeur 1 enracinés respectivement en vi−1 et vi+1 (voir figure 35).
Lemme 2.2.2. D i−1
n
férieure. Le réaliseur D i−1
n
supérieure.
est la borne supérieure de (Rn,fi 1|f i+1
1 ) et Di+1 n la borne in-
est la borne inférieure de (Rn,f i−1
2 |f i 2) et Di+1 n la borne
Démonstration. Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur de taille n. SiR = D i+1
n
alors soit Ti
possède un nœud interne soit Ti−1 possède un nœud interne. Si Ti possède un nœud
interne u1, alorsonpeut appliquer le flip f i+1
1 (u1). Demanièresimilaire, si Ti−1 pos-
sède un nœud interne u2 alors, on peut appliquer le flip f i 1(u2). Danslesdeux cas,
R n’est pas un élément maximal de (Rn,f i 1|f i+1
1 ). Donc l’unique élément maximal
de (Rn,fi 1|f i+1
1 ) est Di−1 n .Unraisonnement semblable montre que Di+1 n
inférieure de (Rn,f i 1|f i+1
1 ) et que (Rn,f i−1
2 |f i 2) est borné par D i−1
n
et par D i+1
n .
est la borne
Lemme 2.2.3. Il existe une séquence de flips qui transforme n’importe quel réaliseur
en n’importe quel autre réaliseur de même taille.
Démonstration. Soient R et R ′ deux réaliseurs de taille n. Comme D i−1
n
est l’unique
élément maximum de (Rn,fi 1|f i+1
1 ), ilexisteune séquence S1 de flips de type f i 1 et f i+1
1
qui transforme R en Di−1 n .Ilexisteaussi une séquence de flips de type f i 1 et f i+1
1
transforme R ′ en Di−1 n .Comme l’inverse d’un flip de type f i 1 est un flip de type f i−1
2
est un flip de type f i 2,ilexisteune séquence S2
composée de flips de type f i−1
2 et f i−1
2 qui transforme Di−1 n en R ′ .Donclaconcaténation
des séquences de flips S1 et S2 transforme R en R ′ .
et que l’inverse d’un flip de type f i+1
1
qui