Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes

N o d’ordre : 2627
THÈSE
PRÉSENTÉE À
L’UNIVERSITÉ BORDEAUX I
ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET
D’INFORMATIQUE
Par Nicolas BONICHON
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPÉCIALITÉ : INFORMATIQUE
Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des
graphes plans maximaux
Soutenue le : 19 décembre 2002
Après avis des rapporteurs :
Jean-Marc Fédou . . Professeur
Hubert de Fraysseix Directeur de Recherche
Michel Habib . . . . . . Professeur
Devant la commission d’examen composée de :
André Raspaud . . . . Professeur . . . . . . . . . . . . . . . . Président
Jean-Marc Fédou . . Professeur . . . . . . . . . . . . . . . . Rapporteur
Hubert de Fraysseix Directeur de Recherche . . . . Rapporteur
Michel Habib . . . . . . Professeur . . . . . . . . . . . . . . . . Rapporteur
Bertrand Le Saëc . . Professeur . . . . . . . . . . . . . . . . Examinateur
Mohamed Mosbah . Maitre de Conférence HDR Examinateur
Cyril Gavoille . . . . . . Professeur . . . . . . . . . . . . . . . . Invité
2002

Remerciements
Mes remerciements s’adressent en premier à mes directeurs de thèse : Bertrand
Le Saëc et Mohamed Mosbah. Ils ont fait preuve d’un soutien sans faille. Ils ont su
remarquablement me guider tout au long de ces années. Leurs choix et leurs jugements
se sont toujours révélés être très justes. Je leur dois beaucoup de choses. Qu’ils
trouvent ici toute l’expression de ma reconnaissance.
Je tiens à remercier chaleureusement Hubert de Fraysseix, Jean-marc Fédou et
Michel Habib pour m’avoir fait l’honneur de lire attentivement mon mémoire. Leurs
commentaires sur ce mémoire ont été très enrichissants. Je tiens à exprimer ma
gratitude pour l’intérêt qu’ils ont porté à l’égard de mon travail.
Je remercie André Raspaud d’avoir accepté de présider mon jury.
Je suis très sensible à la présence de Cyril Gavoille dans ce jury. Ce fut également
un réel plaisir de travailler avec lui et Nicolas Hanusse. Je suis heureux de pouvoir
leur exprimer ici toute ma gratitude.
Les discutions avec Mireille Bousquet-Mélou, Olivier Guibert, Xavier Viennot et
surtout Philippe Duchon m’ont apporté énormément de réponses.
Je tiens également à remercier :
– Guillaume, Irek, Davy, Valère, Pascalou, Akka, Laurent pour leur bonne humeur,
leur amitié et soutien lors de ces trois années. Ils ont toujours été disponibles
aussi bien pour prendre un p’tit café que pour me donner un coup de main
quand j’en avais besoin. C’est toujours avec grand plaisir que je les retrouvais
tous les jours.
–Yon,Fabrice, Yvan pour parce que se sont vraiment des types biens. Avec eux
les missions sont toujours des grands moments.
–Pierre Ramet, Olivier Guibert, Christophe Paul, Gwenola Thomas, Julien
Bernet, Jean-Pierre Jardry, Isabelle Dutour et Jean-Michel Lepine pour m’avoir
i

accompagné lors de mes premiers pas à l’IUT.
–Philippe Biais pour sa gentillesse et son efficacité.
–Pierre-André Wacrenier pour ses discussions souvent intéressantes.
–Marianne Campagnolle, Benoît Eloseguy, Michel Alfaro et Catherine Jaulent
pour m’avoir donné le goût de la recherche.
–PauletGlenda Ferguson pour leur soutien linguistique.
–Philippe Lagouarde pour ses encouragements lors de mon séjour à ICSF.
–Toute l’équipe des chasseurs de fautes (Virginie, Tantine, Françoise, Dudu,
Stéph, Nico Lapin, Boulet) qui ont permis d’améliorer la qualité de ce document.
–Choune pour m’avoir initié à la pratique du voile-contact.
–Finot,Niche, Francky et Titus pour avoir su nous guider dans ces canyons aux
météos imprévisibles.
–Lespetits gars de la boulet-liste pour les nombreuses discutions "philosophiques"
qu’ils ont su entretenir.
–FrancketMichèle pour avoir su créer à Voeuil-et-Giget un climat propice à
l’avancement de cette thèse.
–Mafamille et plus particulièrement mes parents, mon frère, ma soeur et Annie
pour m’avoir soutenu et épaulé durant toutes mes études.
S’il y a bien une personne que je dois remercier c’est bien sûr Virginie. Sans son
amour et son soutien sans faille, rien n’aurait été possible. Discrètement, elle sait
m’amener jusqu’au bout du meilleur de moi-même.
àmonparrain.

Table des matières
Introduction 1
1 Présentation des Réaliseurs 7
1.1 Préliminaires . . . ............................. 7
1.2 Réaliseur : définition et propriétés . . . .................. 14
1.3 Treillis des réaliseurs d’un graphe plan maximal . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Généralisations des réaliseurs . . ..................... 25
1.4.1 Réaliseurs d’un graphe plan triconnexe . ............. 25
1.4.2 Arbres recouvrants ordonnés . . .................. 27
I Etude des réaliseurs 29
2 Extension du théorème de Wagner aux réaliseurs 31
2.1 Flips diagonaux et théorème de Wagner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Flips diagonaux sur les réaliseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Structure de Rn et théorème de Wagner ............. 34
2.3 Faces tricolores, nœuds internes et arêtes flippables . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Nombre de nœuds internes ..................... 37
2.3.2 Nombre d’arêtes flippables d’un réaliseur ............. 40
2.4 Conclusion .................................. 40
3 Bijection entre les réaliseurs et les paires de chemins de Dyck ne se
coupant pas 43
3.1 Chemins de Dyck qui ne se coupent pas .................. 44
3.2 Réaliseurs étoiles et séquences préfixes de flips . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Réaliseurs étoiles .......................... 45
3.2.2 Séquence préfixe de flips . ..................... 46
3.3 Algorithmes de codage et décodage d’un réaliseur . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 Algorithme de codage ........................ 49
3.3.2 Algorithme de décodage . . . . .................. 50
3.4 Comportement asymptotique des réaliseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Conclusion ..................................
i
54

4 Génération aléatoire de pastèques 55
4.1 Algorithme de Génération aléatoire de pastèques ............. 57
4.1.1 Génération aléatoire de mots . . .................. 57
4.1.2 Génération de pastèques . ..................... 58
4.2 Applications à d’autres objets combinatoires ............... 61
4.2.1 Polyominos parallélogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Chemins planaires sous-diagonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.3 Réaliseurs aléatoires ........................ 64
4.2.4 Arbres binaires jumeaux et permutations de Baxter . . . . . . . 64
4.3 Expérimentations . . . . .......................... 66
4.3.1 Hauteur des branches dans les pastèques avec mur . . . . . . . . 66
4.3.2 Réaliseurs aléatoires ........................ 68
4.4 Conclusion .................................. 69
II Utilisations des réaliseurs pour le dessin et le codage 71
5 Un algorithme de dessin lignes brisées basé sur les réaliseurs 73
5.1 Dessin lignes brisées d’un graphe planaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Principe de dessin lignes brisées d’un réaliseur . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Stratification-faible d’un réaliseur . . . .................. 78
5.4 Dessin lignes brisées d’une stratification-faible d’un réaliseur . . . . . . 79
5.5 Algorithme de calcul d’une stratification-faible d’un réaliseur . . . . . . 80
5.6 Conclusion .................................. 83
6 Une majoration du nombre de graphes planaires à l’aide des réaliseurs 85
6.1 Arbre recouvrant bien-ordonné . . ..................... 89
6.1.1 Définition . . . . . . . ....................... 89
6.1.2 Construction . . . . . ....................... 91
6.2 Super-triangulation d’un graphe planaire . . ............... 95
6.2.1 Définition . . . . . . . ....................... 95
6.2.2 Construction . . . . . ....................... 95
6.3 Codage d’un graphe planaire à l’aide d’une super-triangulation . . . . . 98
6.3.1 Représentation d’un graphe planaire à l’aide d’une chaîne binaire 98
6.4 Nombre de graphes planaires non étiquetés . . .............. 105
6.4.1 Fonction entropie .......................... 107
6.4.2 Nombre d’arêtes d’un graphe planaire aléatoire . . . . . . . . . 110
6.5 Conclusion .................................. 113

Table des figures
1 Un exemple de réaliseur. . . . . ..................... 2
2 A gauche, un graphe non orienté G1. Adroiteun graphe G2 qui est
une orientation de G1. .......................... 8
3 Graphe planaire admettant plusieurs dessins planaires. . . . . . . . . 9
4 Exemple de graphe planaire maximal .................. 9
5 Un graphe plan G ainsi que son dual G∗ ,représenté par les sommets
noirs et les arêtes en pointillés. . . . . .................. 10
6 Exemple d’arbre enraciné ordonné. Le nœud a est la racine de cet arbre. 11
7 Illustration de la relation d’ordre entre les arbres. . . . . . . . . . . . 12
8 Exemple d’un EPO P de dimension 2. . . ............... 13
9 A gauche un graphe G. Adroitelediagramme de Hasse l’EPO d’incidence
de G. . . . ............................. 13
10 Diagramme de Hasse d’un EPO P ainsi que celui de son treillis distributif
de ses idéaux L(P ). ......................... 14
11 Condition locale :orientation et coloration des arêtes autour de
chaque sommet interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
12 Un exemple de réaliseur. A gauche, le graphe sous-jacent et à droite,
l’un de ses réaliseurs. . . . . ....................... 16
13 8 colorations possibles des arêtes d’une face. . ............. 17
14 Configuration impossible où u est un descendant de v dans T0 et u est
un ancêtre de v dans T1. . . . ...................... 17
15 a. Configuration impossible où P1(v) est avant v dans l’ordre
postfixe trigonométrique de T2. b. Région délimitée par C =
((v, P1(v)),P1(v) →2 w, w →2 v). . . .................. 18
16 Recoloration d’un triangle d’un réaliseur. . . . . . . .......... 19
17 Chaque k-cycle tricolore contient un triangle tricolore. . . . . . . . . . 20
18 A gauche, le réaliseur maximal du graphe plan G1. Adroite,lastructure
du treillis des réaliseurs du graphe G1 est représentée. Le numéro
sur une arête correspond au numéro de la face qu’il faut recolorier pour
passer d’un réaliseur à un autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
19 Illustration des notations de la preuve de la propriété 1.3.3. . . . . . . 22
20 Exemple de graphe 3 dégénéré. . ..................... 22
21 Illustration des notations de la preuve de la propriété 1.3.4. . . . . . .
iii
24

22 Opération de changement de face extérieure sur un réaliseur. . . . . . 24
23 Graphe de la figure 18 avec une face extérieure différente. Le treillis
qui lui est associé possède le même nombre d’éléments que celui du
graphe d’origine. ............................. 25
24 Condition locale généralisée . . ..................... 26
25 Exemple de réaliseur triconnexe . . . .................. 26
26 Répartition des arêtes d’une paire ordonnée autour d’un sommet. . . 27
27 Exemple de graphe. Le premier dessin n’admet pas d’arbre ordonné.
Le second admet un arbre ordonné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
28 Flip diagonal sur les graphes plans maximaux. . . . . . . . . . . . . . 32
29 Flip signé. . . ............................... 32
30 Exemple de séquence de flips permettant de passer d’un graphe planaire
maximal à un autre de même taille. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
31 Flips diagonaux sur les réaliseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
32 Configuration où il est possible d’appliquer un flip f i 1(u1) ou un flip
f i 2(u1). . .................................. 34
33 Configuration où une arête ne peut pas être flippée. . . . . . . . . . . 34
34 L’ensemble R6 muni des opérations f1. . . . .............. 35
35 Le réaliseur D i n. . ............................. 36
36 Exemple de configuration de flip. . . .................. 37
37 32 configurations de flips de type f1. . .................. 39
38 Opération de demi-flip sur les réaliseurs des graphes triconnexes. . . . 41
39 Exemple de chemins de Dyck ne se coupant pas. . . . . . . . . . . . . 43
40 Exemple de réaliseur étoile. . . . ..................... 44
41 Codage d’un arbre ordonné enraciné à l’aide d’un mot de Dyck. . . . 45
42 a. Une face du graphe plan obtenue à partir de la connexion de T0 et
En−2. b. La même face, avec les arêtes de T ′ 1 dedans. . . . . . . . . . 46
43 Exemple de séquence préfixe de flips : (0, 0, 1, 2). ............ 47
44 Séquence non-préfixe de flips (f 2 1 (u4),f 2 1 (u3)). ............. 48
45 (a) Une pastèque avec mur, 3 promeneurs ayant des trajectoires de
longueur 8 et de déviation 2. (b) Une configuration étoile sans mur,
avec 3 promeneurs ayant des trajectoires de longueur 6 et terminant
respectivement aux ordonnées (−2, 2, 6). . . . ............. 55
46 Une pastèque aléatoire à 8 branches de longueur 200 sans mur. . . . . 61
47 Une pastèque aléatoire à 8 branches de longueur 200 avec mur. . . . . 61
48 Complexité des algorithmes de génération. (Test réalisé sur un Pentium
166) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
49 Passage de la pastèque à 2 branches à un polyomino parallélogramme. 62
50 7 polyominos jumeaux. .......................... 63
51 Une boucle sous-diagonale de longueur 10 5 générée aléatoirement. . . 64
52 Réaliseur aléatoire de taille 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

53 Hauteur moyenne des pastèques avec mur en fonction du nombre de
branches et de la longueur des branches. . . . . . . . . . . . . . . . . 66
54 Hauteur moyenne des pastèques sans mur en fonction du nombre de
branches et de la longueur des branches. . . . . . . . . . . . . . . . . 67
55 a(p). . . .................................. 67
56 Nombre de faces tricolores et nombre de triangles tricolores. . . . . . 68
57 Différents dessins lignes brisées d’un même graphe. De gauche à droite :
"Mixed-Model" [GM98], "quasi-orthogonal", lignes droites [Sch90]. . . 74
58 Différents dessins orthogonaux d’un même graphe. De gauche à droite :
Giotto, visibilité, dessin de 2-visibilité, Kandinsky. . . . . . . . . . . . 74
59 Constructions des graphes Hn. ...................... 76
60 Dessins d’une arête. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
61 Configuration de chevauchement d’arête et configuration corrigée. . . 77
62 Exemple de dessin lignes brisées obtenu par l’algorithme 7. Le graphe
dessiné possède 16 sommets. Le dessin est effectué sur une grille de
taille 9 × 9 et contient 7 brisures. .................... 84
63 Le graphe plan H du graphe G (à gauche), n’admet pas d’arbre recouvrant
bien-ordonné. Le graphe plan H ′ de G (à droite), admet quant à
lui un arbre recouvrant bien-ordonné T .Lapaire(T,H ′ ) est une paire
bien-ordonnée de G. . . .......................... 89
64 Basculement du sous-graphe connexe composé de sommets libres pardessus
une arête critique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
65 Exemple de super-triangulation. ..................... 95
66 Un arbre enraciné avec 8 feuilles et 3 bourgeons. La chaîne
codant l’arbre (en gras le motif correspondant au bourgeon)
1101101111001010010000110100. . . .................. 99
67 Représentation d’un graphe planaire non connexe par le triplet
(k, t(G),v). . . . .............................. 106
68 Comportement de f(λ) et f ′ (λ). ..................... 108
69 Comportement of h(µ). .......................... 112

Introduction
De nombreux problèmes, à commencer par les réseaux de communication, sont
modélisés par des graphes. Parmi les graphes, certains peuvent être dessinés sur un plan
sans que les arêtes ne se croisent. Ces graphes sont appelés graphes planaires. Lorsque
l’ordre des arêtes autour des sommets est fixé et que la face externe est également fixée,
on parle de carte planaire ou de graphe plan.
Bien que ces graphes soient très étudiés, ils conservent encore de nombreux problèmes
ouverts. Considérons deux de ces problèmes. Quelle est la surface nécessaire
et suffisante pour dessiner n’importe quel graphe plan ? Quel est le nombre de bits
nécessaires et suffisants pour coder un graphe planaire ?
Fary [Far48], Stein [Ste51] et Wagner [Wag36] ont montré de façon indépendante
que tout graphe plan admet un dessin où les arêtes sont représentées par des lignes
droites. Depuis le début des années 90 on sait qu’il est possible de dessiner en temps
linéaire un graphe plan à l’aide de lignes droites sur une grille (n − 2) × (n − 2) [Sch90].
On sait également qu’une grille (⌊ 2(n−1)
⌋) × (⌊ 2(n−1)
⌋) est nécessaire, mais on ignore si
3
3
cette grille est suffisante pour dessiner tous les graphes plans à n sommets.
Concernant le codage des graphes planaires, Bender, Gao et Wormald [BGW99]
ont montré qu’il faut au moins 4, 71n bits pour coder un graphe planaire à n sommets.
Cette borne inférieure est donnée par l’énumération des graphes planaires étiquetés
biconnexes. Plus récemment, Osthus, Prömel et Taraz [OPT] ont montré qu’il était
possible de coder un graphe planaire à n sommets avec 5, 22n bits.
Pour essayer de répondre à ces deux questions on s’intéresse aux graphes plans
maximaux. Ces graphes sont maximaux dans le sens où si on leur ajoute une arête
quelconque, ils ne sont plus planaires.
Le fait de considérer les graphes planaires maximaux dans le domaine du dessin
de graphes est naturel : en effet, comme tout graphe planaire est un sous-graphe d’un
graphe planaire maximal, savoir dessiner tous les graphes planaires maximaux, permet
de dessiner tous les graphes planaires. Comme maximiser un graphe planaire peut
se faire en temps linéaire [FO95, BK97, BKK97], tout algorithme de dessin qui est
linéaire sur les graphes planaires maximaux induit un algorithme de dessin linéaire sur
les graphes planaires.
Dans la problématique du codage, l’utilisation des graphes planaires maximaux est
différente. Pour coder un graphe planaire G, oncodeungraphe planaire maximal G ′
qui admet G comme sous-graphe. Puis on code les arêtes de G ′ qu’il faut supprimer
1

2
pour reconstruire le graphe G. Ladifficulté d’une telle approche est double : dans
un premier temps, il faut maximiser le graphe G de manière à conserver le maximum
d’informations sur G et dans un second temps il faut coder efficacement G ′ et les arêtes
de G ′ superflues.
Pour étudier et manipuler les graphes planaires maximaux, un outil s’est avéré indispensable
: le réaliseur. Cetobjet mathématique, a été introduit par Schnyder [Sch89]
pour caractériser les graphes planaires en terme de dimension d’un ensemble partiellement
ordonné.
Un réaliseur d’un graphe plan maximal G est une partition des arêtes internes de G
en trois arbres "recouvrants" (T0,T1,T2) telle qu’autour de chaque sommet interne de
G on rencontre, dans le sens anti-trigonométrique : l’arête vers le parent dans T0, des
arêtes vers les enfants dans T2 (s’ils existent), l’arête vers le parent dans T2, lesarêtes
vers les enfants dans T0 (s’ils existent), l’arête vers le parent dans T1 et enfin les arêtes
vers les enfants dans T2 (s’ils existent). La figure 1 montre un exemple de réaliseur.
v 2
u 2
u 3
u 1
v 0
Figure 1 – Un exemple de réaliseur.
Avant d’aller plus loin dans les applications des réaliseurs, rappelons que tout graphe
plan maximal admet au moins un réaliseur. De plus, on peut construire un tel réaliseur
en temps linéaire [Sch90].
Dans le domaine du dessin de graphes, cet objet a trouvé un grand essor. Citons 3
algorithmes de dessin s’appuyant sur les réaliseurs : dessin lignes droites [Sch90], dessin
de 2-visibilité [CLL01], "floor-planning" [LLY02]. Dans ce document nous présentons
un nouvel algorithme de dessin de graphes qui utilise les réaliseurs fournissant un
dessin avec des lignes brisées. Cet algorithme linéaire obtient des dessins de surface et
de largeur optimales pour la classe des graphes planaires.
Fraysseix et Ossona de Mendez [FO95] ont établi une bijection entre les 3orientations
(i.e. les orientations d’un graphe plan maximal telles que tous les sommets
internes ont un degré rentrant de 3) et les réaliseurs. Ils ont, par ailleurs, montré que
l’ensemble des réaliseurs d’un graphe a une structure de treillis distributif. Bien plus
tard, Chiang, Lin et Lu [CLL01] ont montré que la somme des nœuds internes des trois
arbres d’un réaliseur était strictement inférieure au nombre de nœuds du réaliseur :
ξ0 + ξ1 + ξ2 ≤ n − 1 où ξi désigne le nombre de nœuds internes de l’arbre Ti. Cedernier
u 4
u 5
v 1

ésultat permet de réduire la taille des dessins obtenus par certains algorithmes utilisant
les réaliseurs. Notre étude des réaliseurs nous a permis de relier le nombre de faces
tricolores (i.e. faces qui possèdent une arête dans chacun des arbres) d’un réaliseur au
nombre de nœuds internes des arbres du réaliseur. Pour montrer ce dernier résultat,
nous avons été amené à proposer une extension du théorème de Wagner [Wag36] aux
réaliseurs. Le théorème de Wagner affirme qu’il est possible de transformer un graphe
plan maximal en un autre graphe plan maximal à l’aide d’opérations appelées “flips
diagonaux”.
Deux généralisations des réaliseurs ont été également proposées. La première étend
la notion de réaliseur aux graphes plans triconnexes. Dans de tels graphes, un réaliseur
est encore constitué de 3 arbres recouvrants, où une arête peut appartenir à au plus
2arbres [BTV99, Fel01a]. Les réaliseurs de graphes triconnexes sont utilisés dans des
algorithmes de routage [WNC99] ainsi que pour le calcul de dessins convexes (chaque
face est un polygone convexe) [BTV99, Fel01a]. La seconde généralisation s’applique à
certaines cartes planaires connexes. Il s’agit des arbres recouvrants ordonnés introduits
par Chuang, Garg, He, Kao et Lu [CGH + 98]. Grâce à cette généralisation, plusieurs
algorithmes de codage furent proposés [CGH + 98].
Le travail présenté ici s’inscrit dans la continuité des travaux précédemment cités. A
savoir, dégager de nouvelles propriétés des réaliseurs, présenter un nouvel algorithme de
dessin de graphes, mais aussi proposer un algorithme de codage des graphes planaires
à l’aide des réaliseurs.
Plan du document
Partie I : Etude des réaliseurs
Chapitre 1 : Présentation des Réaliseurs
Dans un premier temps, nous rappelons quelques notions de théorie des graphes,
des ensembles partiellement ordonnés.
Nous présentons également la définition de réaliseur ainsi que quelques propriétés
fondamentales de ces objets que nous réutilisons tout au long de ce document. Nous
présentons deux généralisations des réaliseurs : les réaliseurs de graphes triconnexes et
les arbres recouvrants ordonnés.
Chapitre 2 : Extension du théorème de Wagner aux réaliseurs
Dans ce chapitre nous nous intéressons aux réaliseurs de taille n dans leur ensemble.
Nous introduisons des opérations sur les réaliseurs appelés "flips diagonaux coloriés".
Grâce à ces opérations nous proposons une extension du théorème de Wagner aux
réaliseurs [BLM02b].
Ce résultat nous permet de trouver une relation entre le nombre de nœuds internes
d’un réaliseur et le nombre de ses faces tricolores : ξ0 + ξ1 + ξ2 − ∆=n − 1 où ξi
3

4
désigne le nombre de nœuds internes de l’arbre Ti et ∆ le nombre de faces tricolores
du réaliseur.
Chapitre 3 : Bijection entre les réaliseurs et les paires de chemins de Dyck
ne se coupant pas
Nous proposons ici une bijection entre les réaliseurs et les paires de chemins de
Dyck qui ne se coupent pas [Bon02]. Le codage d’un réaliseur par une paire de chemins
de Dyck qui ne se coupent pas et le décodage se font en temps linéaire. Utilisant cette
bijection, nous pouvons énumérer les réaliseurs de taille n et nous pouvons les générer
exhaustivement de manière efficace. De plus, nous prouvons que le nombre de faces
tricolores d’un réaliseur est asymptotiquement en moyenne de n/2+o(n).
Chapitre 4 : Génération aléatoire de pastèques
Dans le chapitre précédent nous avons considéré les paires de chemins de Dyck qui
ne se coupent pas. Ici nous considérons le cas de plusieurs chemins de Dyck qui ne se
coupent pas. Ces configurations sont également appelées pastèques. A l’aide de formules
d’énumération [EG95, KGV00] sur les facteurs gauches de telles configurations nous
proposons un algorithme de génération aléatoire de telles configurations. La complexité
de cet algorithme est en O(p 2 2 p l) où p est le nombre de chemins et l la longueur des
branches. La bijection présentée dans le chapitre précédant nous permet donc de générer
aléatoirement en temps linéaire des réaliseurs de taille n [BMar].
Quelques expérimentations ont été effectuées, montrant que la profondeur moyenne
d’un arbre d’un réaliseur est environ de 0, 97 √ n.
Partie II : Utilisations des réaliseurs pour le dessin et le codage
Chapitre 5 : Un algorithme de dessin lignes brisées basé sur les réaliseurs
Nous observons dans un premier temps que les dessins lignes brisées, comme les
dessins lignes droites [FPP90], nécessitent une grille de surface (resp. largeur) au moins
4(n−1) 2
(resp. ⌊ 9
2(n−1)
⌋). Nous présentons un algorithme linéaire de dessin lignes brisées
3
utilisant les réaliseurs. Cet algorithme calcule, pour n’importe quel graphe planaire à n
sommets, un dessin lignes brisées sur une grille de surface au plus 4(n−1)2
.Les dessins
9
obtenus ont au plus n − 2 brisures et au plus 1 brisure par arête. Il permet d’affirmer
que la surface (resp. largeur) de grille nécessaire et suffisante pour dessiner un graphe
planaire à l’aide de lignes brisées est 4(n−1)2
(resp. ⌊ 9
2(n−1)
⌋) [BLM02a].
3
Chapitre 6 : Une majoration du nombre de graphes planaires à l’aide des
réaliseurs
Ce chapitre présente un travail réalisé en collaboration avec Cyril Gavoille et Nicolas
Hanusse [BGH03].

Dans un premier temps nous proposons une généralisation de la notion de réaliseur
minimal aux arbres recouvrants ordonnés [CGH + 98].
Dans ce chapitre, nous montrons une borne supérieure de 2 5,007n+O(log(n)) sur le
nombre de graphes planaires non étiquetés. Ce résultat implique que le nombre de
graphes planaires étiquetés est d’au plus n!2 5,007n+O(log(n)) ,améliorant ainsi la borne
donnée dans [OPT].
Comme notre borne peut être paramétrée en fonction du nombre d’arêtes, nous
pouvons montrer que la plupart des graphes planaires non étiquetés possèdent au moins
1, 70n arêtes et au plus 2, 54n arêtes, améliorant l’ancienne borne supérieure de 2, 69n
arêtes [OPT]. De plus, ce résultat est également vrai pour les graphes planaires étiquetés
(ce qui améliore légèrement l’ancienne borne, 2, 56n [OPT]), connexes étiquetés et
connexes non étiquetés.
Mis à part l’aspect fondamental de l’énumération des graphes planaires, notre technique
s’appuie sur une représentation explicite, relativement simple, et calculable en
temps linéaire. De plus, nous donnons un algorithme linéaire de codage en 3, 37n bits
des graphes plans maximaux et en 5, 03n bits pour les graphes planaires. Notre représentation
des graphes plans maximaux améliore la compression “Edgebreaker” [KR99],
et il ne fait pas de doute que notre construction explicite d’un graphe planaire peut être
utilisée pour des problèmes de routage dans les réseaux, en particulier en améliorant le
résultat de Lu [Lu02a].
5

Chapitre 1
Présentation des Réaliseurs
Dans ce chapitre, nous présentons les réaliseurs ainsi que de nombreuses propriétés
utiles de ces objets mathématiques. Avant de pouvoir parler de réaliseurs, il est
nécessaire de rappeler quelques notions classiques sur les graphes, les arbres et sur
les ensembles partiellement ordonnés. Ceci fera l’objet de la première section. Dans
la deuxième section, nous verrons la définition d’un réaliseur ainsi que quelques propriétés
de cet objet. Dans la section 3, nous étudierons la structure de l’ensemble des
réaliseurs d’un graphe plan maximal. Enfin, dans la dernière section nous verrons des
généralisations de la notion de réaliseurs à des graphes plans triconnexes ainsi qu’à des
graphes plans.
1.1 Préliminaires
Graphe
Un graphe G =(V,E) est un ensemble de sommets V et un multi-ensemble d’arêtes
E constituées de paires de sommets. Une arête (u, v) est une boucle si u = v. Une
arête apparaissant plusieurs fois dans l’ensemble E est une arête multiple. Ungraphe
qui possède des boucles ou des arêtes multiples est un graphe-multiple. Onditque
G ′ =(V ′ ,E ′ ) est un super-graphe de G =(V,E) (ou G est un sous-graphe de G ′ )si
V ⊆ V ′ et E ⊆ E ′ .Legraphe G ′ =(V ′ ,E ′ ) est un sous-graphe induit de G si pour
tout couple de sommets (x, y) de V ′ , (x, y) ∈ E ⇔ (x, y) ∈ E ′ .OnditqueG ′ est le
sous-graphe de G induit par V ′ .
Un sommet u est un voisin d’un sommet v s’il existe une arête (u, v) ∈ E. Ledegré
d’un sommet v, notédeg(v) désigne le nombre de ses voisins. On notera deg max(G) le
degré maximal du graphe G.
Un graphe peut être décrit par les listes d’adjacence de chacun de ses sommets. Une
carte d’un graphe G est définie par l’ensemble de ces listes d’adjacence (i.e. listes des
voisins de chaque sommet) où chacune de ces listes est ordonnée.
Un graphe orienté (ou digraphe) G =(V,E) est un ensemble de sommets V et un
7

8 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
ensemble d’arcs E constitués de couples de sommets. Un arc e =(u, v) est un arc
sortant de u et un arc rentrant de v. Lesommet u est aussi appelé la source de e et v
la cible de e. Ledegré rentrant d’un sommet v, notédeg + (v), désignelenombred’arcs
rentrants de v. Delamême manière le degré sortant d’un sommet v, notédeg − (v),
désigne le nombre d’arcs sortants de v.
Un chemin dans un graphe G =(V,E) est une séquence (v1,v2,...,vk) de sommets
distincts de G telle que ∀i/1 ≤ i ≤ k − 1, (vi,vi+1) ∈ E. Lalongueur d’un chemin
est le nombre d’arêtes du chemin. Un cycle est un chemin telle que v1 = vk. Ungraphe
sans cycle est dit acyclique. Ungraphe est connexe, sipour tout couple de sommets
(u, v), ilexisteunchemin allant de u à v. Onappelle sommet d’articulation d’un
graphe G =(V,E) un sommet dont la suppression augmente le nombre de composantes
connexes du graphe.
Un graphe à n sommets (avec n ≥ k +1) est k-connexe, s’il faut supprimer au
moins k sommets pour qu’il ne soit plus connexe. On utilise aussi le terme biconnexe
pour désigner les graphes 2-connexes et le terme triconnexe pour désigner les graphes
3-connexes.
Un graphe G =(V,E) est dit complet si pour toute paire de sommets (u, v) de G,
(u, v) ∈ E. OnnoteKn le graphe complet à n sommets. Une clique d’un graphe G est
un sous-graphe induit complet de G.
Par exemple, le graphe G1 de la figure 2 possède 8 sommets et 14 arêtes. Les sommets
1, 6, 5, 7, 2, 8, 1 forment un cycle de longueur 6. Ce graphe est de plus biconnexe, puisque
si l’on supprime un sommet, le graphe reste connexe. En revanche ce graphe n’est pas
triconnexe, puisque si l’on supprime les sommets 1 et 2, le graphe n’est plus connexe.
Les voisins du sommet 3 sont les sommets 4,5,6 et 7. Le sommet 3 est donc de degré 4.
Le graphe G2 de la figure 2 est un exemple de graphe orienté. Dans ce graphe, on peut
observer que le degré rentrant du sommet 3 est 1 et que le degré sortant du sommet 3
vaut 3. De plus, les sommets 1,6,3,5,4,1 forment un circuit de longueur 5.
8
2
1
4
G 1
6
5
7
3
Figure 2 – A gauche, un graphe non orienté G1. Adroiteungraphe G2 qui est une
orientation de G1.
Graphes planaires et graphes plans
Un dessin planaire d’un graphe est un dessin sur le plan de ce graphe dont les arêtes
joignant les sommets ne se croisent pas. Un graphe est planaire s’il admet un dessin
8
2
1
4
G 2
5
6
7
3

1.1. Préliminaires 9
planaire. Une carte est planaire, s’il existe un dessin planaire respectant les ordres
autour des sommets spécifiés par les listes d’adjacence.
Un graphe plan G est une carte planaire où une arête appartenant à la face extérieure
est distinguée. Une telle arête est appelée arête racine du graphe plan G.Dans un dessin
planaire d’un graphe, les arêtes partitionnent le plan en régions connexes appelées faces.
On dit que deux faces sont adjacentes, siellespartagent au moins une arête. Une de
ces régions est non bornée, elle est appelée face extérieure. Lesautres faces sont dites
intérieure.
On dit qu’une arête e (resp. un sommet v) appartient à la face f si elle (resp. il)
appartient à la frontière de f. Les sommets de la face extérieure sont appelés sommets
externes. Demême, les arêtes de la face extérieure sont appelées arêtes externes. Une
face qui ne contient pas d’arête externe est dite face strictement intérieure.
Théorème 1.1.1. (Whitney 1933) [Whi33]
Soit G graphe planaire triconnexe et e une arête de G. Legraphe G admet un unique
graphe plan ayant pour arête racine l’arête e.
La figure 3 représente le même graphe dessiné de deux manières différentes. On
peut remarquer que ce graphe n’est pas triconnexe puisque si l’on supprime le sommet
5 le graphe se décompose en deux composantes connexes. L’une contenant uniquement
le sommet 4 et l’autre contenant les sommets 2, 3, 1, 6 et 7.
2
1
6
3
4
5
7
Figure 3 – Graphe planaire admettant plusieurs dessins planaires.
Un graphe planaire maximal G est un graphe planaire, avec au moins 3 sommets,
qui si on lui ajoute une arête, il n’est plus planaire. Naturellement un graphe plan
maximal est un graphe planaire maximal où l’on a distingué une des 3 arêtes de la
face extérieure. Par la suite les 3 sommets de la face extérieure seront notés v0,v1,v2
et l’arête distinguée sera l’arête (v0,v1).
La figure 4 représente un exemple de graphe planaire maximal à 8 sommets.
2
1
6
8
3
5
7
6
2
1
5
4
3
Figure 4 – Exemple de graphe planaire maximal
7
4

10 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
Le graphe dual G ∗ d’un graphe plan G est un graphe plan possédant un sommet
par face de G et à chaque arête e de G, onassocie une arête dans G ∗ entre les deux
faces séparées par e.
Figure 5 – Un graphe plan G ainsi que son dual G ∗ ,représenté par les sommets noirs
et les arêtes en pointillés.
Le graphe dual d’un graphe plan peut être un graphe multiple (voir figure 5). En
revanche, le graphe dual d’un graphe plan triconnexe est un graphe plan simple et
triconnexe.
Théorème 1.1.2. (Caractéristique d’Euler )
Soit G un graphe plan connexe. Soient n le nombre de sommets de G, m le nombre
d’arêtes de G et f le nombre de faces de G. Alors
n − m + f =2
Si l’on considère les graphes plans de la figure 3, on peut observer qu’ils possèdent
7sommets, 10 arêtes et 5 faces. Ils vérifient la caractéristique d’Euler : 7 − 10 + 5 = 2.
Dans le cas d’un graphe plan maximal, le nombre d’arêtes vaut 3n − 6, lenombre
de faces vaut 2n − 4 et le nombre de faces strictement intérieures vaut 2n − 8.
Théorème 1.1.3. (Tutte 1962) [Tut62]
Le nombre de graphes plans maximaux de taille n est :
Arbres
Tn =
2(4n − 11)!
(n − 2)!(3n − 7)!
Un arbre est un graphe connexe acyclique. Les sommets d’un arbre sont classiquement
appelés les nœuds de l’arbre. Un arbre enraciné est un arbre où un sommet est
distingué ; ce sommet est appelé racine de l’arbre. On dit que u est un enfant d’un
sommet v si v est le successeur de u sur le chemin (un arbre étant acyclique, il y a un
unique chemin entre deux sommets) entre u et la racine de l’arbre. On dit alors que v

1.1. Préliminaires 11
est le parent de u. Sideux sommets ont le même parent, alors ils sont frères. Ondit
que v est un ancêtre de u s’il se trouve sur le chemin entre u et la racine de l’arbre. On
dit alors que u est un descendant de v. Unnœud, autre que la racine, qui possède un
ou plusieurs enfants est appelé nœud interne. Al’inverse un nœud qui ne possède pas
d’enfant est une feuille. Laprofondeur d’un sommet est la longueur du chemin qui le
sépare de la racine. La profondeur d’un arbre est la plus grande des profondeurs de ses
nœuds.
On appelle plus petit ancêtre commun de u et v (ou plus proche ancêtre commun),
noté ppac(u, v), lesommet le plus loin de la racine étant à la fois ancêtre de u et de v.
Par la suite nous considérerons que les arêtes d’un arbre enraciné sont orientées vers
la racine.
On dit qu’un arbre est ordonné enraciné si l’ensemble des enfants de chaque sommet
est ordonné.
d
c
g
e f
b h
Figure 6 – Exemple d’arbre enraciné ordonné. Le nœud a est la racine de cet arbre.
Un parcours préfixe trigonométrique (resp. anti-trigonométrique) d’un arbre T
consiste à parcourir l’arbre T àpartir de la racine puis récursivement les sous-arbres
issus de ses enfants dans l’ordre trigonométrique (resp. anti-trigonométrique). Un parcours
postfixe trigonométrique (resp. anti-trigonométrique) consiste à parcourir récursivement
les sous-arbres issus des enfants de la racine puis de la racine. L’ordre postfixe
trigonométrique, l’ordre postfixe anti-trigonométrique, l’ordre préfixe trigonométrique
et l’ordre préfixe anti-trigonométrique désignant respectivement l’ordre dans lequel les
sommets sont parcourus suivant les différents parcours.
Soit v1,v2,...,vn les sommets d’un arbre T classés dans l’ordre préfixe antitrigonométrique.
Une branche gauche d’un arbre T est un chemin vi,vi−1,...,vj (i.e.
vi+1 est le premier enfant de vi), tel que i − j soit maximal. Clairement les branches
gauches partitionnent les sommets de T et il y a exactement une branche gauche par
feuille de T .Demanièresymétrique on définit une branche droite d’un arbre en considérant
les sommets v1,v2,...,vn classés dans l’ordre préfixe trigonométrique de T .La
branche droite d’un sommet (resp. branche gauche d’un sommet) dansunarbre T est
l’unique branche droite (resp. gauche) de T qui contient ce sommet.
Considérant l’arbre de la figure 6. L’ordre préfixe trigonométrique est :
a, h, i, b, f, g, e, c, d. L’ordre préfixe anti-trigonométrique est a, b, c, d, e, f, g, h, i. L’ordre
a
i

12 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
postfixe trigonométrique est : i, h, g, f, e, d, c, b, a. L’ordre postfixe anti-trigonométrique
est : d, c, e, g, f, b, i, h, a. Labranche droite du sommet b est constituée des sommets
g, f, b. Lepluspetitancêtre commun de d et f est le sommet b.
Définissons maintenant deux relations d’ordre sur les arbres, ≤cw et ≤ccw :
Définition 1.1.1. Soient T et T ′ deux arbres (enracinés et ordonnés) ayant k nœuds.
Soient n1,n2,...,nk et m1,m2,...,mk, lesnœudsdeT et T ′ dans l’ordre préfixe antitrigonométrique
(resp. trigonométrique). Si T = T ′ alors T ≤cw T ′ et T ≤ccw T ′ .
Sinon, soit i le premier indice tel que deg(ni) = deg(mi). Sideg(ni) < deg(mi) alors
T ≤cw T ′ (resp. T ≤ccw T ′ ).
Naturellement, T ≥cw T ′ est une autre notation pour T ′ ≤cw T .Demême, Tcw T ′ .Demanièresimilaire, les deux
nœuds noirs sont les premiers (dans l’ordre préfixe trigonométrique) qui n’ont pas le
même nombre d’enfants. Le sommet noir de l’arbre T ′ possède plus d’enfants que celui
de l’arbre T donc T cw
< ccw
T T’
Figure 7 – Illustration de la relation d’ordre entre les arbres.
Ensemble partiellement ordonné
Définition 1.1.2. Un ordre partiel ≤ sur un ensemble E est une relation binaire qui
vérifie les propriétés suivantes :
–réflexivité : pour tout x ∈ E,x ≤ x.
–anti-symétrie : pour tous x, y ∈ E, six≤ y et y ≤ x alors x = y.
–transitivité : pour tous x, y, z ∈ E, six≤ y et y ≤ z alors x ≤ z.
Un ensemble partiellement ordonné (ou EPO) P =(E,≤) est une paire constituée
d’un ensemble E, appelédomaine, etd’unordre partiel ≤ sur E. Souventon écrit
x ∈ P au lieu de x ∈ E. L’ordre ≤ est dit total si pour tout couple (x, y) d’éléments de
E, x ≤ y ou y ≤ x. Onditqu’un ordre total ≤L sur E est une extension linéaire d’un
EPO (E,≤) si pour tout couple d’élément (x, y) ∈ E2 , x ≤ y implique x ≤L y. Ondit
que (≤1, ≤2,...,≤k) est un réaliseur de l’ordre ≤ si pour tout couple d’élément (x, y)

1.1. Préliminaires 13
x ≤ y est équivalent à x ≤i y pour tout i ≤ k. Ladimension d’un EPO P =(E,≤) est
le plus petit nombre k tel que (≤1, ≤2,...,≤k) soit un réaliseur de P .
On dit que x couvre y si y

14 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
least upper bound) pour les éléments x, y d’un EPO est une borne supérieure z de x, y
telle que toute autre borne supérieure z ′ de x, y vérifie l’inégalité suivante : z ≤ z ′ .Un
tel élément, s’il existe est noté x ∨ y. Demanièresimilaire, une borne inférieure d’un
paire éléments x, y d’un EPO est un élément z tel que z ≤ x et z ≤ y. Uneplus grande
borne inférieure (ou glb, pour greatest lower bound) pour les éléments x, y d’un EPO
est une borne inférieure z de x, y telle que toute autre borne inférieure z ′ de x, y vérifie
l’inégalité suivante : z ′ ≤ z. Untel élément, s’il existe, est noté x ∧ y.
Un treillis est un EPO dans lequel chaque paire d’éléments possède une unique
plus petite borne supérieure et une unique plus grande borne inférieure. Un treillis
distributif L est un treillis qui vérifie la condition suivante : pour tous x, y, z ∈ L,
x ∨ (y ∧ z) =(x ∨ y) ∧ (x ∨ z) et x ∧ (y ∨ z) =(x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
Théorème 1.1.4. (Birkhoff 1933 :théorème fondamental des treillis distributifs finis)
[Bir33]
Pour chaque treillis distributif fini L, ilexiste un unique EPO P tel que L = L(P ).
La figure 10 illustre le théorème précédent. A gauche le diagramme de Hasse d’un
EPO P et à droite le diagramme de Hasse du treillis des idéaux de P .
c d
b
a
P
e
abcd
abc abd
ab
a
∅
abcde
L(P)
abde
Figure 10 – Diagramme de Hasse d’un EPO P ainsi que celui de son treillis distributif
de ses idéaux L(P ).
1.2 Réaliseur d’un graphe plan maximal : définition
et propriétés
Définition 1.2.1. (Schnyder 1989) [Sch89]
Un réaliseur d’un graphe plan maximal G est une partition des arêtes internes de G
en trois ensembles T0, T1 et T2 d’arêtes orientées, telle que chaque sommet interne v
les conditions suivantes sont respectées :
1. Le sommet v possède exactement une arête sortante dans chacun des ensembles
T0, T1 et T2.

1.2. Réaliseur : définition et propriétés 15
2. Condition locale :lesarêtes incidentes à v apparaissent dans le sens trigonométrique
de la manière suivante : une arête sortante dans T0, éventuellement des
arêtes rentrantes dans T2, unearêtesortantedans T1, éventuellement des arêtes
rentrantes dans T0, unearêtesortantedans T2 et éventuellement des arêtes rentrantes
dans T1 (voir figure 11).
2
0 0 0
v
1
1 2
1 2 2
0
Figure 11 – Condition locale :orientation et coloration des arêtes autour de chaque
sommet interne.
Théorème 1.2.1. (Schnyder 1989) [Sch89]
Soit G un graphe plan maximal possédant au moins 3 sommets. Soit R =(T0,T1,T2) un
réaliseur de G. Chaque ensemble Ti est un arbre contenant tous les sommets internes
de G ainsi que le sommet vi.
Soit

16 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
v 2
u 2
u 3
u 1
v 0
u 4
u 5
v 1
Figure 12 – Un exemple de réaliseur. A gauche, le graphe sous-jacent et à droite, l’un
de ses réaliseurs.
le k-ième enfant de u dans l’arbre Ti. Soientu1et u2 deux sommets d’un réaliseur tels
que u1 est un descendant de u2 dans l’arbre Ti. Onnoteu1−→ i u2 le chemin de u1 à u2
dans l’arbre Ti.
Dans l’exemple de la figure 12, on peut observer que Ch0(u1) =(u3,u4) et que
P2(u5) =u3.
Soit F =(e0,e1,e2) une face d’un graphe plan maximal G avec ej = {uj,uj+1}.
Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur de G.
Propriété 1.2.1. Si u1 est le parent de u2 dans l’arbre Ti alors u1 > i+1
cw u2 et u2 > i−1
cw
u1.
La preuve de cette propriété découle des deux faits qui suivent.
Fait 1.2.1. Supposons que e0 soit coloriée i.
Si e0 et e1 sont orientées vers u1 alors e1 est coloriée i.
Démonstration. Si e1 est coloriée i, alors le parent du sommet u1 dans Ti+1 se trouve
dans la face F .Ceci est impossible.
Fait 1.2.2. Supposons que l’arête e0 soit coloriée i.
Si e0 et e1 sont respectivement orientées vers u1 et u2 alors l’arête e1 est coloriée
i +1.
De manière similaire, si e0 et e2 sont respectivement orientées vers u0 et u1 alors
l’arête e2 est coloriée 1.
Démonstration. Supposons que les arêtes e0 et e1 soient respectivement orientées vers
u1 et u2. Sie1 n’est pas coloriée i +1,leparent du sommet u1 dans Ti+1 serait dans
la face F .Ceci est impossible. En appliquant un argument similaire, on montre la
deuxième partie du fait.
Une conséquence des deux faits précédents, est que les seules colorations possibles
pour une face strictement intérieure sont celles représentées par la figure 13. Remarquons,
que parmi les colorations possibles, seules les 2 premières configurations utilisent
v 2
u 2
u 3
u 1
v 0
u 4
u 5
v 1

1.2. Réaliseur : définition et propriétés 17
les trois couleurs. Par la suite, nous dirons qu’une face coloriée de cette manière est
une face tricolore. Touteslesautres colorations utilisent 2 couleurs. Par la suite, on
appellera cw-face (resp. ccw-face) une face tricolore dont les arêtes tournent dans le
sens anti-trigonométrique (resp. trigonométrique). De même on appellera cw-triangle
(resp. ccw-triangle) un3-cycle tricolore dont les arêtes tournent dans le sens antitrigonométrique
(resp. trigonométrique).
u 2
u 2
u 0
u 0
u 1
u 1
u 2
u 2
u 0
u 0
u 1
u 1
Figure 13 – 8 colorations possibles des arêtes d’une face.
Propriété 1.2.2. Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur. Si u est un descendant de v dans
l’arbre Ti, alorsu ne peut être un descendant ou un ancêtre de v dans Tj pour i = j.
Démonstration. Supposons que u est un descendant de v dans T0 et u est un ancêtre
de v dans T1.
Comme le sommet u satisfait la condition locale, P1(u) est dans la région délimitée
par le cycle C =(u 0 −→ v, v 1 ←− u) (voir figure 14). Soit t le sommet commun à C et au
chemin u 1 −→ v1. Lesommet t ne peut être sur le chemin u 0 −→ v,àcausedelacondition
locale appliquée sur le sommet t. Donct se trouve sur le chemin u 1 −→ v.Danscecas,
nous avons un cycle colorié 1 : t 1 ←− u, u 1 ←− t (voir figure 14). Ceci est impossible car
l’ensemble des arêtes forme un arbre (T1). Donc, si u est un descendant de v dans T0
alors u ne peut pas être un ancêtre de v dans T1.
u
u 2
u 2
P 1 (u)
Figure 14 – Configuration impossible où u est un descendant de v dans T0 et u est un
ancêtre de v dans T1.
Un raisonnement similaire pourrait être effectué dans le cas où u serait un descendant
de v dans l’arbre T0, alorsu ne pourrait pas être un descendant v dans T1. Par
symétrie les autres cas se ramènent à ces deux cas.
v
t
u 0
u 0
u 1
u 1
u 2
u 2
u 0
u 0
u 1
u 1

18 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
Propriété 1.2.3. Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur. Soit (u, v) une arête de R. Si
u = P1(v) où u = P2(v) ou u ∈ Ch0(v) alors u est après v dans l’ordre postfixe
trigonométrique de T2.
Démonstration. Considérons les trois cas suivants :
– u = P2(v) :évident.
– u = P1(v) : Supposons que u soit avant v dans l’ordre postfixe trigonométrique
de T2. Soitwle plus petit ancêtre commun de u et de v dans l’arbre T2. Lecycle
C =((v, u),u2
−→
w, w
←−
2 v) détermine une région du plan (voir figure 15 a.). Afin de
respecter la condition locale sur le sommet u, P0(u) doit être dans cette région.
Considérons le sommet t qui appartient à u
−→
0 v0 et au cycle C. Lacondition
locale sur le sommet t implique que t se situe sur le chemin u
−→
2 w.Donctest un
ancêtre de u dans l’arbre T1. Ceci est en contradiction avec la propriété 1.2.2.
– u ∈ Ch0(v) :Soitwle plus petit ancêtre commun à P1(v) et v dans l’arbre
T2. Le sommet u doit se trouver dans la région délimitée par le cycle C =
((v, P1(v)),P1(v)
−→
2w, w
←−
2 v) (voir figure 15 b.). Dans cette région, tous les sommets
sont après le sommet v dans l’ordre postfixe trigonométrique de T2. Doncu
est après v dans cet ordre.
w
t
P 0 (u)
v
u
a. b.
Figure 15 – a. Configuration impossible où P1(v) est avant v dans l’ordre postfixe
trigonométrique de T2. b. Région délimitée par C =((v, P1(v)),P1(v) → 2 w, w → 2 v).
Définition 1.2.2. Une 3-orientation d’un graphe plan maximal G est une orientation
des arêtes de G où tous les sommets internes de G sont de degré sortant 3.
Théorème 1.2.4. (Fraysseix et Ossona de Mendez, 1994) [FO95]
Soit G un graphe plan maximal. Les réaliseurs de G sont en bijection avec les 3orientations
de G.
Les ordres canoniques ont été introduits par Fraysseix, Pach et Pollack [FPP90] pour
les graphes plans maximaux. Plus tard Kant [Kan96] a proposé une généralisation de
cette définition aux graphes plans triconnexes.
Définition 1.2.3. (Fraysseix, Pach et Pollack, 1990) [FPP90]
Soit G un graphe plan maximal. Un Ordre Canonique est un ordre total sur les sommets
de Gu0 = v0,u1 = v1,u2,u3,...,un = v2 tel que pour tout 4 ≤ k ≤ n :
w
u
v
P 1 (v)

1.3. Treillis des réaliseurs d’un graphe plan maximal 19
1. le sous-graphe induit Gk−1 ⊂ G induit par u0,u1,...,uk−1 soit biconnexe et que
le cycle Ck−1 constitué des arêtes de la face extérieure contient l’arête (v0,v1).
2. vk appartient au cycle Ck et ses voisins dans Gk−1 forment un chemin dans
Ck−1 ⊂{v0,v1}.
Propriété 1.2.4. [FO01] Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur d’un graphe plan G. Le
parcours préfixe de l’arbre T0 est un ordre canonique de G.
Si on considère le réaliseur de la figure 12, on peut observer que l’ordre
v0,v1,u5,u1,u4,u3,u2,v2 est bien un ordre canonique.
1.3 Treillis des réaliseurs d’un graphe plan maximal
Définition 1.3.1. Soit R un réaliseur d’un graphe plan maximal et C un ccw-triangle
(resp. cw-triangle) de R. L’opération de recoloration S+ sur C (resp. S−) estdéfinie
de la manière suivante :
1. Inverser l’orientation des arêtes de C ;
2. Incrémenter (resp. Décrémenter) la couleur des arêtes du cycle C ;
3. Décrémenter (resp. Incrémenter) la couleur des arêtes à l’intérieur de C ;
4. Laisser les autres arêtes du réaliseur inchangées.
u 2
u 1
G c
u 0
S +
S -
u 2
u 1
G c
Figure 16 – Recoloration d’un triangle d’un réaliseur.
Fait 1.3.1. Soit G un graphe plan maximal et R un réaliseur de G. Sil’on applique
une opération S+ (resp. S−) surun ccw-triangle (resp. cw-triangle) C de R, onobtient
un nouveau réaliseur de G.
Propriété 1.3.1. Si un réaliseur R contient un k-cycle tricolore anti-trigonométrique
(resp. trigonométrique) alors il contient un cw-triangle (resp. ccw-triangle).
Démonstration. Soit C un cycle tricolore anti-trigonométrique composé du chemin
u0 1 −→ u1, u1 2 −→ u2, u2 0 −→ u0 (le cas d’un cycle tricolore trigonométrique est complètement
symétrique).
u 0

20 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
Supposons, sans perte de généralité, que le chemin u0 1 −→ u1 soit de longueur au
moins 2. Soit t1 le successeur de u0 dans ce chemin.
Le chemin t1 2 −→ v2 intersecte soit le chemin u2 0 −→ u0 soit le chemin u1 2 −→ u2. Decette
manière on obtient un nouveau cycle tricolore anti-trigonométrique (voir figure 17)
strictement inclus dans la région délimitée par le cycle C. Enitérant cette construction
on obtient finalement un cw-triangle.
u 0
t 1
t 2
u 1
u 2
u 0
t 1
u 1
Figure 17 – Chaque k-cycle tricolore contient un triangle tricolore.
Lemme 1.3.1. [Oss94]
Soit R un réaliseur d’un graphe plan maximal G. SoitC un ccw-triangle (resp. cwtriangle).
Alors si l’on applique S+ (resp. S−) surC on obtient un nouveau réaliseur
R ′ de G.
Cette opération induit une relation sur les réaliseurs : on dit que R R ′ si R ′ peut
être obtenu à partir de R en appliquant des opérations S+.
Propriété 1.3.2. est une relation d’ordre.
Démonstration. Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur et un cw-triangle C =(u0,u1,u2)
comme représenté sur la figure 16. L’arête (u0,u2) est coloriée 2 et est orientée vers u2.
D’après la propriété 1.2.1, u2 < 0 cw u0. SoitR ′ =(T ′ 0,T ′ 1,T ′ 2) le réaliseur obtenu à partir
de R en appliquant l’opération S+ sur C. Onpeutobserver que deg0(u2) < deg ′ 0(u2).
Ceci implique que T0

1.3. Treillis des réaliseurs d’un graphe plan maximal 21
13
R +
1
(G (G1 )
14
7
12
8 9
2
4
6
1
5
3
10
11
R +(G (G1) 2
4
3 2 4
3
4 2 3
1
3
4
R- (G (G1 )
Figure 18 – A gauche, le réaliseur maximal du graphe plan G1. Adroite,lastructure du
treillis des réaliseurs du graphe G1 est représentée. Le numéro sur une arête correspond
au numéro de la face qu’il faut recolorier pour passer d’un réaliseur à un autre.
la propriété branche si et seulement si pour chaque sommet uj et ui = P0(uj), soit
P2(uj) =P2(ui) soit uk = P2(uj) avec i

22 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
u k
B
Q 1
u l
u h
Figure 19 – Illustration des notations de la preuve de la propriété 1.3.3.
ul ∈ P car ul n’est pas un ancêtre de uk (k < l). Considérons le cycle C =
(ui,ul), (ul,uh),P,(uk,uj), (uj,ui) et soit B la région qui admet pour frontière C. Soit
Q1 le chemin dans ¯ T1de ul à v1, laracinede ¯ T1. D’aprèsla condition locale, la première
arête de Q1 doit appartenir à B ∪ C. Comme v1 ∈ B, Q1 doit intersecter C. D’après la
propriété 1.2.2, l’intersection doit se faire en un sommet ut tel que t>l.Cette intersection
ne peut être ui, toujours d’après la condition locale sur le sommet ui. Puisque
chaque sommet ur de P , r ≤ max{h, k}

1.3. Treillis des réaliseurs d’un graphe plan maximal 23
Démonstration. Soit G un graphe plan maximal 3-dégénéré. Considérons une séquence
qui supprime récursivement tous les sommets de degré ≤ 3. Legraphe étant triconnexe,
chaque sommet supprimé est de degré exactement égal à 3. A chaque fois que l’on
supprime un sommet, on obtient un nouveau graphe plan maximal. Donc un graphe
3-dégénéré peut être obtenu à partir de K4 en insérant successivement un sommet au
milieu d’une face et en reliant ce nouveau sommet aux 3 sommets de la face.
Montrons par induction qu’un graphe plan maximal 3-dégénéré admet un unique
réaliseur. Clairement K4 admet un unique réaliseur. Supposons que tous les graphes
plans maximaux 3-dégénérés de taille n admettent un unique réaliseur.
Soit G un graphe plan maximal 3-dégénéré de taille n +1.Soitv un sommet de
degré 3 de G. Soit{u1,u2,u3} les voisins de v dans G.
Soit G ′ = G \{v}. Parhypothèse de récurrence, G ′ admet un unique réaliseur R ′ .
Ce réaliseur R ′ ne contient pas de triangle tricolore. Quelle que soit la coloration de la
face (u1,u2,u3) du réaliseur R ′ ,ilexisteune unique manière de colorier et d’orienter
les arêtes (v, u1), (v, u2) et (v, u3), pourobtenirun réaliseur R de G àpartir de R ′ .Le
sommet v ne possède pas d’arête entrante donc il ne peut pas appartenir à un triangle
tricolore et donc R ne possède pas de triangle tricolore.
Le treillis des réaliseurs de G est donc réduit à un unique réaliseur R.
Soit G un graphe plan maximal qui n’est pas 3-dégénéré. Soit G ′ le graphe obtenu
après suppression récursive de tous les sommets de degré 3. Le graphe plan G ′ est aussi
plan maximal.
Montrons dans un premier temps que G ′ contient un sous-graphe plan maximal G1
de plus de 5 sommets ne contenant pas K4.
On peut remarquer que G ′ contient au moins 5 sommets. Donc si G ′ ne contient pas
K4, onprendG1 = G ′ .Sinon,soient u1,u2,u3,u4 quatre sommets de G ′ qui forment
une clique.
Cette clique partitionne le plan en quatre composantes connexes, dont trois d’entre
elles sont bornées. Soit (u1,u2,u3) la frontière de la composante du plan non bornée. Si
toutes les composantes connexes bornées sont vides (ne contiennent pas de sommets)
u4 serait de degré 3, ce qui est en contradiction avec la définition de G ′ . Supposons
sans perte de généralité que la région bornée par le triangle (u1,u2,u4) ne soit pas
vide. Soit G2 le graphe plan maximal contenu dans la région (u1,u2,u4) ayant pour
face extérieure (u1,u2,u4). Cegraphe est au moins de taille 5 (dans le cas contraire le
sommet interne serait de degré 3). En réitérant cette construction sur G2 on obtient
un graphe G1 qui ne contient pas K4.
Soit (t0,t1,t2) les sommets de la face extérieure de G ′ .Sices trois sommets forment
un triangle alors il est tricolore. Dans le cas contraire supposons, sans perte de généralité,
que les arêtes (t1,t0) et (t2,t0) soient coloriées 0 et que (t2,t1) soit coloriée
1. Soitu le voisin commun à t1 et t2 dans G1. D’aprèsla condition locale appliquée
respectivement sur t2 et t1, clairement P2(u) =t2 et P1(u) =t1 (voir figure 21).
Comme G ′ ne contient pas K4, u ′ = P0(u) = t0. Demême, soit P1(u ′ ) est différent
de t1 soit P2(u ′ ) est différent de t2. Supposons donc que P1(u ′ ) = t1. Enappliquant

24 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
t 2
u
u’
t 0
Figure 21 – Illustration des notations de la preuve de la propriété 1.3.4.
encore une fois la condition locale, on montre que P2(P1(u ′ )) = u, etdoncqueG ′
contient un triangle tricolore.
Comme nous l’avons vu dans la première partie de la preuve, il est possible de
construire un réaliseur R de G àpartir de R ′ .Letriangle tricolore de R ′ est également
un triangle tricolore de R. DoncG admet plusieurs réaliseurs.
Propriété 1.3.5. Soit G un graphe plan maximal. Soit G ′ un autre dessin de G. Il
existe une bijection entre R(G) et R(G ′ ).
Démonstration. Pour montrer cette propriété, nous allons considérer dans un premier
temps que G possède comme face extérieure (v0,v1,v2) et que G ′ possède comme face
extérieure (v ′ 0,v1,v2).End’autres termes, la face extérieure de G ′ est une face adjacente
àlafaceextérieuredeG. SoitGR (resp. GL) lesous-graphe de G situé dans la région
entourée par v ′ 0 v −→ 0, (v0,v1), (v1,v ′ 0) (resp. (v ′ ,0,v2), (v2,v0)v0 v ←− ′ 0)
L’opération de retournement est définie comme suit :
1. Retourner les arêtes du chemin v ′ 0−→ 0 v0.
2. Recolorier les arêtes de GL coloriées 0 en 1 et celles coloriées 1 en 0.
3. Recolorier les arêtes de GR coloriées 0 en 2 et celles coloriées 2 en 0.
v’ 0
GRG GLL v 0
G R
Figure 22 – Opération de changement de face extérieure sur un réaliseur.
Cette opération définit de manière évidente une bijection entre les réaliseurs de G et
ceux de G ′ .Maintenant si la face extérieure de G ′ n’est pas voisine de la face extérieure
u’’
t 1
G R
G L

1.4. Généralisations des réaliseurs 25
de G, ilexisteunesuitedefaces deux à deux adjacentes allant de la face extérieure de
G à celle de G ′ .Onpeutconstruiredeproche en proche une bijection permettant de
passer des réaliseurs de G à ceux de G ′ .
La figure 23 représente le réaliseur minimal d’un graphe plan G2. Cegraphe plan
diffère de celui de la figure 18 uniquement par le choix de la face extérieure. Comme
on peut le constater les deux treillis de réaliseurs ont bien le même nombre d’éléments.
En revanche, ils ne sont pas isomorphes.
13
7
8
12
14
4
6
1
2
5
3
11
9
10
R +(G (G2) 1
3
5
6
4
3
1
5
6 1
R- (G (G2 )
R + (G (G2 )
Figure 23 – Graphe de la figure 18 avec une face extérieure différente. Le treillis qui lui
est associé possède le même nombre d’éléments que celui du graphe d’origine.
1.4 Généralisations des réaliseurs
1.4.1 Réaliseurs d’un graphe plan triconnexe
Définition 1.4.1. (Di Battista, Tamassia et Vismara) [BTV99]
Soit G un graphe plan triconnexe. Un réaliseur R d’un graphe plan triconnexe G est
un triplet ( ¯ T0, ¯ T1, ¯ T2) d’arbres recouvrants de G vérifiant les propriétés suivantes :
1. Les racines v0,v1 et v2 des 3 arbres recouvrants sont situées sur la face extérieure.
2. Chaque arête de G appartient à un ou deux des arbres recouvrants.
3. Si une arête (u, v) appartient à deux arbres recouvrants, alors si u est l’enfant de
v dans le premier alors v est l’enfant de u dans le deuxième.
4. Considérons les arêtes de G avec les orientations qu’elles ont dans les trois arbres
recouvrants (i.e. vers la racine), et lorsqu’une arête appartient à deux arbres elle
est considérée deux fois.
6
5
4

26 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
(a) Chaque sommet de u, différent des trois racines, possède exactement trois
arêtes sortantes. L’ordre circulaire des arêtes sortantes autour de u induit
un ordre sur les arbres autour de u. Touslessommets différents des trois
racines, ont le même ordre circulaire pour les arbres recouvrants.
(b) Pour chaque sommet de G les arêtes entrantes qui appartiennent au même
arbre recouvrant apparaissent de manière consécutive entre les arêtes sortantes
des deux autres arbres recouvrants (la première et la dernière arête
entrante pouvant coïncider avec les arêtes sortantes).
5. Toutes les arêtes adjacentes à la racine vi de l’arbre Ti appartiennent à l’arbre
Ti.
2
0 0 0
v
1
1 2
1 2 2
0
1
2
1 1
0 0
0
v
1
0
2
1
2 2
2
1 1
Figure 24 – Condition locale généralisée
La figure 25 représente un exemple de réaliseur triconnexe.
v 2
v 0
1
0 0
1
0
v
2
0
2 2
Figure 25 – Exemple de réaliseur triconnexe
Remarquons que si R =(T0,T1,T2) est un réaliseur d’un graphe plan maximal G,
alors R ′ =( ¯ T0, ¯ T1, ¯ T2) est un réaliseur de G au sens de la définition 1.4.1.
Cet objet permet d’obtenir des dessins convexes (i.e. les faces sont représentées par
des polygones convexes) [BTV99, Fel01a]. Il permet également d’établir un schéma de
routage tolérant aux pannes [BTV99, WNC99]. Ezra Miller [Mil02] et Felsner [Fel01b]
quant à eux ont étudié les relations entre les réaliseurs des graphes triconnexes et
certaines partitions planes. Plus récemment, Felsner a montré que l’ensemble des réaliseurs
d’un graphe triconnexe avait également une structure de treillis distributif [Fel02].
Ce dernier résultat généralise aux réaliseurs des graphes plans triconnexes le résultat
v 1

1.4. Généralisations des réaliseurs 27
établi par de Mendez [Oss94] pour les réaliseurs de graphes plans maximaux (voir
théorème 1.3.1).
1.4.2 Arbres recouvrants ordonnés
Une autre généralisation des réaliseurs aux graphes planaires connexe a été proposé
par Chiang, Lin et Lu [CLL01].
Soit T un arbre recouvrant d’un graphe plan G. Deux sommets sont non-apparentés
s’il ne sont pas ancêtres l’un de l’autre. Une arête de G est non-apparentée si elle relie
deux sommets non-apparentés.
Définition 1.4.2. (Chiang, Lin et Lu, 2001) [CLL01]
Soit u1,u2,...,un les sommets de G dans l’ordre préfixe anti-trigonométrique de T .
Le sommet vi est ordonné dans G considérant T si les arêtes adjacentes de vi dans
G se répartissent en 4 blocs (potentiellement vides) autour de vi dans l’ordre antitrigonométrique
(voir figure 26) :
– BP (vi) :arêtevers le parent de vi dans T ;
– Bi.
La première arête de B> (resp. la dernière de B

28 Chapitre 1. Présentation des Réaliseurs
2
1
6
8
3
5
7
4
2
1
6
8
3
5
Figure 27 – Exemple de graphe. Le premier dessin n’admet pas d’arbre ordonné. Le
second admet un arbre ordonné.
7
4
6
2
1
3
5
8
7
4

Première partie
Etude des réaliseurs
29

Chapitre 2
Extension du théorème de Wagner
aux réaliseurs
Introduction
Jusqu’à présent nous avons considéré les réaliseurs d’un graphe donné. Dans ce
chapitre, nous nous intéressons à l’ensemble des réaliseurs de l’ensemble des graphes
plans maximaux de taille n. Decefait, un réaliseur n’est plus défini comme un triplet
d’arbres recouvrants, mais tout simplement comme un triplet d’arbres vérifiant
certaines propriétés. Par la suite nous noterons l’ensemble des réaliseurs de taille n :
Rn.
Dans ce chapitre une généralisation du théorème de Wagner aux réaliseurs est présentée.
Wagner [Wag36] a montré que l’on peut transformer un graphe planaire maximal
de taille n en n’importe quel autre de taille n uniquement en effectuant des transformations
de diagonales, appelées flips diagonaux ou plus simplement flips. Unflipest une
opération qui consiste à supprimer la diagonale (u1,u2) d’un quadrilatère (u1,u2,u3,u4)
et la remplacer par la diagonale opposée (u2,u4) (voir figure 28). Pour que cette opération
soit possible il est nécessaire que u2 et u3 ne soient pas adjacents. Dans lecas
contraire, l’opération de flip créerait une arête double entre u2 et u3. Ainsi, on peut
obtenir tous les graphes planaires maximaux de taille n par des flips diagonaux. Ce
théorème a été étendu aux triangulations du plan projectif, du tore ainsi que de la
bouteille de Klein [Dew73, NW90]. Plus récemment Gao, Urrutia et Wang [GUW01]
ont étudié les flips sur les graphes planaires maximaux étiquetés. Ils ont montré que la
distance (en nombre de flips) entre deux graphes planaires maximaux étiquetés était
O(n log(n)).
Les flips sont également liés au théorème des 4 couleurs. Dans [Eli99], des flips
diagonaux signés (voir figure 29) ont été utilisés pour définir des transformations entre
des triangulations signées d’un polygone. Il a été montré que l’existence d’une suite de
flips signés entre deux triangulations d’un polygone est équivalente à l’existence d’une
4-coloration pour tous graphes planaires [Eli99, EGP00, GP00].
31

32 Chapitre 2. Théorème de Wagner sur les réaliseurs
u1
u 2
u 3
u 4
Figure 28 – Flip diagonal sur les graphes plans maximaux.
u1
u 2
+
+
u 3
u 4
f
f
u1
u1
u 2
u 3
u 2
- -
u 3
Figure 29 – Flip signé.
Nous proposons une extension du théorème de Wagner aux réaliseurs de taille n.
Pour ce faire, nous avons introduit deux nouvelles opérations : deux flips diagonaux
coloriés. Nous avons montré que l’ensemble des réaliseurs de taille n est un EPO.
En utilisant ce résultat, nous avons aussi caractérisé le nombre de nœuds internes
d’un réaliseur. Plus précisément, nous avons prouvé que ξ0+ξ1+ξ2−∆ =n−1 où ξj est
le nombre de nœuds internes de l’arbre Ti et ∆ est le nombre de faces tricolores. Comme
application de cet invariant, nous trouvons qu’un arbre recouvrant ordonné [CLL01],
d’un graphe plan maximal, avec au plus ⌊ 2n+1−∆⌋
feuilles peut être calculé en temps
3
linéaire. Grâce à la relation entre le nombre de nœuds internes et le nombre de faces
tricolores nous montrons que le nombre d’arêtes flippables d’un réaliseur est d’au moins
n − 4 − ∆.
La section 2.1 présente les flips diagonaux ainsi que le théorème de Wagner. Dans
la section 2.2 nous présentons une version colorié des flips diagonaux sur les réaliseurs.
Enfin, dans la dernière section 2.3 nous établissons des relations entre le nombre d’arêtes
flippables, le nombre de nœuds internes ainsi que le nombre de faces tricolores d’un
réaliseur.
2.1 Flips diagonaux et théorème de Wagner
Définition 2.1.1. Soit G un graphe plan maximal. Soient u2,u1,u4 et u3,u4,u1 deux
faces adjacentes, où u2 n’est pas un voisin de u3. Unflipdiagonal est l’opération qui
consiste à supprimer l’arête (u1,u4) et à ajouter l’arête (u2,u3) (voir figure 28).
On peut remarquer que la condition u2 n’est pas un voisin de u3 est nécessaire pour
éviter d’avoir des graphes avec des arêtes multiples.
Théorème 2.1.1. (Wagner 1936) [Wag36]
Soient G1 et G2 deux graphes planaires maximaux, possédant n sommets. Il existe une
u 4
u 4

2.2. Flips diagonaux sur les réaliseurs 33
Figure 30 – Exemple de séquence de flips permettant de passer d’un graphe planaire
maximal à un autre de même taille.
u1
i-1
u 2
u 3
u 4
f1 ( u1
i
)
u1
u2 u u
2
2
f2( u1)
u4 u1 u4 u1
i
i-1 i+1
i
i i
u 3
i+1
Figure 31 – Flips diagonaux sur les réaliseurs.
séquence de flips diagonaux qui transforme G1 en G2.
La figure 30 montre comment on peut passer d’un graphe planaire maximal à un
autre.
2.2 Flips diagonaux sur les réaliseurs
Comme le montre la figure 31, nous proposons une version colorée des flips diagonaux
pour les réaliseurs : f i 1 et f i 2.Onvoit aisément que si l’on applique un flip diagonal
de type f i 1 ou de type f i 2,onobtientun nouveau réaliseur.
Le choix du type de flip que l’on peut appliquer sur une arête dépend de la configuration
du quadrilatère. Remarquons que si l’arête (u2,u1) est coloriée i − 1 et orientée
vers u1 et que l’arête (u3,u1) est coloriée i+1 et orientée vers u1,alorsonpeutappliquer
indifféremment le flip f i 1(u1) ou le flip f i 2(u1) (voir figure 32).
En revanche, si l’arête (u2,u1) est coloriée i +1et orientée vers u2 et que l’arête
(u3,u1) est coloriée i − 1 et orientée vers u3, l’arête (u1,u4) ne peut pas être flippée
(voir figure 33). C’est ce qui rend le théorème de Wagner non trivial sur les réaliseurs.
Propriété 2.2.1. Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur. Soit R ′ =(T ′ 0,T ′ 1,T ′ 2) un réaliseur
obtenu à partir de R en appliquant un flip de type f i 1 (resp. f i 2). Les propriétés suivantes
sont vérifiées : T ′
i ccw Ti−1 (resp. T ′
i cw Ti+1)
Démonstration. Considérons le flip f i 1(u1) de la figure 31. L’arête (u1,u3) peut être
coloriée i − 1 et orientée vers u3 ou coloriée i +1et orientée vers u1. Dansles deux
cas, u1 < i−1
ccw u3. Comme le nombre d’enfants de u1 dans l’arbre T ′
i−1 est plus grand que
dans l’arbre Ti−1, T ′
i−1 >ccw Ti−1.
u 3
i
u 3
u 4

34 Chapitre 2. Théorème de Wagner sur les réaliseurs
i-1
u1
i+1
u 2
i
u 3
f2 ( u1
i
u 4
f1 ( u1
i
)
Figure 32 – Configuration où il est possible d’appliquer un flip f i 1(u1) ou un flip f i 2(u1).
i+1
u1
i-1
u 2
i
u 3
Figure 33 – Configuration où une arête ne peut pas être flippée.
L’arête (u2,u4) peut être coloriée i et orientée vers u4 ou coloriée i +1et orientée
vers u2. Danslesdeux cas, u4 < i cw u2. Comme le nombre d’enfants de u1 dans l’arbre
T ′
i est plus petit que dans l’arbre Ti, T ′
i

2.2. Flips diagonaux sur les réaliseurs 35
13 6
0
3
10
2
11
7
5
1
4
9
12
Figure 34 – L’ensemble R6 muni des opérations f1.
8

36 Chapitre 2. Théorème de Wagner sur les réaliseurs
vi-1 vi+1 n-3
v i
Figure 35 – Le réaliseur D i n.
transitivité :soientR1,R2 et R3 trois réaliseurs tels que R1(f i 1|f i+1
1 ) ∗ R2(f i 1|f i+1
1 ) ∗ R3.
En concaténant les séquences qui transforment R1 en R2 et R2 en R3, onobtient une
séquence de flips qui transforme R1 en R3. DoncR1(f i 1|f i+1
1 ) ∗ R3.
anti-symétrie : soient R = (T0,T1,T2) et R ′ = (T ′ 0,T ′ 1,T ′ 2) tels que
R(f i 1|f i+1
1 ) ∗ R ′ (f i 1|f i+1
1 ) ∗ R.D’aprèsla propriété 2.2.1, Ti ≥cw T ′
i ≥cw Ti. DoncTi = T ′
i .
Comme un réaliseur est entièrement défini par deux de ses arbres, R = R ′ .
Soit D i n le réaliseur de taille n où tous les arbres Ti−1 et Ti+1 sont des arbres de
profondeur 1 enracinés respectivement en vi−1 et vi+1 (voir figure 35).
Lemme 2.2.2. D i−1
n
férieure. Le réaliseur D i−1
n
supérieure.
est la borne supérieure de (Rn,fi 1|f i+1
1 ) et Di+1 n la borne in-
est la borne inférieure de (Rn,f i−1
2 |f i 2) et Di+1 n la borne
Démonstration. Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur de taille n. SiR = D i+1
n
alors soit Ti
possède un nœud interne soit Ti−1 possède un nœud interne. Si Ti possède un nœud
interne u1, alorsonpeut appliquer le flip f i+1
1 (u1). Demanièresimilaire, si Ti−1 pos-
sède un nœud interne u2 alors, on peut appliquer le flip f i 1(u2). Danslesdeux cas,
R n’est pas un élément maximal de (Rn,f i 1|f i+1
1 ). Donc l’unique élément maximal
de (Rn,fi 1|f i+1
1 ) est Di−1 n .Unraisonnement semblable montre que Di+1 n
inférieure de (Rn,f i 1|f i+1
1 ) et que (Rn,f i−1
2 |f i 2) est borné par D i−1
n
et par D i+1
n .
est la borne
Lemme 2.2.3. Il existe une séquence de flips qui transforme n’importe quel réaliseur
en n’importe quel autre réaliseur de même taille.
Démonstration. Soient R et R ′ deux réaliseurs de taille n. Comme D i−1
n
est l’unique
élément maximum de (Rn,fi 1|f i+1
1 ), ilexisteune séquence S1 de flips de type f i 1 et f i+1
1
qui transforme R en Di−1 n .Ilexisteaussi une séquence de flips de type f i 1 et f i+1
1
transforme R ′ en Di−1 n .Comme l’inverse d’un flip de type f i 1 est un flip de type f i−1
2
est un flip de type f i 2,ilexisteune séquence S2
composée de flips de type f i−1
2 et f i−1
2 qui transforme Di−1 n en R ′ .Donclaconcaténation
des séquences de flips S1 et S2 transforme R en R ′ .
et que l’inverse d’un flip de type f i+1
1
qui

2.3. Faces tricolores, nœuds internes et arêtes flippables 37
u 1
u 3
u 0
∆
u 2
ξ’ 0 - ξ0 = 0
ξ’ 1 - ξ1 = -1
ξ’ 2 - ξ2 = 0
∆’ -∆ = -1
R R’
u0 Figure 36 – Exemple de configuration de flip.
Dans le précédent lemme, il était nécessaire d’utiliser des flips de type f1 et de type
f2. Lethéorème suivant utilise uniquement des flips de type f1.
Théorème 2.2.1. Soient R1 et R2 deux réaliseurs de taille n. Ilexiste une séquence
de flips composée uniquement de flips de type f1 qui transforme R1 en R2.
Démonstration. Comme D 0 n est la borne supérieure de (Rn,f 1 1 |f 2 1 ), ilexisteune séquence
S1 de flips de type f 1 1 et f 2 1 qui transforme R en D 0 n.Comme D 0 n est la borne
supérieure de (Rn,f 1 1 |f 2 1 ), ilexisteuneséquencedeflipsdetypef 1 2 et f 2 2 qui transforme
R ′ en D 0 n.Doncilexisteune séquence S1 composée de flips de type f 0 1 et f 1 1 qui
transforme D 0 n en R ′ .Laconcaténation de S1 et S2 est une séquence composée de flips
de type f 0 1 ,f 1 1 et f 2 1 qui transforme R en R ′ .
2.3 Relations entre le nombre de faces tricolores, le
nombre de nœuds internes et le nombre d’arêtes
flippables
2.3.1 Nombre de nœuds internes
On note ∆ le nombre de faces tricolores d’un réaliseur. On note également ξi le
nombre de nœuds internes d’un arbre Ti.
Lemme 2.3.1. Soit R un réaliseur. Soit R ′ obtenu en appliquant un flip de type f1
sur le réaliseur R. Lasomme ξ0 + ξ1 + ξ2 − ∆ est identique pour les deux réaliseurs.
Démonstration. Pour vérifier ce lemme, nous devons vérifier les différentes configurations
de flipsdetypef i 1 sur le quadrilatère et la face adjacente à l’arête rentrante
(u1,u3).
Si l’on considère la configuration de flip de la figure 36, nous pouvons voir que u2
est un nœud interne de T1 mais qu’il n’est pas un nœud interne de T ′ 1.Deplus,R
possède une face tricolore tandis que R ′ n’en possède pas. Donc le lemme est vérifié si
l’on applique un flip de type f i 1 sur une telle configuration. Le tableau au centre de la
figure 36 montre la différence du nombre de nœuds internes dans l’arbre T0,T1 et T2
ainsi que la différence du nombre de faces tricolores.
u 1
u 3
u 2

38 Chapitre 2. Théorème de Wagner sur les réaliseurs
Les 32 configurations possibles de flips de type f i 1 ont été également considérées
(voir figure 37). Pour les 32 configurations le lemme est vérifié.
Théorème 2.3.1. Pour tout réaliseur R(T0,T1,T2) de taille n :
ξ0 + ξ1 + ξ2 − ∆=n − 1.
Démonstration. Puisque tous les réaliseurs de taille n peuvent être obtenus à partir
de D 0 n,ilsuffitd’évaluer cette somme sur ce dernier réaliseur. Le réaliseur D 0 n possède
n − 3 nœuds internes dans l’arbre T0, unnœudinterne dans l’arbre T1 et un nœud
interne dans l’arbre T2. Deplus, ce réaliseur ne possède aucune face tricolore (∆ =0).
Donc ξ0 + ξ1 + ξ2 − ∆=n − 1.
Récemment, Fraysseix et Ossona de Mendez [FO02] m’ont communiqué une preuve
plus simple de ce théorème :
Démonstration. On dit qu’un sommet est un pôle d’une face s’il possède deux arêtes
sortantes sur cette face. Clairement chaque face bicolore possède un unique pôle et les
faces tricolores ne possèdent pas de pôle. De plus les faces internes portant une arête
externe possèdent chacune un unique pôle. Si u est une feuille de l’arbre Ti, alorsu est
le pôle de la face (u, Pi+1(u),Pi−1(u)). Ainsi le nombre de faces bicolores est égale au
nombre de feuilles dans les arbres Ti. Lenombre de feuilles de l’arbre Ti vaut n−2−ξi.
Comme les faces strictement-intérieures sont soit tricolores soit bicolores :
2n − 5=∆+(n − 2 − ξ0)+(n − 2 − ξ1)+(n − 2 − ξ2).
En simplifiant l’équation précédente on retrouve la formule du théorème 2.3.1.
Un arbre recouvrant ordonné (“orderly spanning tree” en anglais) [CLL01] d’un
graphe plan maximal peut être obtenu à partir d’un arbre de Schnyder Ti en insérant
l’arête (vi+1,vi) à Ti.
Corollaire 2.3.1. Soit R un réaliseur d’un graphe plan maximal G. Unarbrerecouvrant
ordonné de G ayant au plus ⌊ 2n+1−∆⌋
feuilles peut être obtenu en temps linéaire
3
de R.
Démonstration. Ce corollaire vient du fait que le nombre de feuilles d’un arbre de
Schnyder Ti est n − 1 − ξi et qu’un arbre recouvrant ordonné obtenu à partir de Ti
possède deux feuilles de plus, le sommet vi+1 et le sommet vi−1. Parmilestrois arbres
de Schnyder, on prend l’arbre qui possède le moins de feuilles. Le théorème 2.3.1 nous
assure que cet arbre possède au plus ⌊ 2n−5−∆⌋.
3

2.3. Faces tricolores, nœuds internes et arêtes flippables 39
-1
-1
0
-2
∆
∆
-1
0
0
-1
0
0
∆
-1
∆ ∆
0
∆
0
0
-1
0
∆
-1
0
0
-1
∆
∆
0
0
-1
∆
0
+1
+1
∆ ∆
∆
0
∆ 0
∆ 0
∆
0
+1
0
-1
0
0
-1
∆
-1
+1
0
0
∆
0
+1
0
+1
0
0
0
0
-1
0
0
-1
∆
-1
+1
0
0
∆
0
+1
0
+1
0
0
0
0
∆
-1
-1
0
-2
∆
∆
∆
-1
0
0
-1
0
0
∆
-1
0
∆ ∆
∆
0 ∆
0
∆
∆
∆
∆
-1
0
∆
+1
+1
0
0
∆
0
+1
+1
∆
∆ ∆
∆
0
0 ∆ ∆ 0
∆
∆
∆
0 ∆ ∆
0 ∆
+1
+2
+1
0
∆
0
0
0
0
+1
0
∆
+1
+1
∆ 0 ∆
0 ∆
+2
+1
+1
0
0
+1
Figure 37 – 32 configurations de flips de type f1.
∆
∆
∆
-1
0
0
-1
∆
∆
0
0
-1
∆
0
+1
∆
+1
0 ∆ 0
0 ∆
∆ ∆ ∆
0
+1
0

40 Chapitre 2. Théorème de Wagner sur les réaliseurs
2.3.2 Nombre d’arêtes flippables d’un réaliseur
On dit qu’une arête est flippable si l’on peut appliquer un flip sur cette arête.
Plus formellement, une arête (u1,u4) bordant deux faces (u1,u4,u2) et (u1,u3,u4) est
flippable si et seulement si u2 et u3 ne sont pas adjacents.
Théorème 2.3.2. (Gao, Urrutia et Wang 2001) [GUW01]
Tout graphe planaire maximal à n sommets possède au moins n − 2 arêtes flippables.
Dans le cas des réaliseurs la définition de flippable peut être adaptée. Soit e =
(u1,u4) une arête coloriée i.
On dit que e est f1-flippable si l’on peut appliquer l’opération f i 1(u1). Onditquee
est flippable si l’on peut appliquer l’opération f i 1(u1) ou f i 2(u1).
Théorème 2.3.3. Soit R un réaliseur possédant ∆ faces tricolores. Le nombre d’arêtes
f1-flippables de R est n − 4+∆.
Démonstration. Une arête (u1,u4) coloriée i est f1-flippable si et seulement si u1 est
un nœud interne (autre que vi) dansl’arbre Ti−1. Donclenombre d’arêtes f1-flippables
coloriées 0 est ξ2 − 1, lenombred’arêtes f1-flippables coloriées 1 est ξ0 − 1 et le nombre
d’arêtes f1-flippables coloriées 2 est ξ1 − 1. Lethéorème 2.3.1 nous permet de conclure.
2.4 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons proposé une extension du théorème de Wagner aux
réaliseurs. A l’aide de ce théorème nous avons établi une relation entre le nombre de
nœuds internes des arbres d’un réaliseur et le nombre de faces tricolores. Cette dernière
relation précise l’inégalité proposée dans [CLL01].
De plus, nous avons montré que (Rn,f i 1|f i+1
1 ) avait une structure d’EPO borné.
Naturellement, nous nous sommes demandé si (Rn,f i 1|f i+1
1 ) avait une structure de
treillis distributif. Malheureusement, nous avons constaté que ni (R6,f i 1|f i+1
1 ), ni
(Rn,f i 1|f i+1
1 |f i+1
2 ), ni(Rn,f i 1|f i+1
2 ) n’avaient une telle structure de treillis. Toutefois,
une question reste en suspens : (Rn,f i 1|f i+1
1 |f i+1
2 ) est-il également un EPO borné. Remarquons
que cela est vrai pour n ≤ 6.
Des questions restent encore à étudier : quelle est la distance (en termes de nombres
de flips) qui sépare deux réaliseurs de taille n ?Gao, Urrutia et Wang [GUW01] ont
étudié les flips diagonaux sur les graphes plans étiquetés. Peut-on étendre leurs résultats
aux réaliseurs étiquetés ? Si oui, quelle est la distance qui sépare deux réaliseurs
étiquetés ? Quelle est la distance qui sépare deux réaliseurs qui ne différent l’un de
l’autre que par leur étiquetage ? etc.
La notion de flip diagonal s’applique naturellement aux cartes dont les faces sont
des triangles. L’opération de flip diagonal colorié peut s’exprimer sous la forme de
deux demi-flips (voir figure 38) : f i 1(u1) =fus i 1(u1) ◦ sep i−1
1 (u2) et f i 2(u1) =fus i 2(u1) ◦
sep i+1
2 (u3). Nouspensons qu’une généralisation du théorème de Wagner aux réaliseurs

2.4. Conclusion 41
de graphes triconnexes peut être proposée à l’aide des demi-flips. Cette généralisation
serait la première qui s’appliquerait à des cartes dont les faces ne sont pas des triangles.
u1
u 2
u 4
fus1 ( u1
i
)
Sep2( u1)
i
u1
u2 u1 u4 u 4
u 3
fus2( u1)
i
Sep1 ( u1
i
Figure 38 – Opération de demi-flip sur les réaliseurs des graphes triconnexes.
)
u1
u 3
u 4

42 Chapitre 2. Théorème de Wagner sur les réaliseurs

Chapitre 3
Bijection entre les réaliseurs et les
paires de chemins de Dyck ne se
coupant pas
Introduction
Un chemin de Dyck de longueur 2n est un chemin, composé de pas Nord-Est et
Sud-Est de longueur √ 2,partant du point (0, 0) et se terminant au point (2n, 0) et
restant dans le quart de plan positif. La paire (g, h) est une paire de cheminsde Dyck
ne se coupant pas si h reste dans la partie du quart de plan situé au-dessus du chemin g
(voir figure 39). De tels chemins ont été étudiés entre autre par D. Gouyou-Beauchamps
[GB86, GB89]. Ils peuvent être vus comme un cas particulier des configurations étoilées
[KGV00] que nous considérerons plus en détail dans le chapitre suivant.
g=11010010, h=11101000
Figure 39 – Exemple de chemins de Dyck ne se coupant pas.
Dans ce chapitre nous établissons une bijection entre ces paires chemins et les
réaliseurs. Cette bijection permet l’énumération des réaliseurs de taille n, ainsique
leur génération exhaustive. De plus, cette bijection nous permet de déduire que le
nombre moyen de faces tricolores d’un réaliseur est asymptotiquement de n/2+o(n).La
génération aléatoire uniforme d’un réaliseur est aussi une application de cette bijection,
et sera développée dans le chapitre suivant.
43

44 Chapitre 3. Bijection : réaliseurs ↔ paires de chemins de Dyck
Le principe de la bijection est le suivant. A chaque réaliseur R on associe un réaliseur
particulier Rc, appeléréaliseur étoile.Unréaliseur étoile est un réaliseur dont l’arbre T2
est une étoile, i.e. dont tous les sommets sont des voisins du sommet v2 (voir figure 40).
Nous montrons qu’un réaliseur R est entièrement défini par son réaliseur étoile Rc muni
d’une séquence particulière de flips, appelée séquence préfixe de flips, transformant Rc
en R. Leréaliseur étoile et la séquence de flips peuvent être codés à l’aide d’une paire
de chemins de Dyck ne se coupant pas.
v 2
v 0
R c
v 1
Figure 40 – Exemple de réaliseur étoile.
Le réaliseur étoile est entièrement défini par son arbre T0. L’arbre T0 est codé par
le premier chemin de Dyck, le second codant la séquence de flips.
Ce chapitre est organisé de la manière suivante : la section 3.1 est une présentation
des chemins de Dyck ne se coupant pas ainsi que de leur énumération, la section 3.2
introduit les réaliseurs étoiles ainsi que les séquences préfixes de flips, la section 3.3
présente une bijection entre les réaliseurs et les chemins de Dyck ne se coupant pas, et
la section 3.4 propose quelques applications de cette bijection.
3.1 Chemins de Dyck qui ne se coupent pas
Soit un ensemble fini appelé alphabet où les éléments sont appelés lettres. Ici,nous
utiliserons l’alphabet A = {1, 0}. Unmot f est une séquence finie de lettres f1f2 ...fn.
L’ensemble A ∗ de tous les mots sur l’alphabet est équipé de l’opération concaténation
qui met bout à bout deux mots. La longueur d’un mot, notée|f|, est le nombre de
lettres de f. Pour une lettre x, onnote|f|x le nombre d’occurrences de x dans le mot
f. Unmotf ′ est un facteur gauche de f s’il existe un mot f ′′ tel que f = f ′ f ′′ .Un
morphisme δ de A ∗ vers N est défini par δ(1) = 1, δ(0) = −1 et δ(f ′ f ′′ )=δ(f ′ )+δ(f ′′ ).
Le langage de Dyck D est défini de la manière suivante : D = {f ∈ A ∗ |δ(f) =0et ∀f ′
facteur gauche de f,δ(f ′ ) ≥ 0}. Nousnotons Dn = D ∩ A 2n .Nous notons également
open(k, f) la position de la k-ième "1" de f.
Un chemin de Dyck est un chemin codé par un mot de Dyck de la manière suivante :
un pas Nord-Est est codé par un "1" et un pas Sud-est est codé par un "0". Ces chemins
partent du point (0, 0),netraversent jamais l’axe des abscisses et terminent sur l’axe des
abscisses. De manière classique, les mots de Dyck de longueur 2n − 2 sont utilisés pour
coder les arbres enracinés ordonnés de taille n. Lafigure41 montre un arbre enraciné

3.2. Réaliseurs étoiles et séquences préfixes de flips 45
ordonné ainsi que le mot de Dyck le codant. On appelle pic d’un chemin de Dyck, un
pas Nord-Est suivit d’un pas Sud-Est. Dans un mot de Dyck, un pic correspond au
motif 10. Siunarbre T est codé par un mot de Dyck f alors le nombre de feuilles de
T correspond au nombre de pics de f. Danslafigure 41, on peut observer que l’arbre
dessiné comporte trois feuilles et que le mot qui le code comporte trois pics.
Une paire (g, h) de Dn × Dn est une paire de cheminsdeDycknesecoupantpassi
pour tout g ′ et h ′ respectivement facteurs gauches de g et h tels que |g ′ | = |h ′ |,alors
δ(h ′ ) ≥ δ(g ′ ).
On note Vn l’ensemble des paires de chemins de Dyck de longueur 2n ne se coupant
pas . De manière naturelle, une paire de mots de Dycknesecoupantpasest une paire
de mots de Dyck codant deux chemins de Dyck ne se coupant pas. La figure 39 montre
un exemple de paire de Chemins de Dyck ne se coupant pas.
11010010
Figure 41 – Codage d’un arbre ordonné enraciné à l’aide d’un mot de Dyck.
Pour en terminer avec la présentation des paires de chemins de Dyck qui ne se
coupent pas, rappelons que ces paires de chemins sont énumérées par une différence de
produits de Catalan :
Théorème 3.1.1. (Gouyou-Beauchamps 1986) [GB86]
Le nombre de paires de chemins de Dyck qui ne se coupent pas de longueur 2n est :
|Vn| = Cn+2Cn − C 2 n+1,
où Cn désigne le nombre de Catalan (2n)!
n!(n+1)! .
Les premières valeurs de |Vn| sont 1, 1, 3, 14, 84, 594, 4719,....
3.2 Réaliseurs étoiles et séquences préfixes de flips
Dans cette section, nous présentons une classe particulière de réaliseurs, les réaliseurs
étoiles ainsi qu’une manière canonique de transformer n’importe quel réaliseur
en un réaliseur étoile. Cette transformation canonique est appelée séquence préfixe de
flips.
3.2.1 Réaliseurs étoiles
Définition 3.2.1. Un réaliseur étoile Rc =(T0,T ′ 1,En−2) est un réaliseuroùEn−2 est
une étoile de taille n − 2 dont toutes les arêtes sont orientées vers le centre de l’étoile
v2, i.e. En−2 est un arbre enraciné de profondeur 1.

46 Chapitre 3. Bijection : réaliseurs ↔ paires de chemins de Dyck
Dans le premier réaliseur de la figure 43, le sommet v2 est voisin de tous les sommets
internes du graphe. Donc ce réaliseur est un réaliseur étoile.
Propriété 3.2.1. Soit T0 un arbre ordonné enraciné de taille n−2. Ilexiste un unique
arbre T ′ 1 tel que Rc =(T0,T ′ 1,En−2) soit un réaliseur étoile.
Démonstration. Tout d’abord, on peut remarquer qu’il y a une unique manière de
connecter T0 et En−2 : l’ordre préfixe anti-trigonométrique de T0 correspond à l’ordre
trigonométrique autour de v2. Unefois que T0 et En−2 sont connectés, nous obtenons
un graphe plan. Soit Fk = (v2,ui,ui1,ui2,...,uit,ui+1) une face de ce graphe
plan (voir figure 42). Les parents dans T ′ 1 des sommets ui,ui1,ui2,...,uit−1 doivent
être des sommets de cette face. C’est la seule manière de satisfaire la condition locale
(voir définition 1.2.1). Pour la même raison, le seul sommet qui peut être le parent
de ui,ui1,ui2,...,uit−1 est le sommet ui+1. Pour chaque sommet ui, seul un sommet
peut être le parent de uk dans T ′ 1 sans violer la condition locale de la définition d’un
réaliseur. Donc il existe un seul arbre T ′ 1 tel que Rc =(T0,T ′ 1,En−2) soit un réaliseur.
v 2
u i
u i1 ui2
u i+1
u it
v 2
u i
u i1 ui2
a. b.
Figure 42 – a. Une face du graphe plan obtenue à partir de la connexion de T0 et En−2.
b. La même face, avec les arêtes de T ′ 1 dedans.
Par la suite,ondiraqueRc =(T ′ 0,T ′ 1,En−2) est le réaliseur étoile associé au réaliseur
R =(T0,T1,T2) si T0 = T ′ 0. Bien évidemment, le graphe sous-jacent à Rc n’est pas
forcément le même que le graphe sous-jacent à R.
Apartir de la construction précédente de l’arbre T ′ 1,onpeutdéduire la propriété
suivante.
Propriété 3.2.2. Soit Rc =(T0,T ′ 1,T2) un réaliseur étoile. Soit Gc le graphe plan
maximal associé à Rc. Soient u1,u2 ...,un−3 les sommets internes de Gc dans l’ordre
préfixe anti-trigonométrique de T0. Lenombred’enfants de uk dans T ′ 1 est égal au
nombre de sommets de la branche droite de son frère gauche dans T0.
Par lasuite, nous utiliserons cette propriété pour calculer le nombre de flips diagonaux
que l’on peut appliquer sur un sommet d’un réaliseur.
3.2.2 Séquence préfixe de flips
Définition 3.2.2. Soit Rc =(T0,T ′ 1,En−2) un réaliseur étoile. Une séquence préfixe
de flips, ou SPF, est une séquence de flips (f 2 1 (u1),f 2 1 (u2),...,f 2 1 (up)) qui peut être
u i+1
u it

3.2. Réaliseurs étoiles et séquences préfixes de flips 47
appliquée à Rc tel que pour tout i, j : ik+1,laliste d’adjacence de ui n’est pas
changée.
Donc dans une séquence préfixe, à chaque fois qu’un flip f 2 1 (uk) est effectué, le
nombre d’enfants de uk dans T1 est décrémenté et le nombre d’enfants de uk+1 dans T1
est incrémenté.
u 2
u 3
u 4
v 0
v 1

48 Chapitre 3. Bijection : réaliseurs ↔ paires de chemins de Dyck
La propriété 3.2.3 peut aussi s’exprimer de la manière suivante :
#f(uk) =|Ch ′ 1(uk)| +#f(uk−1) −|Ch1(uk)|.
Lemme 3.2.1. Soient R =(T0,T1,T2) un réaliseur et Rc =(T0,T ′ 1,En−2) son réaliseur
étoile associé. Il existe une unique SPF Scw qui transforme Rc en R.
Démonstration. Existence : Soit R un réaliseur. Considérons l’algorithme suivant
:
pour chaque sommet uk dans l’ordre préfixe anti-trigonométrique de T0 faire
tant que uk n’est pas un voisin de v2 faire
Effectuer le flip f 1 2 (P2(uk))
fin tant que
fin pour
On ne peut pas opérer un nombre infini de fois le flip f 1 2 (P2(uk)). Doncl’algorithme
termine. Quand l’algorithme termine, un réaliseur étoile est obtenu, puisque tous les
sommets internes de G sont voisins de v2. L’inverse d’un flip f 1 2 (P2(uk)) est un flip
f 2 1 (uk) (voir figure 31). La séquence inverse de la séquence de flips construite par le
précédent algorithme est une séquence préfixe. Donc, pour chaque réaliseur R, ilexiste
une séquence préfixe de flips qui transforme Rc en R.
Unicité :Deuxréaliseurs ayant des réaliseurs étoiles différents ne peuvent être identiques
puisqu’il n’ont pas le même arbre T0. SoientScw1 et Scw2 deux SPF. Soient R1
(resp. R2) leréaliseur obtenu en appliquant Scw1 (resp. Scw1) auréaliseur Rc. Soitk le
plus petit indice pour lequel les deux séquences n’appliquent pas le même nombre de
flips sur le sommet uk. Lapropriété 3.2.3 nous dit que |Ch1(uk)| dans R1 est différent
de |Ch1(uk)| dans R2. Doncsil’on applique deux SPF différentes sur un réaliseur étoile
Rc, onobtientdeux réaliseurs différents.
Considérons la séquence de flips (f 2 1 (u4),f 2 1 (u3)) (voir figure 44). Cette séquence
(qui n’est pas une SPF) appliquée sur le réaliseur étoile Rc de la figure 43, donne le
même réaliseur R, quecelui obtenu par la séquence préfixe de flips (0, 0, 1, 2). Bien
v 2
u2 u1 u 3
v 0
u 4
v 1
v 2
u 2
u 1
u 3
u 4
v v
1
2
R 2
2
c f )
) R
f
1 ( 4 u
v 0
( 1 3 u
Figure 44 – Séquence non-préfixe de flips (f 2 1 (u4),f 2 1 (u3)).
qu’il existe plusieurs séquences de flips transformant Rc en R, ilexisteune seule SPF
transformant Rc en R.
Propriété 3.2.4. Soient R =(T0,T1,T2) et R ′ =(T0,T1,T ′ 2) deux réaliseurs. Alors
T2 = T ′ 2.
u 2
u 1
u 3
u 4
v 0
v 1

3.3. Algorithmes de codage et décodage d’un réaliseur 49
Démonstration. Nous avons déjà vu que la propriété était vraie pour les réaliseurs
étoiles (voir propriété 3.2.1). Montrons par l’absurde qu’elle est vraie pour tous les réaliseurs.
Supposons donc que T2 = T ′ 2.Lesréaliseurs R et R ′ partagent le même réaliseur
étoile Rc,maisontdeux SPF différentes S et S ′ .Soituk,lepremier sommet dans l’ordre
anti-trigonométrique de T0 tel que #f(uk) = #f ′ (uk). D’après la propriété 3.2.2, ceci
implique |Ch1(uk)| dans R est différent de |Ch1(uk)| dans R ′ .Ceci est en contradiction
avec le fait que R et R ′ partagent le même arbre T1.
3.3 Algorithmes de codage et décodage d’un réaliseur
à l’aide de mots de Dyck
Dans cette section nous présentons une bijection entre les réaliseurs de taille n et les
paires de chemins de Dyck qui ne se coupent pas de longueur 2n − 6. Pourdémontrer
ce résultat nous présentons un algorithme qui code un réaliseur de taille n en une paire
de chemins de Dyck de longueur 2n − 6, puis un algorithme de décodage. Ces deux
algorithmes ont une complexité linéaire.
3.3.1 Algorithme de codage
Algorithme 1 algorithme de codage.
Construire le réaliseur étoile Rc associé à R
Coder l’arbre T0 avec un mot de Dyck g.
h ← g
pour chaque sommet uk dans l’ordre préfixe anti-trigonométrique de T0 faire
#f(uk) ←|Ch ′ 1(uk)|−|Ch1(uk)| +#f(uk−1)
Déplacer open(k, h) de #f(uk) rang vers la gauche h.
fin pour
Propriété 3.3.1. Dans l’algorithme 1, le nombre de flips appliqués sur le sommet uk
est inférieur ou égal au nombre de "0" consécutifs qui précèdent open(k, h) dans h.
Démonstration. Lorsqu’aucun flip n’a été effectué, h = g. Lenombre de "0" consécutifs
juste avant open(k, h) dans h est exactement le nombre de sommets de la branche droite
de son frère gauche. |Ch ′ 1(uk)| est égal au nombre de sommets de la branche droite de
son frère gauche (voir propriété 3.2.2). Comme #f(uk) ≤|Ch ′ 1(uk)|, lapropriété est
satisfaite.
Supposons maintenant que la propriété soit vérifiée pour i ≤ k − 1. Lenombre
de "0" consécutifs juste avant open(k, h) est |Ch ′ 1(uk)| +#f(uk−1). Comme #f(uk) ≤
|Ch ′ 1(uk)|+#f(uk−1) (voir propriété 3.2.3), la propriété est aussi vérifiée pour i = k.

50 Chapitre 3. Bijection : réaliseurs ↔ paires de chemins de Dyck
Lemme 3.3.1. L’algorithme 1 code un réaliseur R de taille n avec une paire de chemins
de Dyck ne se coupantpas de longueur 2n − 6. Deplus,cetalgorithme est linéaire.
Démonstration. On peut remarquer dans un premier temps que les mots g et h produits
par l’algorithme sont des mots de Dyck qui ne se coupent pas.
Montrons donc que l’algorithme définit une fonction injective. C’est à dire que
deux réaliseurs différents sont codés par deux paires de chemins différentes. Soit R =
(T0,T1,T2) et R ′ =(T ′ 0,T ′ 1,T ′ 2) deux réaliseurs différents. Soit (g, h) (resp. (g ′ ,h ′ ))la
paire de chemins de Dyck ne se coupant pas obtenue à partir de l’algorithme précédent
depuis le réaliseur R (resp. R ′ ). Si T0 = T ′ 0 alors g est différent de g ′ .SoitSf (resp.
S ′ f )laséquence préfixe de flips associée au réaliseur R (resp. R′ ). Soit k le premier
indice tel que #f(uk) = #f ′ (uk). Aprèslek-ième passage dans la boucle, open(k, h) =
open(k, h ′ ).Durantlereste de l’exécution de l’algorithme, open(k, h) et open(k, h ′ ) ne
seront pas changés, donc h = h ′ .Enconséquence, pour deux réaliseurs différents on
construit deux paires de chemins de Dyck ne se coupant pas différentes. L’algorithme 1
est un algorithme de codage des réaliseurs.
Complexité :pour la construction du réaliseur étoile, chaque sommet de T0 est
connecté avec une arête sortante dans T2 vers le sommet v2 et avec des arêtes entrantes
dans T1 depuis tous les sommets de la branche droite de son frère gauche. Une telle
construction peut être réalisée en temps linéaire. Le codage de l’arbre T0 s’effectue de
manière classique en temps linéaire. Le traitement de chaque sommet uk consiste à
calculer le nombre de flips sur le sommet uk et à intervertir deux lettres dans le mot
h. Ceci s’effectue en temps constant. Au final, l’algorithme est linéaire.
Pour coder le réaliseur R de la figure 43, il faut coder son réaliseur étoile Rc associé
ainsi que la séquence préfixe de flips : (0, 0, 1, 2). L’arbre T0 de R est celui représenté
par la figure 41. Le mot de Dyck qui lui est associé est g = 11010010. Pourcoderla
SPF, nous devons déplacer le troisième "1" d’un pas vers la gauche et le quatrième "1"
de deux pas vers la gauche pour obtenir le deuxième mot : h = 11101000. Leréaliseur
R de la figure 43 est donc codé par la paire de chemins de Dyck ne se coupant pas
(g, h).
3.3.2 Algorithme de décodage
Soit (g, h) une paire de chemins de Dyck ne se coupant pas.
Pour détailler l’algorithme de décodage d’un réaliseur, définissons au préalable
quelques fonctions élémentaires. La fonction concat(L1, L2) ajoute à la fin de la liste
L1 tous les éléments de la liste L2 et la liste résultante est renvoyée par cette fonction.
La fonction Split(L, i) supprime les i derniers éléments de la liste L et renvoie une liste
contenant ces i éléments. La procédure AddFirst(L, e) ajoute l’élément e au début de
la liste L. Naturellement, Del(L, i) supprime le i-ième élément de la liste L.
Lemme 3.3.2. L’algorithme 2 calcule en temps linéaire un réaliseur R de taille n à
partir d’une paire de chemins de Dyck ne se coupant pas de longueur 2n − 6.

3.4. Comportement asymptotique des réaliseurs 51
Algorithme 2 Algorithme de décodage.
Construire l’arbre T0 associé à g
Construire le réaliseur étoile Rc =(T0,T ′ 1,En−2)
R =(T0,T1,T2) ← Rc
pour chaque sommet uk dans l’ordre préfixe anti-trigonométrique de T0 faire
#f(uk) ← open(g, k) − open(h, k)
L ← Split(Ch1(uk), #f(uk))
Ch1(uk+1) ← Concat(Ch1(uk+1),L)
Del(Ch2(P2(uk)),uk)
AddF irst(Ch2(Ch1(uk+1, 0)),uk)
fin pour
Démonstration. Validité :Comme h ≥ g alors 0 ≤ #f(uk) ≤|Ch ′ 1(uk)| +#f(uk−1)
code un réaliseur étoile ainsi qu’une SPF valide. De plus, l’algorithme 2 construit le
réaliseur codé par l’algorithme 1.
Complexité :comme dans l’algorithme de codage, la construction du réaliseur étoile
s’effectue en temps linéaire. L’algorithme utilise des listes chaînées pour stocker la liste
des enfants de chaque sommet dans chacun des arbres du réaliseur. L’opération Split
s’effectue en O(|Ch1(uk)|) opérations élémentaires. Globalement, les opérations Split
s’effectue en O(m) =O(n) opérations élémentaires. Les autres instructions de la boucle
prennent O(1) opérations. Donc, globalement l’algorithme est linéaire.
Le théorème suivant découle directement des lemmes 3.3.1 et 3.3.2 :
Théorème 3.3.1. L’ensemble des réaliseurs de taille n est en bijection avec l’ensemble
des paires de chemins de Dyck qui ne se coupent pas de longueur 2n − 6.
Corollaire 3.3.1. Le nombre de réaliseurs de taille n est :
|Rn| = |Vn−3| = Cn−3Cn−1 − C 2 n−2.
3.4 Comportement asymptotique des réaliseurs
Théorème 3.4.1. Asymptotiquement, le nombre de réaliseurs de taille n est :
3
|Rn| ∼
512πn5
2 4n .
Démonstration. Le développement asymptotique des nombres de Catalan est le suivant
:
Cn = 4n
√ 1 −
πn3 9
145 1
+ + O( )
8n 128n2 n3 En utilisant cette expression de Cn dans la formule de |Rn|, onobtient le résultat.

52 Chapitre 3. Bijection : réaliseurs ↔ paires de chemins de Dyck
Le précédent théorème nous permet d’affirmer qu’il faut au moins 4n + O(log(n))
bits pour coder un réaliseur de taille n. Donc l’algorithme de codage présenté ici ainsi
que celui présenté dans [CGH + 98] sont optimaux en nombre de bits.
Le nombre de graphes plans maximaux de taille n étant le suivant [Tut62] :
Tn =
2(4n − 11)!
(n − 2)!(3n − 7)! ,
nous pouvons évaluer le nombre moyen de réaliseurs d’un graphe plan maximal :
|Rn|
|Tn|
= 3(n − 1)(3n − 7)!(2n − 4)!2
2n(2n − 5)(4n − 11)!(n − 1)! 4 =2(4−3log 2 (3))n+o(n) ≈ 2 0,759n .
Théorème 3.4.2. Le nombre moyen de nœuds internes ξi d’un arbre Ti d’un réaliseur
est :
ξi = n/2+o(n).
Démonstration. Comme nous l’avons vu, le chemin du bas code l’arbre T0. Deplus, le
nombre de nœuds internes de T0 est égal à n − k où k correspond au nombre de pics
du chemin du bas. Nous allons donc montrer que le nombre moyen de pics du chemin
du bas d’une paire de chemins de longueur 2n est n/2+o(n).
Soit Vn(k) l’ensemble des paires de chemins de Dyck de longueur 2n dont le premier
chemin possède k pics. Soit ¯ k le nombre moyen de pics du chemin du bas dans une
paire de chemins de Dyck :
¯k =
n−1
k=1 kVn(k)
Soit V ′
n l’ensemble des paires de chemins de Dyck dont le chemin du bas possède
entre n/2 − n3/4 et n/2+n3/4 pics.
En considérant séparément les éléments de V ′
n et ceux de Vn \ V ′
n, nouspouvons
borner ¯ k :
(n/2 − n 3/4 ′ |V
)
n|
|Vn| ≤ ¯ k ≤ (n/2+n 3/4 ′ |V
)
n|
|Vn| + n|Vn \ V ′
n|
|Vn|
Le nombre de chemins de Dyck de longueur 2n avec k pics est donné par les nombres
de Narayana [Nar59] u(n, k) :
u(n, k) = 1
n +1 n − 1
.
n +1 k n − k
Il est clair que le nombre de paires de chemins qui ne se coupent pas dont le premier
possède k pics est plus petit que le nombre de paires de chemins (se coupant ou pas)
dont le premier possède k pics :
Vn
Vn(k) ≤ u(n, k).Cn

3.4. Comportement asymptotique des réaliseurs 53
Comme
|V ′
n|
|Vn| ≥ u(n, n/2+n3/4 ).Cn
Vn
nous pouvons borner ¯ k de la manière suivante :
d’où ¯ k = n/2+o(n).
=1− O(n3/2 )
e 4√ n
(n/2 − n 3/4 )(1 − o(1)) ≤ ¯ k ≤ (n/2+n 3/4 )+no(1)
Théorème 3.4.3. Le nombre moyen de faces tricolores ∆ d’un réaliseur de taille n
est :
∆=n/2+o(n).
Démonstration. Utilisons le même raisonnement que pour la preuve du théorème 3.4.2,
non plus sur T0, maissurl’arbre Ti qui possède le moins de nœuds internes.
En effet, on peut coder un réaliseur avec 2 arbres. Ensuite, on indique quel est
l’arbre du réaliseur utilisé pour le codage (3 possibilités).
La même argumentation nous montre que le nombre moyen de nœuds internes, noté
ξmin, del’arbre Ti possédant le moins de nœuds internes parmi T0,T1 et T2 tend vers
n/2 +O( √ n). Delamême manière, le nombre moyen de nœuds internes de l’arbre
T ′
i possédant le moins de nœuds internes parmi T0,T1,T2, notéξmax, tendaussi vers
n/2+O( √ n).
D’après la formule du théorème de Wagner sur les réaliseurs (théorème 2.3.1), pour
n assez grand :
3ξmin − n ≥ ∆ ≥ 3ξmax − n
Donc
∆= n
+ o(n)
2
Corollaire 3.4.1. Le nombre moyen de cw-faces ∆+ et de ccw-faces ∆− d’un réaliseur
de taille n est :
∆+ = ∆− = n/4+o(n).
Une face strictement intérieure possède 8 colorations possibles (Voir figure 13). Le
nombre de faces intérieures d’un graphe plan maximal est 2n − 8. Pourn assez grand,
un quart de ces faces est tricolores et trois quarts est bicolore. Par symétrie, les deux
configurations tricolores sont équiprobables et les trois configurations bicolores sont
équiprobables. Donc, quand n tend vers l’infini, chaque probabilité d’une coloration de
face tend vers 1/8.

54 Chapitre 3. Bijection : réaliseurs ↔ paires de chemins de Dyck
3.5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons proposé un algorithme de codage des réaliseurs en 4n
bits s’appuyant sur une bijection. Cette bijection nous assure que le nombre de bits
utilisés pour le codage est optimal. Comme le nombre de graphes plans maximaux est
2 3,24n+o(n) ,nousendéduisons que le nombre moyen de réaliseurs est de 2 0,759n+o(n) .
Cette dernière observation exclut tout espoir d’obtenir un algorithme à rejet de génération
aléatoire de graphes plans maximaux utilisant les réaliseurs. En effet, avec un tel
algorithme il faudrait un nombre exponentiel de tirages pour générer un graphe plan
maximal.
Les symétries des réaliseurs peuvent être utilisées pour déduire des propriétés sur les
paires de chemins de Dyck qui ne se coupent pas. Par exemple, dans le codage proposé,
le nombre de contacts du premier chemin avec l’axe des abscisses correspond au degré
de la racine de l’arbre T0. Deplus, le nombre de pas montants (resp. descendants) où
les deux chemins sont en contact, correspond au degré de la racine de l’arbre T2 (resp.
T1). Par permutation circulaire des trois arbres, on peut obtenir un autre codage du
réaliseur. Dans ce nouveau codage, le degré de la racine de T2 est égale au nombre de
contacts avec l’axe des abscisses et le nombre de contacts entre deux pas descendants
correspond au degré de la racine T0. Doncces trois statistiques (le nombre de contacts
avec l’axe des abscisses, le nombre de superposition de pas montants et le nombre de
superposition des pas descendants) sur les paires de chemins de Dyck qui ne se coupent
pas suivent la même loi. Nous pensons que d’autres statistiques pourraient être mises
en relation en utilisant les transformations appropriées sur les réaliseurs.

Chapitre 4
Génération aléatoire de pastèques
Introduction
Le modèle des promeneurs méchants décrit la situation où p promeneurs avancent
simultanément d’un pas (Nord-Est ou Sud-Est) et ne partagent jamais la même position.
Ce problème a été introduit par Fisher [Fis84].
La trajectoire du i-ième promeneur est appelée i-ième branche de la pastèque. Dans
ce chapitre nous allons considérer uniquement le cas où les p promeneurs partent respectivement
des points (0, 0), (0, 2),...,(0, 2p − 2) et effectuent chacun l pas. L’ensemble
des p branches de p promeneurs donnés est appelé étoile. Lorsquelesp promeneurs
arrivent respectivement en (l, d), (l, d +2),...,(l, d +2p − 2) on parle alors de pastèque
("watermelon" enanglais) de longueur l et de déviation d. Uneétoile (ou pastèque) est
dite avec mur si aucune de ses branches ne traverse l’axe des abscisses. La figure 45
illustre ces définitions.
l = 8
d = 2
e 3 = 6
e 2 = 2
e 1 = -2
Figure 45 – (a) Une pastèque avec mur, 3 promeneurs ayant des trajectoires de longueur
8etdedéviation2. (b) Une configuration étoile sans mur, avec 3 promeneurs ayant
des trajectoires de longueur 6 et terminant respectivement aux ordonnées (−2, 2, 6).
Les pastèques de déviation nulle sont en bijection directe avec les chemins de Dyck
(ou chemins de Grand Dyck) qui ne se coupent pas. En effet, pour passer de p chemins
de Dyck (ou Grand Dyck) qui ne se coupent pas à une pastèque de déviation nulle, il
suffit de décaler le i-ième chemin de 2i pas vers le Nord.
55

56 Chapitre 4. Génération aléatoire de pastèques
De nombreux objets combinatoires sont en bijection avec certaines classes de pastèques.
Parmi ceux-ci, citons les permutations de Baxter [Vie81, DG96, DG98], les
chemins sous-diagonaux [GB86], certaines classes de tableaux de Young [GB89, DV86],
les pavages d’un hexagone avec des losanges [Wil], les couplages parfaits de graphes en
nids d’abeilles [Des93], les réaliseurs de graphes plans maximaux (voir chapitre 3), etc.
Remarquons également que de nombreux problèmes de la physique statistique peuvent
être formalisés en termes de promeneurs méchants [Fis84, EG95].
La génération aléatoire uniforme est un outil puissant permettant d’étudier certaines
propriétés d’objets combinatoires. De manière classique elle permet d’évaluer
par exemple la complexité moyenne d’un algorithme utilisant tel ou tel objet combinatoire.
Cela permet également d’émettre et de tester des conjectures. En physique, cela
permet également de valider certains modèles théoriques.
Pour qu’un algorithme de génération aléatoire soit utilisable, il est important qu’il
possède une bonne complexité afin de pouvoir générer des objets de très grande taille.
Pour la génération aléatoire de pastèques, plusieurs algorithmes existent déjà.
Remarquons qu’une pastèque à une branche avec mur (resp. sans mur) n’est autre
qu’un chemin de Dyck (resp. de Grand Dyck) et peut donc être généré en temps
linéaire grâce à l’algorithme présenté dans [AS80] (resp. [Wil77]). Les pastèques avec
mur à 2 branches de longueur 2l sans contrainte de déviation sont en bijection avec les
polyominos parallélogrammes de périmètre 2l+4.Deplus,il existe une bijection directe
entre de tels polyominos et des chemins de Dyck de longueur 2l +2.Lespastèques à
2branches sans mur peuvent donc être générées en temps linéaire. Pour des pastèques
ayant un nombre arbitraire de branches, il existe des algorithmes de génération aléatoire
ayant une complexité quadratique, si l’on considère la longueur des branches [Wil97,
Kra99].
En utilisant les formules d’énumération des étoiles (avec mur [EG95] ou sans
mur [KGV00, BE01]), nous proposons un autre algorithme de génération aléatoire de
pastèques à p branches pour une déviation fixée. Notre algorithme est exponentiel par
rapport au nombre de branches, mais linéaire par rapport à la longueur des branches.
Remarquons que si le nombre de branches n’est pas suffisamment petit (p >log(l)), les
algorithmes proposés par Wilson [Wil97] et Krattenthaler [Kra99] sont plus efficaces,
que celui présenté dans ce chapitre.
Remarquons qu’il peut être utile de générer des pastèques avec un petit nombre
de branches très longues. En particulier, cela permet de générer en temps linéaire des
réaliseurs et des permutations de Baxter ayant un nombre arbitraire de montées (i.e.
pour une permutation π, lenombred’indice i tel que π(i)

4.1. Algorithme de Génération aléatoire de pastèques 57
de génération de pastèques utilise O(p22pl) opérations arithmétiques.
En utilisant cet algorithme ainsi que la bijection présentée dans le chapitre 3 nous
avons pu générer de manière aléatoire des réaliseurs de taille n. Cesexpérimentations
nous permettent de conjecturer que la hauteur moyenne des arbres des réaliseurs tend
vers 0, 97 (n)+o( √ n) et que la variance du nombre de faces tricolores (resp. cw-faces)
d’un réaliseur tend vers n/8 (resp. 3n/8). Enfin, nous observons expérimentalement que
92% des triangles tricolores d’un réaliseur sont des faces.
La suite du chapitre est organisée de la manière suivante. La section 4.1 présente
les formules d’énumération des étoiles ainsi que les algorithmes de génération aléatoire
uniforme. La section 4.2 rappelle quelques bijections entre les pastèques et d’autres
objets combinatoires et quelques exemples d’objets aléatoires y sont présentés. Enfin,
la section 4.3 présente quelques expérimentations et conjectures sur la hauteur des
branches des pastèques ainsi que sur les réaliseurs.
4.1 Algorithme de Génération aléatoire de pastèques
4.1.1 Génération aléatoire de mots
Rappelons l’algorithme général présenté dans [Den96a].
Soit L un langage sur un alphabet A. SoitLnl’ensemble des mots de L de longueur
n. Pourunmotwdans L, une lettre a de A et un entier n, ondéfinit proban(w, a) de
la manière suivante :
proban(w, a) = Nombre de mots de Ln commençant par wa
Nombre de mots de Ln commençant par w .
En utilisant cette probabilité, il est possible de générer uniformément des mots de
Ln grâce à l’algorithme suivant :
Algorithme 3 Génération pas à pas de mots.
w ← ɛ
tant que |w|

58 Chapitre 4. Génération aléatoire de pastèques
d’être généré par l’algorithme 3 est :
proban(w) =
|mots commençant par w1| |mots commençant par w1,w2|
...
|mots commençant par ɛ| |mots commençant par w1|
... |mots commençant par w1w2 ...wn|
|mots commençant par w1w2 ...wn1|
= |mots commençant par w1w2 ...wn|
|mots commençant par ɛ|
=
1
|Ln|
Donc cet algorithme génère uniformément des mots de Ln. Ceprincipeadéjàété
utilisé pour générer des mots de Dyck [AS80], des mots de Fibonacci [PR00] ainsi que
des mots de n’importe quel fg-langage [Den96b]. Un langage L est un fg-langage si
l’ensemble des facteurs gauches de L est inclus dans L et que pour tout mot u ∈ L, il
existe un mot v ∈ L tel que u est un préfixe (ou facteur-gauche) propre de v (i.e. u = v
et u préfixe de v).
4.1.2 Génération de pastèques
Le principe de l’algorithme est de choisir simultanément, le pas (Nord-Est ou Sud-
Est) de chaque promeneur avec la probabilité appropriée. Soit W p
l l’ensemble des pastèques
à p chemins de longueur l. Unetransition tr est un vecteur de taille p composé
de valeurs de {+1, −1} indiquant pour chaque promeneur s’il doit effectuer un pas
Nord-Est ou un pas Sud-Est. Plus précisément, tri =+1indique que le i-ième promeneur
effectue un pas Nord-Est. Soit w un facteur gauche de longueur k d’une pastèque
(i.e. une étoile à p branches). On note w + tr l’étoile de longueur k +1où la i-ième
branche commence par la i-ième branche de w et se termine par un pas montant si
tri =+1et un pas descendant sinon.
Comme dans le cas de la génération de mots pas à pas, nous pouvons définir la
probabilité d’une transition tr par
p
Nombre de pastèques dans Wl commençant par (w + tr)
probal(w, tr) =
Nombre de pastèques dans W p
.
l commençant par w
Soit e = (e1,e2,...,ep) les ordonnées finales de chacun des promeneurs de w.
Le nombre de pastèques de longueur l commençant par w est exactement le nombre
d’étoiles de longueur l − k se terminant en (e1,e2,...,ep). Les deux théorèmes suivants
donnent l’énumération de ces étoiles avec ou sans mur.
Théorème 4.1.1. (Essam et Guttmann [EG95])
Soient e1

4.1. Algorithme de Génération aléatoire de pastèques 59
2 −(p 2)
1≤i≤p
(l − i + p)!
( l+ei l−ei )!( + p − 1)!
2 2
1≤i

60 Chapitre 4. Génération aléatoire de pastèques
Algorithme 5 Calcul de probal(e, k, tr) pour les pastèques à p branches sans mur.
prob ← 1
pour i =1à p − 1 faire
pour j = i +1à p faire
prob ← prob × ej+trj−(ei+tri)
ej−ei
fin pour
fin pour
pour i =1à p faire
si tri > 0 alors
prob ← prob × l−k−1−ei+p/2
2(l−k−i+p)
sinon
prob ← prob × l−k+1+ei
2(l−k−i+p)
fin si
fin pour
retourner prob
Algorithme 6 Choix d’une transition.
h ← un nombre aléatoire entre 0 et 1.
tr ← 1
p ← probal(e, k, tr)
tant que p

4.2. Applications à d’autres objets combinatoires 61
Figure 46 – Une pastèque aléatoire à 8 branches de longueur 200 sans mur.
Figure 47 – Une pastèque aléatoire à 8 branches de longueur 200 avec mur.
Les algorithmes présentés ici ont été implémentés 1 en C++ en utilisant la bibliothèque
Gnu-Multiple-Precision [Gra96]. La figure 48 représente le temps de calcul utilisé
pour générer des pastèques sans mur. Nous pouvons vérifier que le modèle de complexité
considéré (nombre d’opérations arithmétiques) pour évaluer la complexité effective de
l’algorithme est satisfaisant.
4.2 Applications à d’autres objets combinatoires
4.2.1 Polyominos parallélogrammes
Un polyomino est un ensemble fini et connexe de carrés unitaires sans point séparateur
et défini à translation prêt. Un polyomino est horizontalement convexe (resp.
verticalement convexe)sitouteslescolonnes (resp. lignes) sont connexes. Un polyomino
est convexe s’il est à la fois verticalement convexe et horizontalement convexe. Un polyomino
parallélogramme est un polyomino défini par 2 chemins composés uniquement
de pas Nord et de pas Est. Ces chemins sont disjoints à l’exception de leurs extrémités.
Ces chemins peuvent être obtenus à partir d’une pastèque à deux branches en ajoutant
1 Une implémentation est disponible à l’adresse suivante :
http : //www.labri.fr/ ∼ bonichon/waterlon

62 Chapitre 4. Génération aléatoire de pastèques
Temps d'exécution (s)
25000
20000
15000
10000
5000
0
0 200000 400000 600000 800000 100000
0
Longueur des branches
120000
0
Figure 48 – Complexité des algorithmes de génération. (Test réalisé sur un Pentium
166)
un pas au début et à la fin de chaque chemin et en effectuant une rotation de π/4 dans
le sens trigonométrique (voir figure 49).
Figure 49 – Passage de la pastèque à 2 branches à un polyomino parallélogramme.
Les polyominos parallélogrammes de périmètre 2n peuvent être générés uniformément
en temps linéaire en utilisant une bijection avec les mots de Dyck de longueur
2n − 2 [DV84].
La largeur d’un polyomino est le nombre de colonnes du polyomino. En utilisant
l’algorithme de génération de pastèques à 2 branches sans mur, on obtient le corollaire
suivant :
Corollaire 4.2.1. Un polyomino parallélogramme de périmètre et largeur fixés peut
être généré uniformément et en temps linéaire.
Deux polyominos parallélogrammes sont jumeaux si le bord supérieur du premier
correspond au bord inférieur du second. k polyominos parallélogrammes p1,p2,...,pk
sont dit polyominos jumeaux si pour tout i

4.2. Applications à d’autres objets combinatoires 63
Un exemple de 7 polyominos jumeaux de périmètre 404 et de largeur 101 est donné
dans la figure 50. Ces polyominos jumeaux sont ceux correspondant aux pastèques de
la figure 46.
Figure 50 – 7 polyominos jumeaux.
4.2.2 Chemins planaires sous-diagonaux
Les chemins considérés dans cette sous-section sont les chemins qui partent de
l’origine et qui sont composés uniquement de pas Nord, Sud, Est et Ouest. On appelle
boucle un chemin qui retourne à l’origine. Un tel chemin est dit sous-diagonale s’il
reste dans le huitième de plan situé au-dessus de l’axe des abscisses et de la première
diagonale.
Gouyou-Beauchamps [GB86] a montré que les chemins sous-diagonaux de longueur
n arrivant au point (x, y) étaient en bijection avec les pastèques à 2 branches avec mur
arrivant respectivement aux points (n, y) et (n, y + x).
Etablir cette bijection est relativement simple : lorsque les deux promeneurs
montent, le chemin effectue un pas Est, lorsque les deux promeneurs descendent, le
chemin effectue un pas Ouest, lorsque les deux promeneurs s’éloignent l’un de l’autre,
le chemin effectue un pas Nord et enfin lorsque les deux promeneurs se rapprochent
alors le chemin effectue un pas Sud.
Corollaire 4.2.3. On peut générer uniformément des chemins sous-diagonaux selon
leurs longueurs et les coordonnées de leur point d’arrivée en temps linéaire.

64 Chapitre 4. Génération aléatoire de pastèques
La figure 51 montre un exemple de boucle sous-diagonale de longueur 10 5 générée
aléatoirement.
Figure 51 – Une boucle sous-diagonale de longueur 10 5 générée aléatoirement.
4.2.3 Réaliseurs aléatoires
Comme nous l’avons vu dans le chapitre 3, il existe une bijection entre les réaliseurs
de taille n et les pastèques à deux branches de longueur 2n − 6 avec mur. De plus,
le réaliseur correspondant à une telle pastèque peut être calculé en temps linéaire. En
conséquence, on peut générer de manière aléatoire et uniforme un réaliseur en temps
linéaire.
La figure 52 montre un réaliseur aléatoire de taille 100. L’algorithme utilisé pour
dessiner le réaliseur est celui proposé par Schnyder [Sch90].
4.2.4 Arbres binaires jumeaux et permutations de Baxter
Soit Treen l’ensemble des arbres binaires à n sommets. Classiquement, un arbre
binaire t est encodé par un mot de Dyck. De manière classique, un arbre binaire t peut
être encodé par un mot de Dyck, défini récursivement de la manière suivante :
code(t) =1code(sous − arbre gauche(t)) 0 code(sous − arbredroit(t))
code(∅) =ɛ o ∅ dsigne l ′ arbre binaire de Tree0.
Définition 4.2.1. L’ensemble des arbres binaires jumeaux Twinn ⊆ Treen × Treen
est défini de la manière suivante :
Twinn = {(a1,a2) :a1,a2 ∈ Treenet Θ(code(a1)) = Θ c (code(a2)},

4.2. Applications à d’autres objets combinatoires 65
Figure 52 – Réaliseur aléatoire de taille 100.
où Θ consiste à étiqueter les feuilles gauches (resp. droite) d’un arbre binaire complété
par la lettre 0 (resp. la lettre 1) à l’exception des deux feuilles extrêmes et Θ c est
identique à Θ àladifférenceprès que les lettres 0 et 1 sont inversées.
Théorème 4.2.1. (Dulucq et Guibert [DG98]) Ilexiste une bijection entre les
arbres binaires jumeaux de taille n et les pastèques sans mur à 3 branches de longueur
n.
Corollaire 4.2.4. Les arbres binaires jumeaux à n sommets et r arêtes droites dans le
premier arbre peuvent être générés de manière aléatoire et uniforme en temps linéaire.
Soit Sn l’ensemble des nombres entiers compris entre 1 et n.
Définition 4.2.2. Une permutation π de Sn est une permutation de Baxter si et seulement
si, pour tout entier i ∈ [n − 1], π peut être factorisée de manière unique par
π = π ′ .i. < π . > π .i +1.π ′′ ou π = π ′ .i. > π . < π .i +1.π ′′ ,
où toutes les lettres de < π (resp. > π)sontpluspetites que i (resp. plus grand que i+1).
Le nombre de montées d’une permutation π est égal au nombre d’indices i tel que
π(i)

66 Chapitre 4. Génération aléatoire de pastèques
4.3 Expérimentations
4.3.1 Hauteur des branches dans les pastèques avec mur
La hauteur d’un promeneur désigne, la hauteur maximale qu’il atteint lors de sa
marche. La hauteur d’une pastèque est définie naturellement comme la hauteur de son
dernier promeneur.
Si l’on prend l’exemple de la pastèque de la figure 45 (a), son deuxième promeneur
est de hauteur 5 et la pastèque est de hauteur 7.
On note ¯ Hw(l, i, p) (resp. ¯ Hnw(l, i, p)), avec i ≤ p, lahauteurmoyenne du i-ième
promeneur parmi l’ensemble des pastèques à p branches de longueur l avec mur (resp.
sans mur). La hauteur moyenne des pastèques à p branches de longueur l avec mur (resp.
sans mur) sera notée ¯ Hw(l, p) (resp. ¯ Hnw(l, p)) àlaplace¯ Hw(l, p, p) (resp. ¯ Hnw(l, p, p)).
Théorème 4.3.1. (De Bruijn, Knuth et Rice 1972) [DKR72]
La hauteur moyenne d’un chemin de Dyck de longueur l est :
¯Hw(l,
πl
1) = + O(1).
2
Notre but est de généraliser ce résultat aux pastèques. Pour cela, nous avons effectué
des expérimentations sur la hauteur des pastèques à l’aide de l’algorithme de génération
présenté précédemment.
Le résultat de ces expérimentations est présenté dans les Figures 53 et 54.
Hw(p,n)²
25000
20000
15000
10000
5000
0
0 500 1000 1500 2000
Longueur des branches
Figure 53 – Hauteur moyenne des pastèques avec mur en fonction du nombre de
branches et de la longueur des branches.
Les valeurs présentées dans les Figures 53, 54 et 55 ont été obtenues à partir de la
génération de pastèques de longueur i ∗ 100 avec i =1, 2,...,20. Pourchacune de ces
tailles, 100 pastèques ont été générées.
Résultat Expérimental 4.3.1. La hauteur moyenne d’une pastèque à p branches
avec mur est expérimentalement :
¯Hw(p, p, l) ≈ (1, 67p − 0, 06)l + o( √ l).
p=1
p=2
p=3
p=4
p=5
p=6
p=7

4.3. Expérimentations 67
Hnw(n,p)
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0 500 1000 1500 2000
Longueur des branches
Figure 54 – Hauteur moyenne des pastèques sans mur en fonction du nombre de
branches et de la longueur des branches.
Résultat Expérimental 4.3.2. La hauteur moyenne d’une pastèque à p branches
sans mur est expérimentalement :
¯Hnw(p, p, l) ≈ (0, 82p − 0, 46)l + o( √ l).
Résultat Expérimental 4.3.3. La hauteur moyenne de la première branche d’une
pastèque à p branches avec mur est :
¯Hnw(1,p,l) ≈ a(p) √ l + o( √ l),
avec
a(p) ≈ p −0,36
π
2 .
La figure 55 représente les valeurs expérimentales de a(p).
a(p)
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
p=1
p=2
p=3
p=4
p=5
p=6
p=7
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p
Figure 55 – a(p).

68 Chapitre 4. Génération aléatoire de pastèques
4.3.2 Réaliseurs aléatoires
L’efficacité de certains algorithmes utilisant les réaliseurs [CLL01, BLM02a, LLY02]
dépend du nombre de leurs faces tricolores et donc du nombre de feuilles des arbres du
réaliseur. Comme nous l’avons vu, le nombre moyen de faces tricolores d’un réaliseur
tend vers n + o(n). Lafigure 56 confirme bien ce résultat. On peut également observer
2
que presque tous les triangles tricolores sont des faces :
nombre moyen sur 50 tirages
300
250
200
150
100
50
∆
triangles tricolores
≈ 92%.
0
0 200 400 600
Nombre de sommets
Triangles tricolores
Faces tricolores
Figure 56 – Nombre de faces tricolores et nombre de triangles tricolores.
Nous avons également déjà vu que ∆+ = ∆− = n
4
+ o(n) (voir corollaire 3.4.1). Les
expérimentations sur les réaliseurs aléatoires nous permettent de proposer la conjecture
suivante :
Conjecture 4.3.1.
Var(∆+) = Var(∆−) = n
+ o(n) (1)
8
CoVar(∆+, ∆−) = n
+ o(n) (2)
16
Var(∆) = 3n
+ o(n). (3)
8
Remarque : la troisième formule de la conjecture se déduit des 2 premières car
Var(X + Y )=Var(X)+Var(Y )+2CoV ar(X, Y ).
Intéressons nous maintenant à la profondeur d’un arbre d’un réaliseur aléatoire.
Comme nous l’avons remarqué, il y a une bijection directe entre les paires de chemins
de Dyck ne se coupant pas et les pastèques à 2 branches avec mur. De plus la hauteur
de la premier branche de la pastèque correspond exactement à la hauteur du premier
chemin de Dyck.

4.4. Conclusion 69
Comme nous l’avons vu dans le chapitre 3, la hauteur de la première branche d’une
pastèque à 2 branches est exactement la profondeur de l’arbre T0 du réaliseur. Pour des
raisons de symétrie, les trois arbres ont la même profondeur. La figure 55 nous donne
donc la profondeur moyenne d’un arbre d’un réaliseur.
Résultat Expérimental 4.3.4. La profondeur moyenne d’un arbre d’un réaliseur de
taille n est :
0, 97 √ n + o( (n)).
4.4 Conclusion
Nous venons de voir un algorithme qui construit aléatoirement et uniformément des
pastèques. Cet algorithme est efficace pour p petit (complexité en O((p 2 × 2 p )l)), et
particulièrement pour les exemples considérés (p =2et p =3). Nous pensons que cet
algorithme pourrait être amélioré pour atteindre une complexité en O(p × 2 p )l), enutilisant
d’un parcours de type "Gray code" [Gil58] des transitions. Dans un tel parcours,
on passe d’une transition à une autre, en changeant une seule case du vecteur de transition.
Ce parcours permettrait de calculer rapidement la probabilité d’une transition
en fonction de la probabilité de la précédente. Toutefois comme l’algorithme présenté
n’est efficace que pour p petit, il nous parait préférable de présenter un algorithme
théoriquement moins efficace, mais plus facile à implémenter et à comprendre.
Les algorithmes présentés ici génèrent des pastèques. Avec des modifications mineures,
ils peuvent être également utilisés pour générer des étoiles dont les altitudes
d’arrivées sont fixées.
Si au contraire, on souhaite générer une pastèque de déviation quelconque (par
exemple pour générer une permutation de Baxter sans contrainte sur le nombre de
montées) à l’aide des algorithmes présentés ici, il "suffit" de choisir avec la probabilité
appropriée la déviation de la pastèque. Ceci pourrait être fait en utilisant des techniques
similaires à celles proposées par Alonso [AS95].

70 Chapitre 4. Génération aléatoire de pastèques

Deuxième partie
Utilisations des réaliseurs pour le
dessin et le codage
71

Chapitre 5
Un algorithme de dessin lignes brisées
basé sur les réaliseurs
Introduction
De part le nombre et la variété de ses applications, le sujet du dessin de graphe a reçu
une intense attention. Ces applications peuvent être regroupées en deux catégories :
la représentation d’information (Modèle Conceptuel des Données, interactions entre
gènes, Hiérarchie des classes, structure d’un site web, carte mentale, etc.) et le routage
de circuit électronique. Dans le premier cas, le dessin doit faire ressortir de la manière
la plus claire l’information contenue dans le graphe. Dans le deuxième cas, le dessin
doit respecter les contraintes technologiques et la surface du dessin doit être la plus
faible possible afin d’obtenir des circuits les moins coûteux possibles.
Ici nous nous intéressons aux dessins planaires de graphes planaires. Dans de tels
dessins, les arêtes ne se coupent pas. Rappelons que si le graphe n’est pas planaire on
peut se ramener au cas du dessin de graphe planaire, soit en partitionnant les arêtes
en groupe de graphes planaires, soit en remplaçant chaque intersection d’arête par un
sommet de degré 4 qui ne sera pas affiché.
Bien qu’il existe de nombreux algorithmes de dessin de graphes dans l’espace, nous
nous intéressons ici uniquement aux dessins de graphes dans le plan. Plus précisément
aux dessins plans de graphes planaires. On entend par dessin plan, un dessin sans
croisement.
Suivant le type d’applications et le type de graphes considérés, plusieurs modèles
de dessins sont utilisés. Les sommets sont représentés soit par des points du plan
(généralement des points de coordonnées entières), soit par des rectangles. Les arêtes
quant à elles sont représentées par des lignes droites ou par des lignes brisées. Dans le
cas où les sommets sont représentés par des points et les arêtes par des lignes droites,
on parle de dessin lignes droites ("straight-line drawing" en anglais). Dans le cas où les
sommets sont représentés par des points et les arêtes par des lignes brisées, on parle
de dessin lignes brisées ("polyline drawing" en anglais). La figure 57 montre quelques
73

74 Chapitre 5. Dessin lignes brisées d’un réaliseur
exemples de dessins lignes brisées.
13
9
7
12
3
15
2
11
14
5
1
10
0
8
4
6
7
9
2
8
11 4
1
10
15
14
5
0
13
3
12
6
12
3
7
13
6
15 5
9 1
10
8
14 2
Figure 57 – Différents dessins lignes brisées d’un même graphe. De gauche à droite :
"Mixed-Model" [GM98], "quasi-orthogonal", lignes droites [Sch90].
On parlera de dessins orthogonaux lorsque les arêtes sont représentées par des séquences
de lignes horizontales et verticales (voir figure 58)
7
9
11
2
4
8
1
10
15
5
0
13
14
3
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5
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1
0
6 7
12 13
14
15
3
10
11
8
2
9
Figure 58 – Différents dessins orthogonaux d’un même graphe. De gauche à droite :
Giotto, visibilité, dessin de 2-visibilité, Kandinsky.
Dans ce chapitre nous nous intéressons aux dessins lignes brisées.
Les critères de qualité classiquement considérés pour ce type de dessins sont :
–Taille de la grille (en effet, une grille petite assure, pour une surface d’affichage
fixée une distance minimale entre les sommets).
–Résolution angulaire, qui désigne l’angle minimal entre deux arêtes adjacentes.
Si cette valeur est trop petite, il devient difficile de distinguer deux arêtes au
voisinage d’un sommet.
–Nombre de brisures. Plus il y a de brisures, plus le dessin parait compliqué. De
plus, si une arête possède de nombreuses brisures, il devient difficile d’identifier
ses extrémités.
–Complexité de l’algorithme de dessin. La plupart des algorithmes de dessin ont
une complexité linéaire.
De manière générale, il est difficile d’optimiser simultanément tous ces critères.
Dans [GM98] un bon compromis est obtenu entre la taille de la grille, le nombre de
8
4
11
7
13
3
6
12
0
14
15
5
9
1
11 4
10
2
8
4
11
7
13
3
0
6
12
14
15
5
0
9
1
10
2

5.1. Dessin lignes brisées d’un graphe planaire 75
brisures et la résolution angulaire. Plus précisément les dessins utilisent une grille de
(2n−5)×( 3 7 n− ),auplus5n−15 brisures (chaque arête est brisée au plus 3 fois) et une
2 2
2
résolution angulaire supérieure à .Dans [CDGK99] les dessins obtenus utilisent
degmax une grille de 30n × 15n, auplusune brisure par arête et une résolution angulaire de
Θ(1/ degmax). Ici notre but est d’obtenir des dessins sur une grille de taille optimale
avec un faible nombre de brisures. Schnyder [Sch90] a montré qu’il est possible de dessiner
un graphe plan à l’aide de lignes droites sur une grille de (n − 2) × (n − 2). De
plus, De Fraysseix, Pach et Pollack [FPP90] ont montré que certains graphes de taille n
nécessitent une grille (⌊ 2(n−1)
⌋)×(⌊ 3
2(n−1)
⌋) pour être dessinés. Par ailleurs, Chrobak et
3
Nakano [CN95] ont proposé un algorithme donnant des dessins lignes droites de largeur
optimale et de hauteur au plus 4⌊ 2n−1⌋−1.
Nous présentons ici un algorithme s’ap-
3
puyant sur les réaliseurs produisant des dessins lignes brisées sur une grille de surface
optimale ( 4(n−1)2
)etdelargeuroptimale (⌊ 9
2(n−1)
⌋) oùchaquearête est brisée au plus
3
une fois et le nombre total de brisures est au plus n − 2. Ces dessins étant obtenus
en temps linéaire, l’algorithme possède un intérêt théorique et pratique. La suite du
chapitre est organisée de la manière suivante. La section 5.1 donne de manière formelle
les définitions de dessins lignes brisées et donne une borne inférieure sur la taille de
la grille. La section 5.2 présente le principe de dessin lignes brisées d’un réaliseur. La
section 5.3 introduit la notion de stratification-faible1 d’un réaliseur qui est un ensemble
de contraintes sur les ordonnées des sommets d’un réaliseur afin de pouvoir le dessiner.
La section 5.4 donne l’algorithme de dessin d’un réaliseur stratifié. Enfin, la section 5.5
présente un algorithme linéaire permettant de calculer une stratification-faible d’un
réaliseur.
5.1 Dessin lignes brisées d’un graphe planaire
Un dessin lignes brisées d’un graphe G est un dessin de G où les sommets sont
représentés par des points ayant des coordonnées entières et les arêtes par des lignes
brisées, où les brisures ont aussi des coordonnées entières. Un dessin planaire lignes
brisées est un dessin lignes brisées où les arêtes ne se croisent pas. La largeur d’un dessin
lignes brisées est définie par la différence entre la plus petite abscisse d’un sommet ou
d’une brisure et la plus grande abscisse d’un sommet ou d’une brisure. De manière
similaire la hauteur d’un dessin lignes brisées est donnée par la différence entre la plus
petite ordonnée d’un sommet ou d’une brisure et la plus grand ordonnée d’un sommet
ou d’une brisure.
Par exemple la taille de la grille du premier dessin de la figure 57 est 9 × 12. Ce
dessin possède également 21 brisures et les arêtes sont brisées au plus 2 fois.
La propriété suivante a été prouvé pour les dessins en lignes droites [FPP90], utilisant
des triangles emboîtés (cf. figure 59). Utilisant la même construction, le résultat
1 Dans [BSM00] une version plus restrictive de nivelage, appelé stratification, aété définie. Cette
définition plus restrictive, fut introduite pour calculer des dessins 2-visibilité. La stratification-faible
étant moins contraignante, elle autorise des nivelages moins hauts et donc des dessins plus compacts.

76 Chapitre 5. Dessin lignes brisées d’un réaliseur
s’étend directement aux dessins lignes brisées.
Propriété 5.1.1. Pour chaque n ≥ 3, ilexiste un graphe plan à n sommets Hn dont
la largeur et la hauteur de la grille de chacun de ses dessins planaires lignes brisées est
d’au moins ⌊ 2(n−1)
⌋ et la surface de la grille est d’au moins 3
4(n−1)2
. 9
Démonstration. Pour des raisons de symétrie, on peut considérer uniquement la largeur
du dessin. Hn est construit récursivement. H3 étant le triangle v1,v2,v3 et pour n ≥ 4,
Hn est obtenu en ajoutant le sommet vn dans la face extérieure de Hn−1 et en le
connectant aux sommets vn−1,vn−2 et vn−3. Decette manière la face extérieure de Hn
est constituée des sommets vn−2,vn−1 et vn.
Remarquons tout d’abord que pour n =3, 4, 5, undessin lignes brisées de Hn utilise
respectivement des grilles de largeur au moins 1, 2 et 2, cequivaut bien ⌊ 2(n−1)
⌋. Par
3
induction, on observe qu’il faut au moins deux colonnes de plus pour dessiner Hn que
pour dessiner Hn−3.
v n
v n-3
H n-3
v n-1
v n-4
v n-5
H n
v n-2
Figure 59 – Constructions des graphes Hn.
5.2 Principe de dessin lignes brisées d’un réaliseur
Etant donné G un graphe plan maximal et R =(T0,T1,T2) un de ses réaliseurs, on
calcule un dessin lignes brisées de G.
Après avoir choisi un arbre de R, disonsT0, une colonne est allouée pour chaque
feuille u de T0 dans l’ordre d’apparition dans un parcours préfixe anti-trigonométrique.
On note x(u) le numéro de cette colonne. Chaque nœud interne de T0 est placé sur la
colonne d’une des feuilles de son sous-arbre.
Maintenant, il reste à calculer l’ordonnée y(u) de chaque sommet u de G. Pourcela,
nous définissons d’abord quelques règles sur la position des brisures des arêtes :
–Siune brisure est nécessaire pour l’arête (u, P0(u)), elle aura les coordonnées
suivantes : (x(u),y(P0(u)) + 1).
–Siune brisure est nécessaire pour une arête (u, P1(u)), elle aura les coordonnées
suivantes : (x(first_leaf(u)),y(u)), oùfirst_leaf(u) désigne la première feuille
du sous-arbre issu de u.

5.2. Principe de dessin lignes brisées d’un réaliseur 77
–Demanière similaire, si une brisure est nécessaire pour une arête (u, P2(u)), elle
aura les coordonnées suivantes : (x(last_leaf(u)),y(u)), oùlast_leaf(u) désigne
la dernière feuille du sous-arbre issu de u.
La figure 60 illustre la manière dont les arêtes de différents types sont dessinées.
Figure 60 – Dessins d’une arête.
Pour un dessin planaire lignes brisées, les arêtes ne doivent pas se chevaucher,
même partiellement. Pour éviter cela, d’autres règles sont nécessaires. La configuration
gauche de la figure 61 illustre le cas où deux arêtes se chevauchent. Nous proposons
une nouvelle règle concernant l’abscisse des sommets : si v = P2(u) et y(v) =y(u)
alors x(v) =x(last_leaf(v)) sinon x(v) =x(first_leaf(v)). Comme on le voit sur
la configuration droite de la figure 61, lorsqu’on applique cette règle le chevauchement
disparaît.
Figure 61 – Configuration de chevauchement d’arête et configuration corrigée.
Finalement, nous considérons les arêtes externes (v1,v0) et (v2,v0) comme si elles
appartenaient à l’arbre T0 et que l’arête externe (v1,v2) appartient à l’arbre T2.
Ayant défini la méthode de dessin d’un réaliseur (et donc d’un graphe plan maximal)
nous proposons un ensemble de contraintes sur les ordonnées des sommets qui assure
qu’un tel type de dessin est possible. Par la suite, nous montrerons que des ordonnées
qui vérifient ces contraintes peuvent être calculées en temps linéaire pour n’importe
quel réaliseur. De plus, nous montrerons que les dessins obtenus ont une taille de grille
optimale.

78 Chapitre 5. Dessin lignes brisées d’un réaliseur
5.3 Stratification-faible d’un réaliseur
Un nivelage d’un graphe G est une application de l’ensemble des sommets de G vers
l’ensemble des entiers positifs. Comme nous le verrons, un nivelage peut être utilisé pour
définir l’ordonnée des sommets dans le plan. Nous définissons un nivelage particulier
d’un réaliseur, qui permet d’obtenir des dessins lignes brisées de taille optimale.
Définition 5.3.1. Soient G un graphe plan maximal, R =(T0,T1,T2) un réaliseur de
G et L un nivelage de G. Lmax1(u) et Lmax2(u) sont respectivement définis de la manière
suivante : Lmax1(u) =max(L(u ′ ),u ′ ∈ Ch1(u)) et Lmax2(u) =max(L(u ′ ),u ′ ∈ Ch2(u)).
On dit que L est une stratification-faible de R si pour tout sommet interne u de G, les
conditions suivantes sont vérifiées :
1. L(v0) =0
2. L(P0(u))

5.4. Dessin lignes brisées d’une stratification-faible d’un réaliseur 79
5.4 Dessin lignes brisées d’une stratification-faible
d’un réaliseur
Pour chaque sommet v, onnotexL(v) (resp. xR(v)) l’abscisse de la feuille la plus à
gauche (resp. la plus à droite) du sous-arbre issu de v.
L’algorithme suivant calcule les abscisses des sommets internes ainsi que les coordonnées
des brisures des arêtes à partir d’une stratification-faible d’un réaliseur. Les
coordonnées ainsi calculées donnent un dessin planaire lignes brisées du graphe.
Algorithme 7 Dessin lignes brisées.
pour chaque sommet u de G, y(u) ← L(u)
Associer à chaque feuille de T0 une colonne de la gauche vers la droite.
pour chaque nœud interne u de T0 faire
si L(u) =Lmax2(u) alors
x(u) ← xR(u)
sinon
x(u) ← xL(u)
fin si
pour chaque enfant v de u dans T0 faire
ajouter la brisure (x(v),y(u)+1)à l’arête (u, v) si nécessaire.
fin pour
ajouter la brisure (xL(u),y(u)) à l’arête (v, P2(u)) si nécessaire.
ajouter la brisure (xR(u),y(u)) à l’arête (v, P1(u)) si nécessaire.
fin pour
ajouter la brisure xL(v0),y(v0)+1à l’arête (v0,v1)
Lemme 5.4.1. Soit G un graphe plan maximal possédant n sommets. Soit L une
stratification-faible d’un réaliseur R =(T0,T1,T2) de G. Soitp le nombre de feuilles de
T0 et k la hauteur de L. L’algorithme 7 calcule un dessin planaire lignes brisées de G
en temps linéaire sur une grille (p +1)× (k). Deplus,le dessin obtenu possède au plus
n − 2 brisures et chaque arête possède au plus une brisure.
Démonstration. Les conditions 5 et 6 de la définition 5.3.1 assurent que pour chaque
sommet u, onpeut dessiner les arêtes vers P1(u) et P2(u) sans risquer de croisement.
La condition 7 assure que u ne peut pas avoir simultanément deux enfants, un dans
T1 et un dans T2, sur son niveau. Donc si le sommet u possède un enfant v dans T2 sur
son niveau, l’abscisse de u est fixée à xR(u). Ceci permet d’éviter un chevauchement
entre l’arête (u, P1(u)) et l’arête (v, u) (voir figure 61). Dans le cas ou u ne possède pas
d’enfant dans T2 sur son niveau, l’abscisse de u est fixée à xL(u) (même si u ne possède
pas d’enfant dans T1). Ceci permet d’éviter un éventuel chevauchement entre l’arête
(u, P2) et une arête entre u et un de ses enfants dans T1 (voir figure 60).

80 Chapitre 5. Dessin lignes brisées d’un réaliseur
La condition 8 assure que l’arête (v1,v2) peut être dessinée en ligne droite. Puisque
v0 ne possède pas d’enfant dans T2, x(v0) =xL(v0) et donc l’arête (v0,v2) peut aussi
être dessinée en ligne droite.
Maintenant, regardons quelles sont les arêtes pouvant être dessinées en ligne droite.
–Siuest une feuille de T0, alorsles arêtes (u, P1(u)) et (u, P2(u)) sont dessinées
en ligne droite.
–SiIfx(u) =xL(u) (resp. x(u) =xR(u)) alorsl’arête (u, P2(u)) (resp. (u, P1(u)))
et l’arête partant de u vers le premier enfant de u (resp. dernier enfant de u) dans
T0 sont dessinées en ligne droite.
Toutes les autres arêtes possèdent exactement une brisure. Comme nous l’avons vue
dans la section précédente, le choix des coordonnées des brisures assure un dessin lignes
brisées sans chevauchement ni croisement.
Le nombre d’arêtes brisées partant d’un sommet u et allant vers un de ses enfants
dans T0 ou vers P1(u) ou vers P2(u) est borné par le nombre de ses enfants dans T0
(au moins deux des arêtes ainsi considérées sont des lignes droites). Donc le nombre
de brisures sur les arêtes internes est borné par le nombre d’arêtes dans T0 : n − 3.
De plus, les arêtes (v0,v1) et (v1,v2) sont des lignes droites et l’arête (v0,v2) peut être
brisée. Donc au final le nombre de brisures nécessaires est au plus de n − 2.
5.5 Algorithme de calcul d’une stratification-faible
d’un réaliseur
Dans cette section, nous présentons un algorithme qui construit une stratificationfaible
d’un réaliseur. Dans un premier temps, tous les sommets de G sont placés sur le
niveau 0. Ensuite, l’algorithme traite chaque sommet interne de G dans l’ordre postfixe
trigonométrique de T2. Letraitement d’un sommet v est le suivant : on applique de
manière séquentielle des règles de réévaluation des niveaux (voir algorithme 8).
On peut remarquer que ces règles ne font qu’augmenter le niveau des sommets v,
P1(v) et P2(v). Quand les règles 1 et 2 ont été appliquées sur le sommet v, leniveau
de v restera inchangé jusqu’à la fin de l’exécution de l’algorithme. On dit donc qu’une
fois appliquées les règles 1 et 2 sur le sommet v, v devient fixé.
Lemme 5.5.1. Soit G un graphe plan maximal. Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur de
G. L’algorithme 8 calcule une stratification-faible de R en temps linéaire.
Démonstration. Le sommet v0 est fixé sur le niveau 0 donc la condition 1 de la définition
5.3.1 est vérifiée. Les sommets sont fixés dans l’ordre postfixe trigonométrique de
T2. Donc un sommet u est traité quand ses enfants dans T1 et T2 ainsi que son père dans
T0 ont été fixés (voir propriété 1.2.3). Comme le premier sommet traité dans la boucle
principale est un enfant de v0, une feuille de T1 et une feuille de T2, lesconditions 2, 3,
4, 5, 6 et 6 de la définition 5.3.1 sont vérifiées pour le sommet u.

5.5. Algorithme de calcul d’une stratification-faible d’un réaliseur81
Algorithme 8 Construction d’une stratification-faible.
pour chaque sommet u de G faire
L(u) ← 0
fin pour
pour chaque sommet interne u de G dans l’ordre trigonométrique postfixe de T2
appliquer les règles :
1. L(u) ← max(L(u),L(P0(u)) + 1)
2. L(u) ← max(L(u), min(Lmax1(u),Lmax2(u)) + 1)
3.a L(P2(u)) ← max(L(P2(u)),L(u))
3.b L(P1(u)) ← max(L(P1(u)),L(u))
4.a L(P2(u)) ← max(L(P2(u)),Lmax1(u)+1)
4.b L(P1(u)) ← max(L(P1(u)),Lmax2(u)+1)
fin pour
5. L(v1) ← max(L(v1),Lmax2(v2)+1)
Supposons maintenant que les conditions de la définition 5.3.1 sont vérifiées pour
les m premiers sommets fixés. Soit u le prochain sommet à être fixé. Montrons que ces
conditions sont vérifiées aussi pour u lorsqu’il devient fixé.
La règle 1 assure que le sommet u est sur un niveau plus haut que celui de son
parent dans T0. Doncaprèsl’application de la règle 1, la condition 2 est vérifiée pour
le sommet u.
La règle 2 assure que si un sommet u possède 2 enfants, un dans T1 et un dans T2
situés sur le même niveau que lui, alors L(u) est incrémenté. Donc après l’application
de la règle 2, la condition 6 est vérifiée pour le sommet u.
La règle 3.a (resp. 3.b) assure que le sommet P2(u) (resp. P1(u)) est sur un niveau
plus haut que u. Ceci correspond à la condition 3 (resp. 4) de la définition 5.3.1.
De manière analogue, les règles 4.a et 4.b assure que les conditions 5 et 6 sont
satisfaites pour le sommet u.
Pendant le traitement du sommet u, lesniveauxdeu, P1(u) et P2(u) ne sont pas
diminués. Donc les conditions 2, 3, 4, 5, 6 et 7 restent vérifiées pour les m premiers
sommets fixés.
Donc à la fin de la boucle principale, les conditions 2 à 7 sont vérifiées pour tous les
sommets internes de G. Deplus,la dernière étape de l’algorithme assure que la condition
8 est vérifiée. Donc à la fin de l’exécution de l’algorithme, L est une stratificationfaible
du réaliseur R.
L’algorithme traite chaque sommet une fois. Le traitement d’un sommet s’effectue
en temps constant. Donc l’algorithme est linéaire.
Fait 5.5.1. Achaque étape de l’algorithme 8, pour tout niveau i

82 Chapitre 5. Dessin lignes brisées d’un réaliseur
Lemme 5.5.2. Soit R un réaliseur. Soit L une stratification-faible de R générée par
l’algorithme 8. Si v est une feuille de T0, alorsilexiste u = v tel que L(v) =L(u). De
plus, cette propriété est aussi vraie pour le sommet v2.
Démonstration. Puisque v2 n’appartient ni à T0 ni à T1, lesseules règles qui peuvent
changer son niveau sont les règles 3.a et 4.a. Lors de l’application de la règle 5, soit
L(v2) =Lmax2(v2) et alors v2 est sur le même niveau que l’un de ses enfants dans T2,
soit L(v2) =Lmax2(v2)+1 et alors v1 est sur le même niveau que v2. Danstous les cas,
v2 n’est pas seul sur son niveau.
Soit un sommet v, feuille de T0. Quand v devient fixé, on peut distinguer deux
configurations :
–Cas 1 : il y a un sommet u tel que L(u) >L(v). Touslesniveaux plus basque
L(u) contiennent au moins un sommet fixé (cf. Fait 5.5.1). Comme v n’est pas
encore fixé, L(v) contient déjà un sommet fixé.
–Cas2:Lne contient pas de sommet plus haut que v au moment où v devient
fixée. Soit u le premier sommet à apparaître sur le niveau L(v)+1.Cesommet
apparaît donc sur L(v) +1 après que v devienne fixé. Un tel sommet u existe
toujours car à la fin de l’algorithme, v1 est un sommet situé un niveau plus haut
que ceux où se trouvent les sommets internes de G.
Considérons la règle qui a placé le sommet u sur le niveau L(v)+1.
–Cas2.1 : règle 1. Alors L(P0(u)) = L(v). Puisque v est une feuille de T0,
P0(u) est différent de v.
–Cas 2.2 : règle 2. Il y a donc au moins 2 sommets fixés sur le niveau L(v) :
un enfant de u dans T1 et un enfant de u dans T2.
–Cas 2.3 : règle 3.a (resp. 3.b). Le sommet u possède alors un enfant fixé w
dans T2 (resp. dans T1) telqueL(w) =L(v)+1.Ceci est en contradiction
avec le fait que u est le premier sommet fixé sur le niveau L(v)+1.
–Cas2.4 : règle 4.a (resp. 4.b). Dans ce cas si u = P1(v) (resp. u = P2(v))
alors L(v) =Lmax2(v) (resp. L(v) =Lmax1(v)). Donc v possède un enfant w
fixé dans T2 (resp. T1) telqueL(v) =L(w).
–Cas2.5 : règle 5. Alors on a u = v1 et L(v2) =Lmax2(v2).DoncL(v) =L(v2).
Comme nous venons de le voir, si le sommet v est une feuille de T0 alors v n’est pas
tout seul sur son niveau.
Lemme 5.5.3. L’algorithme 8 calcule en temps linéaire, une stratification-faible d’un
réaliseur R =(T0,T1,T2), dehauteur au plus n −⌊ p
⌋−1 où p désigne lenombrede
2
feuilles de l’arbre T0.
Démonstration. Comme nous l’avons vu, il y au moins un sommet par niveau (voir
Fait 5.5.1). De plus, une feuille de T0 ne peut être seule sur son niveau (lemme 5.5.2).
Donc dans le pire des cas, c’est à dire celui où la stratification-faible est la plus haute,

5.6. Conclusion 83
le dernier niveau contient uniquement v1, etchaqueautre niveau contient soit un seul
nœud interne de T0, soit deux feuilles de T0, soit une feuille de T0 et v2. Cequinous
donne n−2−p niveau possédant un nœud interne de T0, ⌊ p+1
⌋ niveaux pour les feuilles
2
de T0 et v2 et un dernier niveau pour v1. Aufinal, la hauteur de la stratification-faible
obtenue par le précédant algorithme est au plus n −⌊ p
2⌋−1. Théorème 5.5.1. Soit G un graphe plan à n sommets. Le graphe G admet un dessin
lignes brisées sur une grille de surface au plus 4(n−1)2
et de largeur au plus ⌊ 9
2(n−1)
⌋. 3
De plus, chaque arête possède au plus une brisure et globalement le dessin possède au
plus n − 2 brisures.
Démonstration. Soit G ′ une triangulation planaire de G. Elle peut être obtenue en
temps linéaire. Soit R =(T0,T1,T2) un réaliseur de G ′ .
⌋ feuilles. Le corollaire 2.3.1
Soit Ti un des arbres de R qui possède au plus ⌊ 2n−5
3
nous assure qu’un tel arbre existe. Soit R ′ =(T ′ 0 = Ti,T ′ 1 = Ti+1,T ′ 2 = Ti+2) le réaliseur
obtenu par permutation circulaire à partir de R. Leréaliseur R ′ est aussi un réaliseur
de G ′ .Soitple nombre de feuilles de T ′ 0.
L’algorithme 8 calcule en temps linéaire une stratification-faible de R ′ de hauteur
n −⌊ p
⌋−1. Enutilisant cette stratification-faible, l’algorithme 7 calcule un dessin
2
lignes brisées de G sur une grille (p +1)× (n −⌊ p
⌋−1) avec au plus n − 2 brisures.
2
Puisque p ≤⌊2n−5 2(n−1)
⌋,lalargeur du dessin est donc d’au plus ⌊ ⌋. Etdonclasurface
3 3
de la grille est d’au plus 4(n−1)2
.Lapropriété 5.1.1 assure qu’une telle largeur et une
9
telle surface sont nécessaires pour dessiner certains graphes plans de taille n. Donc
l’algorithme 7 produit des dessins de surfaces et de largeurs optimales pour la classe
des graphes plans.
La figure 62 représente un exemple de dessin lignes brisées obtenu à l’aide de l’algorithme
présenté.
5.6 Conclusion
L’algorithme que nous avons présenté produit des dessins lignes brisées sur des
grilles de surface et de largeur optimales pour la classe des graphes plans. Les dessins
obtenus possèdent au plus n − 2 brisures. Dans la pratique, le nombre de brisures
effectivement utilisé est plus petit. On peut se demander s’il est possible d’obtenir
des dessins similaires avec un nombre nettement plus faible de brisures (au plus n/2
brisures, par exemple).
Dans le cas de graphes plans non maximaux, il pourrait être intéressant d’évaluer
la taille de la grille et le nombre de brisures nécessaires en fonction du nombre d’arêtes.
Enfin, nous avons vu que le dessin était de largeur optimale pour la classe des
graphes plans (i.e. la face extérieure est fixée). Dans le cas de graphes planaires, on
peut espérer obtenir des dessins sur des grilles de largeur plus petite. Par exemple, en

84 Chapitre 5. Dessin lignes brisées d’un réaliseur
9
1
0
2
4
14
13
12
7
Figure 62 – Exemple de dessin lignes brisées obtenu par l’algorithme 7. Le graphe
dessiné possède 16 sommets. Le dessin est effectué sur une grille de taille 9 × 9 et
contient 7 brisures.
choisissant judicieusement la face extérieure, le graphe Hn de la figure 59 peut être
dessiné sur une grille de largeur n/3 et non 2n/3.
3
5
15
6
8
11
10

Chapitre 6
Une majoration du nombre de graphes
planaires à l’aide des réaliseurs
Introduction
Quelle quantité d’information peut contenir un graphe planaire à n sommets ? La
réponse à cette question est hautement liée au nombre de graphes planaires à n sommets.
Dénombrer les graphes planaires (non isomorphes) à n sommets est un problème
bien connu, mais qui malheureusement est toujours non-résolu (cf. [AW87]). Il n’existe
ni de formule clause, ni d’estimation asymptotique, ni même d’estimation asymptotique
sur le log de ce nombre. Une estimation asymptotique sur le log donnerait une borne
sur le nombre de bits aléatoires nécessaires pour générer aléatoirement et uniformément
un graphe planaire (pas forcément en temps polynomial).
La génération d’objets aléatoires est un outil important pour l’analyse de la complexité
moyenne d’algorithmes, ou le test d’algorithmes sur des cas typiques. A l’inverse
des graphes aléatoires [ER60], on ne connaît que très peu de choses sur les graphes
planaires aléatoires. En effet, l’ajout d’une arête dans un graphe planaire dépend fortement
de l’emplacement des autres arêtes. Les graphes plans aléatoires ont été étudiés
avec succès. Schaeffer [Sch99], puis Banderier, Flajolet, Schaeffer et Soria [BFSS00]
ont montré comment générer en temps polynomial plusieurs familles de cartes planaires,
e.g. cartes planaires triconnexes. Malheureusement, cette génération ne donne
que très peu d’informations sur les graphes planaires aléatoires car il y a de nombreuses
manières de plonger un graphe dans le plan. Néanmoins, certaines familles de
graphes planaires peuvent être générées de manière aléatoire : les arbres [ARS97], les
graphes planaires-extérieurs ("outer-planar" en anglais) maximaux [ES94, BDP99] (i.e.
les triangulations d’un polygone), et plus récemment les graphes planaires-extérieurs
étiquetés ou non [BK03]
En plus de l’aspect “combinatoire” et “génération aléatoire”, une attention particulière
est accordée en informatique aux représentations “efficaces” desobjets discrets. Efficace
signifie d’une part que la représentation occupe peu de place, et d’autre part que
85

86 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
le temps nécessaire au calcul d’une telle représentation est polynomial (faible nombre
de bits et calcul rapide). Une manipulation rapide d’une telle représentation ainsi qu’un
accès facile à des fragments d’information sont aussi des objectifs poursuivis. Au moins
deux champs d’applications sont concernés par la représentation de graphes planaires :
l’imagerie numérique et les réseaux.
La discrétisation d’un objet 3D donne une liste de coordonnées dans l’espace, ainsi
qu’un ensemble de relations d’adjacences. Dans le cas d’objets convexes, cet ensemble
de relations d’adjacences est un graphe planaire non étiqueté. En général, des graphes
planaires dont les faces sont des triangles ou des quadrilatères sont utilisés pour discrétiser
la surface de tels objets. Un algorithme de compression est appliqué sur le
graphe ainsi obtenu. Les performances sont mesurées par le nombre moyen de bits par
nœud et par arête. Elles sont exprimées en fonction de tests menés sur des générateurs
d’exemples types ou sur des exemples de référence [KADS02], faute d’avoir un “bon” générateur
de graphes planaires aléatoires. Par exemple, King et Rossignac [KR99, Ros99]
ont donné un algorithme de compression des triangulations qui garantit un codage en
3, 67 bits par sommet, le rapport optimal étant log 2(256/27) ≈ 3, 24 bits par sommet
(voir formule énumération des graphes plans maximaux [Tut62], théorème 1.1.3).
Une table de routage est une structure de données associée à chaque nœud et qui
indique, en fonction de la destination d’un message entrant, le port de sortie qui doit
être utilisé pour atteindre le destinataire. Le principal objectif d’un système de routage
est de minimiser la taille des tables de routage tout en maintenant les trajets aussi
courts que possible. Les tables de routage construites pour un réseau ont été étudiées
dans le cas de réseaux planaires [FJ89, GH99, Lu02a, Tho01]. Le graphe sous-jacent
est pré-calculé afin d’optimiser les tables de routage.
La stratégie utilisée par Gavoille et Hanusse [GH99], basée sur les plongements en
k-page et améliorée par Lu [Lu02a] avec les arbres recouvrants ordonnés, démontre
qu’une représentation compacte de graphes planaires aide à la construction de tables
de routage compactes, plus particulièrement dans le cas d’un routage de plus court
chemin.
Travaux précédents
Pour les raisons que l’on vient d’exposer, on cherche à représenter de manière succincte
les graphes planaires à n sommets et m arêtes. Turán [Tur84] a proposé un codage
en 4m bits, qui fut amélioré plus tard par Keeler et Westbrook [KW95] pour obtenir
un codage en 3, 58m bits. Munro et Raman [MR97] ont proposé un codage en 2m +8n
bits s’appuyant sur les plongements en 4-page des graphes planaires (voir [Yan89]).
Dans une série d’articles, Lu et al. [CGH + 98, CLL01] ont proposé un codage plus fin
en 4m/3+5n bits, à l’aide des arbres recouvrants ordonnés. Comme nous l’avons vu
dans le chapitre 3, il existe des codages pour les graphes planaires maximaux en 4n
bits [CGH + 98, Ros99, Bon02]. Une amélioration des techniques utilisées dans [Ros99]
donne un codage en 3, 67n bits des graphes planaires maximaux [KR99], calculable en

temps linéaire. Finalement, He, Kao et Lu [HKL00] ont montré qu’un codage optimal
des graphes planaires, maximaux ou non, pouvait être obtenu avec une complexité en
temps de O(n log(n)). Pourcela ils utilisent une décomposition récursive du graphe à
l’aide de séparateurs et un algorithme de codage exponentiel pour les dernières composantes
de taille sous-logarithmique. Cependant la constante cachée derrière la notation
“grand O” peut être limitante dans la pratique. De plus, l’implémentation de l’algorithme
de codage nécessite l’implementation d’algorithmes complexes tels que ceux
de reconnaissance de graphes isomorphes et de recherche de séparateurs [LT79]. Récemment,
la complexité de cet algorithme de codage a été améliorée afin de la rendre
linéaire [Lu02b]. Bien que la longueur du codage soit optimale, l’approche de [HKL00]
ne donne pas une borne explicite sur le nombre de bits utilisés dans cette représentation.
Si l’on s’intéresse uniquement au nombre de graphes planaires ou à certaines propriétés
statistiques des graphes planaires (à quoi ressemble un graphe planaire aléatoire
: nombre d’arêtes, connexité, etc.) d’autres outils peuvent être utilisés. Denise,
Vasconcellos et Welsh [DVW96] ont donné une chaîne de Markov dans l’espace de tous
les graphes planaires étiquetés dont la distribution limite est uniforme. Leurs expérimentations
ont montré qu’un graphe planaire aléatoire possède approximativement
2n arêtes. De plus, un tel graphe est généralement connexe mais pas biconnexe. Bien
que leur chaîne de Markov converge vers une distribution uniforme, il n’est pas prouvé
que la distribution obtenue après un nombre polynomial d’étapes est suffisamment
proche de la distribution uniforme. Il est toutefois prouvé que presque tous les graphes
planaires étiquetés possèdent au moins 3n/2 arêtes et que le nombre p(n) de graphes
planaires non étiquetés vérifie le fait que 1
n log2(p(n)) tende vers une constante γ telle
que log2( 256
27 ) ≤ γ ≤ log2( 256)+3.Cesbornes
sur γ viennent de la formule de Tutte
27
(voir théorème 1.1.3) : tous les graphes planaires maximaux sont des graphes planaires
et tous les graphes planaires sont des sous-graphes des graphes planaires maximaux
et par conséquent il y a 23n−6 sous-ensembles d’arêtes possibles. Il y a aussi au plus
n!2γn+o(n) graphes planaires étiquetés puisqu’il y a au plus n! manières d’étiqueter les
sommets d’un graphe.
Osthus, Prömel et Taraz [OPT] ont étudié les triangulations possibles des graphes
planaires et ont montré qu’il y avait au plus n!25,22n+o(n) graphes planaires étiquetés. Ils
ont également montré que presque tous les graphes planaires étiquetés ont au plus 2, 56n
arêtes. De leur côté, Gerke et McDiarmid [GM01] ont montré que ces même graphes
possèdent presque tous au moins 13n
7
87
≈ 1, 85n arêtes, améliorant ainsi l’ancienne borne
supérieure donnée dans [DVW96] : 1, 5n arêtes. Ils ont également montré que presque
tous les graphes planaires non étiquetés ont au plus 2, 69n arêtes.
Utilisant des séries génératrices, Bender, Gao et Wormald [BGW99] ont prouvé
que le nombre de graphes planaires 2-connexes étiquetés était asymptotiquement
n!2 4,71n+O(log(n)) .Notons que l’énumération de cartes planaires donne une borne supérieure
sur le nombre de graphes planaires. Récemment, Bousquet-Mélou [Bou02],
a montré que le nombre de cartes planaires simples était asymptotiquement

88 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
2 5,098n+O(log(n)) ,donnant ainsi une borne sur le nombre de graphes planaires non étiquetés
et étiquetés (n!2 5,098n+O(log(n)) ).
Résultats présentés
Dans ce chapitre nous montrons une borne supérieure de 2 5,007n+O(log(n)) sur le
nombre de graphes planaires non étiquetés. Ce résultat implique que le nombre de
graphes planaires étiquetés est d’au plus n!2 5,007n+O(log(n)) ,améliorant ainsi la borne
donnée dans [OPT].
Comme notre borne peut être paramétrée en fonction du nombre d’arêtes, nous
pouvons montrer en utilisant la borne de [BGW99] que la plupart des graphes planaires
non étiquetés possèdent au moins 1, 70n arêtes et au plus 2, 54n arêtes, améliorant
l’ancienne borne supérieure de 2, 69n arêtes [OPT]. De plus, ce résultat est
également vrai pour les graphes planaires étiquetés (améliorant légèrement l’ancienne
borne, 2, 56n [OPT]), connexes étiquetés et connexes non étiquetés.
Mis à part l’aspect fondamental de l’énumération des graphes planaires, notre technique
s’appuie sur une représentation explicite, relativement simple, et calculable en
temps linéaire. De plus, nous donnons un algorithme linéaire de codage en 3, 37n bits
des graphes plans maximaux et en 5, 03n bits pour les graphes planaires. Notre représentation
des graphes plans maximaux améliore la compression “Edgebreaker” [KR99],
et il ne fait pas de doute que notre construction explicite d’un graphe planaire peut être
utilisée pour des problèmes de routage dans les réseaux, en particulier pour améliorer
le résultat de Lu [Lu02a].
Organisation du chapitre
La section 6.1 présente la notion d’arbre recouvrant bien-ordonné, une spécialisation
des arbres recouvrants ordonnés introduite dans [CGH + 98] et une généralisation
des réaliseurs minimaux (voir chapitre 1, section 1.3). Nous présentons également un
algorithme permettant de construire un tel arbre recouvrant en temps linéaire.
Dans la section 6.2 nous montrons que si G est connexe, le réaliseur minimal S
d’un super-graphe particulier de G, appeléparla suite super-triangulation, possède la
propriété que étant donné S et un sommet v, lesarêtes de l’arbre recouvrant bienordonné
de S et v sont également dans G. Cette propriété ainsi que quelques autres
nous permettrons d’obtenir un codage compact de G. Eneffet, une des propriétés de
S =(T0,T1,T2) est que toutes les arêtes de T0 sont aussi des arêtes de G.
Dans la section 6.3 nous présentons un codage d’un graphe planaire G à l’aide
de 8 chaînes binaires de densité différente (le rapport entre le nombre de “1” et la
longueur de la chaîne) : 7 de ces chaînes servent à représenter la super-triangulation
S (plus précisément 5 pour coder l’arbre T2 et 2 pour coder les arêtes pertinentes) et
une pour coder les arêtes manquantes. Chaque chaîne peut-être compressée à l’aide de
l’algorithme de Pagh [Pag01] (nous donnons également un algorithme linéaire et plus

6.1. Arbre recouvrant bien-ordonné 89
simple pour effectuer cette compression). Ceci nous permet de coder chaque chaîne en
log2( n
)+o(n) bits où n est la longueur la chaîne et k le nombre de “1”.
k
Enfin la section 6.4 nous analysons la taille de notre représentation en fonction du
nombre de feuilles de T2 dans un premier temps puis en fonction du nombre d’arêtes
du graphe. Cette analyse nous montre que notre codage utilise au plus 3, 37n bits pour
coder un graphe plan maximal et 5, 03n bits pour un graphe planaire. Un codage en
5, 007n bits est atteint à l’aide d’un codage un peu plus sophistiqué de S. Enfin nous
montrons également que presque tous les graphes planaires, connexes ou non, étiquetés
ou non, possèdent entre 1, 70n et 2, 54n arêtes.
6.1 Arbre recouvrant bien-ordonné
6.1.1 Définition
Nous proposons ici une spécialisation de la notion d’arbre recouvrant ordonné introduite
dans [CGH + 98] (voir chapitre 1 section 1.4). Un sommet ui est bien-ordonné
s’il est ordonné (voir définition 1.4.2) et si la première arête de (ui,uj) ∈ B>(ui), sielle
existe, est telle que le parent de uj soit un ancêtre de ui. Tout naturellement, un arbre
recouvrant T de H est dit bien-ordonné si tous ses sommets sont bien-ordonnés. De
plus, on dira que (T,H) est une paire bien-ordonnée. Remarquons qu’un arbre ordonné
(bien ou pas) doit être recouvrant. Observons également qu’une arête adjacente à un
sommet de T est soit dans T soit elle est non-apparentée. En particulier, si une arête
de H est apparentée (i.e. une extrémité est descendante de l’autre dans T ), alors elle
appartient à T .Ils’ensuitquetous les voisins de la racine de T sont dans T .
La figure 63 illustre les définitions ci-dessus.
2
1
6
8
3
5
7
4
Figure 63 – Le graphe plan H du graphe G (à gauche), n’admet pas d’arbre recouvrant
bien-ordonné. Le graphe plan H ′ de G (à droite), admet quant à lui un arbre recouvrant
bien-ordonné T .Lapaire(T,H ′ ) est une paire bien-ordonnée de G.
Enfin, remarquons que si R =(T0,T1,T2) est un réaliseur de G, alors ¯ T0 est un
arbre ordonné. Remarquons également que si R est un réaliseur minimal, alors ¯ T0, ¯ T1
et ¯ T2 sont des arbres bien-ordonnés.
6
2
1
3
5
8
7
4

90 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
Comme nous l’avons vu les arbres ordonnés sont une généralisation naturelle des
réaliseurs aux graphes planaires connexes. De manière analogue, les arbres recouvrants
bien-ordonnés sont une généralisation des réaliseurs minimaux. Cette généralisation est
également une spécialisation des arbres recouvrants ordonnés.
Lemme 6.1.1. Tout graphe plan bien-ordonné enraciné en un sommet v0 admet un
unique arbre recouvrant bien-ordonné.
Démonstration. Supposons que le graphe plan H admet deux arbres recouvrants bienordonnés
T , T ′ enracinés en v. Soitu1,u2,...,un (resp. u ′ 1,u ′ 2,...,u ′ n)les sommets H
dans l’ordre préfixe anti-trigonométrique de T (resp. T ′ ). Soit ui un sommet tel que
l’ensemble de ses voisins dans T diffère de l’ensemble de ses voisins dans T ′ et tel que i
soit minimum. Nous avons donc ut = u ′ t pour t ≤ i, etBC(ui) = B ′ C (ui), oùB ′ C désigne
les enfants de ui dans T ′ .
Supposons sans perte de généralité, que |BC(vi)| ≤ |B ′ C (vi)| (le cas symétrique
étant obtenu en échangeant le rôle de T et de T ′ ). Remarquons que le cas où B(vi) =∅ est impossible, car dans un tel cas BC(vi) serait constitué de tous les voisins
de vi (à l’exception peut-être du parent de vi) etdoncBC(vi) = B ′ C (vi) et |BC(vi)| ≤
|B ′ C (vi)| seraient incompatibles. Soit e1 (resp. e2) lapremière (resp. dernière) arête de
BC(vi) dans l’ordre anti-trigonométrique. Soit e une arête quelconque de B ′ C (vi). Parla
suite, e1 ≤ e signifie que e1 = e ou que e1 est avant e dans l’ordre anti-trigonométrique
autour de vi.
Montrons que e1 ≤ e. Ceci est clairement vrai si B(vi) = ∅.
Soit (vi,vj) la première arête de B>(vi) dans l’ordre anti-trigonométrique. Alors,
l’arête (vi,vj) n’appartient pas à B ′ C (vi). Enfait, comme T est bien-ordonné, le parent
de vj dans T ,appelons-le vk, est un ancêtre de vi et donc k

6.1. Arbre recouvrant bien-ordonné 91
et w dans ¯ T0 est u. Onendéduitdoncquev = P2(u) est un descendant de u dans ¯ T0,
ce qui est en contradiction avec la propriété 1.2.2.
Supposons maintenant que ¯ T0 ne soit pas bien-ordonné. Ceci implique qu’il existe
une arête (up,uj), avecup = P1(uj) telle que le plus petit ancêtre commun entre up et
uj, appelons-le ut, soit différent du sommet ui = P0(uj). Considérons le cycle C formé
du chemin dans ¯ T0 entre up et uj, etfermé par l’arête (up,uj). SoitBla région connexe
bornée de R2 \ C. Calculonsmaintenant P2(ui) et P2(uj). D’aprèsla condition locale :
1. P2(uj) ∈ B.
2. Pj(uj) ne peut appartenir au chemin entre uj et ut dans ¯ T0 avec l’arête (uj,P2(uj))
à l’extérieur de B.
3. P2(uj) ne peut appartenir au chemin allant de uj à ut dans ¯ T0 puisque P2(uj) ne
peut être un descendant de uj dans ¯ T0 (voir propriété 1.2.2).
Donc, P2(uj) ∈ B ∪ C. Encoreune fois, la condition locale nous montre que P2(ui) ∈
B ∪ C. Ils’ensuit que P2(ui) =P2(uj) où uk = P2(uj) est un descendant de ui tel
que i

92 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
suivante : un sommet est partiellement bien-ordonné (considérant H et T )s’il est bienordonné
excepté le fait que les arêtes des blocs B< et B> (relatifs à T )autres que l’arêtefrontale
et l’arête dorsale peuvent être libres. L’arbre T est partiellement bien-ordonné
si tous ses sommets sont partiellement bien-ordonnés. Un arbre bien-ordonné est un
arbre partiellement bien-ordonné qui couvre H. Lesquatre blocs d’arêtes autour d’un
sommet u partiellement bien-ordonné dans T sont notés BP (u, T ),B(u, T ).
Considérons l’algorithme 9. Soient u1 = v, u2,...,up les sommets de T (l’arbre
Algorithme 9 Parcours(H, v).
P : une pile
T :ensemble d’arêtes
T ←∅
Mettre toutes les arêtes (ul,v) dans T
Empiler tous les voisins ul de v dans P (dans l’ordre trigonométrique)
tant que P = ∅ faire
ua ← P.dépiler()
pour chaque voisin libre ul de ua entre l’arête-frontale et l’arête-dorsale (dans
l’ordre trigonométrique) faire
Mettre (ul,ua) dans T
P.empiler(ul)
fin pour
fin tant que
retourner T
résultat de l’algorithme 9) ordonnés dans l’ordre préfixe anti-trigonométrique. Considérons
le sommet ui et Tui l’arbre obtenu par l’algorithme 9 juste après le traitement
du sommet ui. L’observation clé est que B(ui,T). Enparticulier l’arête-dorsale et l’arête-frontale de ui dans
T et dans Tui (si elles existent), sont les mêmes. Après le traitement de ui,
les arêtes autour de ui dans Tui forment quatre blocs (éventuellement vides) :
BP (ui,Tui ),B(ui,Tui ).Doncdans T ,lesblocsd’arêtes autour
de ui sont : BP (ui,T),B(ui,T). Pourmontrer que T est
partiellement bien-ordonné, il reste à montrer que si (ui,uj) ∈ B>(ui,T) est une arêtefrontale,
alors le parent de uj dans T est le plus petit ancêtre commun de ui et uj.
Lorsque le sommet ui est visité, les arêtes de l’arbre construit jusqu’à ui (c’est à dire,
Tui−1 )sont soit entre des sommets ut avec t

6.1. Arbre recouvrant bien-ordonné 93
perte de généralité, que B>(ui,T) contient une arête libre (voir figure 64). Le cas où
ui possède une arête libre dans B(ui,T). Enfait, on peut choisir n’importe quelle arête qui soit
la dernière, dans l’ordre anti-trigonométrique, d’un bloc d’arêtes libres dans B>(ui,T).
Par définition, B>(ui,T) contient au moins une arête non-apparentée dans B>(ui,T)
avant ei. Finalement soit ej =(uj,w) la première arête libre de uj avant e et telle qu’il
n’y est pas d’arête non-apparentée entre ej et e (donc uj est la première arête du bloc
d’arêtes libres juste avant e). Si une telle arête n’existe pas, alors on note ej = e. En
d’autres termes e, ei et ej sont choisies telles que les arêtes entre e et ei autour de ui
et entre e et ej autour de uj forment un bloc maximal d’arêtes libres. Nous changeons
le graphe plan H en appliquant un basculement :
1. Autour de ui, e est déplacée et insérée juste après ei (dans le sens antitrigonométrique)
2. Autour de uj, e est déplacée et insérée juste avant ej (voir figure 64).
Par commodité, on dira que l’on effectue un basculement autour de e.
u i+1
u i
C
u m
e
u l
v
w
u j
u k
u i+1
u i
Basculement
Figure 64 – Basculement du sous-graphe connexe composé de sommets libres par-dessus
une arête critique.
Une fois le basculement effectué sur H, nouslançons de nouveau l’algorithme 9 sur
le nouveau graphe plan H. Nous effectuons alternativement une exécution de l’algorithme
9 et un basculement jusqu’à obtenir un arbre couvrant de G. Pourcompléter
la validité de cet algorithme nous devons montrer que l’opération de basculement préserve
la planarité et que l’arbre partiellement bien-ordonné obtenu après un appel à
l’algorithme 9 converge bien vers un arbre recouvrant.
Soit X l’ensemble des sommets qui sont des extrémités des arêtes comprises entre
e et ei et entre e et ej. Pourchaquex ∈ X, soitCx la composante connexe contenant x
dans le sous-graphe de H induit par les sommets libres. Soit C = ∪x∈XCx.Pourprouver
que le basculement conserve la planarité, nous montrons que chaque chemin P de y ∈ C
àlaracinev contient soit vi, soituj. SoitC ′ le cycle composé du chemin dans T (l’arbre
C
u m
e
u l
v
w
u j
u k

94 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
obtenu avant le basculement) allant de ui à uj et fermé par l’arête (ui,uj). SoitRla région connexe bornée de R2 \ C ′ . Supposons que P contienne un sommet uk ∈ T avec
uk ∈ R ∪ C ′ ,et k ∈ {i, j}. Nouspouvons supposer, sans perte de généralité, que uk est
le premier sommet de T àpartir de y dans P .Soit(uk,z) l’arête libre de P .Nousavons
(uk,z) ∈ B(uk,T). Supposons que (uk,z) ∈ B

6.2. Super-triangulation d’un graphe planaire 95
du chemin entre ui et uk dans T et fermé par l’arête (ui,uk), enpoursuivantavec
les sommets de S (en traitant les sommets um,ul et uj dans la figure 64). Si dans
Tui ,les sommets de S ont été visités dans l’ordre ui1,ui2,...,uir, alors, les sommets
sont récursivement traités dans l’ordre :uir,uir−1,...,ui1. Eneffet, les deux parties du
graphe plan (la partie après ui et la partie à l’intérieur de S) sontindépendantes. La
partie de l’arbre composée des sommets après uj peut être calculée après le calcul des
arbres pour S et après avoir effectué le basculement. Il n’est pas difficile de voir qu’une
version récursive de l’algorithme permet de gérer les arêtes e, ei et ej àlavoléeavec un
coût total de O( n
i=1 deg(ui)) = O(n).
6.2 Super-triangulation d’un graphe planaire
6.2.1 Définition
Définition 6.2.1. Un réaliseur S =(T0,T1,T2) est une super-triangulation d’un graphe
G si :
1. V (S) =V (G) ;
2. E(T0) ⊂ E(G).
3. ¯ T0 est un arbre bien-ordonné de S.
4. Pour chaque nœud interne de T2, (v, P1(v)) ∈ E(G).
La figure 65 montre une super-triangulation du graphe de la figure 63.
6.2.2 Construction
6
2
1
v 2
v 0
3
5
8
7
Figure 65 – Exemple de super-triangulation.
Lemme 6.2.1. Soit T un arbre recouvrant bien-ordonné d’un graphe plan connexe H.
Soit v0 la racine de T .Supposons que T possède au moins 2 feuilles. Soit v1 (resp. v2)
la première (resp. dernière) feuille de T dans l’ordre préfixe trigonométrique. Alors, il
v 1
4

96 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
existe une unique super-triangulation S =(T0,T1,T2) de H, respectant le dessin de H,
telle que Ti soit enraciné en vi. Deplus,T0 = T \{v1,v2} et la super-triangulation S
peuvent être calculés en temps linéaire.
Démonstration. Soit T un arbre recouvrant bien-ordonné de H, enracinéenv0 et soit
T0 = T \{v1,v2}, oùv1 (resp. v2) est la première (resp. dernière) feuille de T dans
l’ordre préfixe trigonométrique.
Nous montrons d’abord que v1 et v2 appartiennent à la face extérieure de H. Considérons
Qi le chemin dans T allant de vi à v0 (pour i ∈{1, 2}). Tous les sommets de Qi
doivent appartenir à la face extérieure de H, enparticulier vi. Enfait, par induction
(ceci est vrai pour v0), un sommet v de Q2 (resp. Q1) possède un bloc B(v)) vide.Doncle dernier (resp. premier) enfant de v dans l’ordre trigonométrique
(s’il existe) doit appartenir à la face extérieure.
Soit H ′ (resp. G ′ )legraphe plan (resp. graphe planaire) obtenu à partir de H (resp.
G) enajoutant les 3 arêtes entre les sommets vi (ceci conserve la planarité car v1,v2
et v0 appartiennent à la face extérieure) telles qu’elles forment la face extérieure de
H ′ .Chaquearête n’est ajoutée que si elle ne crée pas d’arête-multiple. Comme les
arêtes entre les sommets vi appartiennent à n’importe quelle super-triangulation de G,
il suffit de montrer que la super-triangulation S =(T0,T1,T2) de G ′ préservant H ′ est
unique. Dans un premier temps nous allons montrer comment construire S puis dans
un deuxième temps nous allons montrer que cette super-triangulation est unique.
Tout d’abord observons que ¯ T0 est enraciné en v0 (en supprimant deux feuilles de T ,
¯T0 reste connexe). Clairement, E(T0) ⊆ E(G) ⊆ E(G ′ ),et ¯ T0 est un arbre recouvrant
bien-ordonné de H ′ enraciné en v0. D’après le lemme 6.1.1, ¯ T0 est unique.
Considérons l’algorithme 10 qui construit l’ensemble T1.
Algorithme 10 Triangulation d’une paire bien-ordonnée.
triangulation(TH, H)
¯T0 ← TH
pour chaque sommet v de G dans l’ordre préfixe trigonométrique de T0 faire
si B>(v) = ∅ alors
Mettre l’arête-frontale dans T1 (Affectation 1)
sinon
si v possède un frère gauche u alors
Mettre (v, u) dans T1 (Affectation 2)
sinon
Mettre (v, P1(P0(v))) dans T1 (Affectation 3)
fin si
fin si
fin pour
Vérifions que H ′ ∪ T1 est toujours un graphe planaire. Remarquons tout d’abord
que l’affectation 1 n’introduit pas de nouvelles arêtes. Lorsqu’on applique l’affectation

6.2. Super-triangulation d’un graphe planaire 97
2, il n’y pas d’arête incidente à P0(ui) entre ui et son frère gauche, donc la planarité du
graphe plan est préservée. Enfin pour l’affectation 3, P0(ui) ne possède pas d’arête incidente
entre ui et P1(P0(ui)), doncl’ajout de l’arête (ui,P1(P0(ui))) préserve également
la planarité.
Vérifions que {T0,T1} sont deux arbres d’un réaliseur. Nous avons vu que ¯ T0 est
bien-ordonné. Chaque sommet ui = v0 possède un parent dans T1, doncT1 est connexe.
Vérifions que lors de chaque affectation, le parent de ui est un sommet uj avec j>
i. Uneconséquence de cela est que T1 ne possède pas de cycle et donc T1 est un
arbre. La notation P1(ui) adoncunsens. Vérifions aussi que l’arête (ui,P1(ui)) est
après les enfants de ui (s’ils existent) et après l’arête (ui,P0(ui)) dans l’ordre antitrigonométrique.
Ainsi, l’arbre T1 est compatible avec la condition locale des réaliseurs.
A cette étape, H ′ ∪ T1 peut contenir des arêtes qui ne sont ni dans ¯ T0 ni dans ¯ T1.
Soit X = E(H ′ ) \ (E( ¯ T0) ∪ E( ¯ T1)) l’ensemble de ces arêtes. La construction de T2 peut
être effectuée grâce à la propriété 3.2.4. Comme il y a un unique moyen de construire
l’arbre T2 àpartir de {T0,T1}, nousdevons vérifier que les arêtes de X sont compatibles
avec l’ensemble T2 et la condition locale. Soit e une arête quelconque de X. Supposons
que e =(ui,uj) avec i(ui). Deplus,e ∈ T1 implique
que e n’est pas l’arête-frontale de ui. Enfait, l’arête-frontale de ui appartient à l’arbre
T1 (d’après l’affectation 1). Donc, e ∈ T2 est compatible avec la condition locale.
On en déduit que S =(T0,T1,T2) est un réaliseur du graphe plan H ′ ∪ T1 ∪ T2.
Nous avons vu que E(T0) ⊆ E(G) ⊆ E(G ′ ) et que ( ¯ T0,H ′ ) est une paire bienordonnée.
D’après les règles d’affectation (1, 2 et 3), nous remarquons que si l’arête
(u, P1(u)) ∈ E(G ′ ) (affectation 2 ou 3), alors u ne peut avoir d’enfant dans T2 (les arêtes
(u, P1(u)),(u, P0(u)) forment un triangle avec une arête de T0 ∪T1). En d’autres termes,
pour chaque nœud interne u de T2, (u, P1(u)) ∈ E(G ′ ).Enfait (u, P1(u)) ∈ E(G). Par
conséquent S est une super-triangulation de G ′ .
Il reste à montrer que S est l’unique super-triangulation de G ′ qui préserve H ′ avec
pour racine de Ti le sommet vi. Comme T0 est unique et comme, étant donné {T0,T1}
T2 est unique, il suffit de prouver que T1 est unique.
L’arête-frontale de ui doit appartenir à T1 puisque le parent de ui dans T1 doit
être avant (dans l’ordre anti-trigonométrique) les arêtes vers les enfants de ui dans T2.
Si B>(ui) =∅, etsiui possède un frère gauche uj, alors(ui,uj) doit être dans T1.
Sinon, (ui,uj) devrait être dans T2 et uj = P2(ui), cequiferait que ui serait un nœud
interne de T2. Cependant comme B>(ui) =∅, (ui,P1(ui)) n’est pas dans E(G ′ ),cequi
contredit la définition de super-triangulation. Finalement, si B>(ui) =∅ et si ui est le
dernier enfant de P0(ui), alors(ui,P1(P0(ui))) doit être dans T1. Danslecascontraire,
(ui,P1(P0(ui))) serait dans T2 et de plus (ui,P1(P0(ui)),P2(P1(P0(ui)))) serait un cwtriangle
(ce qui contredit la définition de super-triangulation).
Donc, T1 et S sont uniques, ce qui complète la preuve.
Théorème 6.2.1. Soit G un graphe planaire triconnexe. Pour tout triplet v0,v1,v2, il
existe une unique super-triangulation (T0,T1,T2) de G telle que Ti soit enraciné en vi
pour i ∈{0, 1, 2}.

98 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
Démonstration. D’après le théorème de Whitney (théorème 1.1.1), un graphe triconnexe
n’admet qu’une seule carte planaire, où trois nœuds, appelons les v0,v1 et v2,
sont situés sur la face extérieure. Soit H un tel graphe plan de G. Supposons que les
sommets v0,v1 et v2 apparaissent dans cet ordre lorsque l’on parcourt la face extérieure
dans l’ordre trigonométrique. Soit H ′ (resp. G ′ )legraphe plan (resp. graphe planaire)
obtenu à partir de H (resp. de G) enajoutant les arêtes (v0,v1), (v1,v2) et (v2,v0) (si
elles n’existent pas).
L’arbre recouvrant bien-ordonné T de H ′ enraciné en v0 possède au moins deux
feuilles situées sur la face extérieure de H ′ : v2 et v1,qui sont respectivement la première
feuille et la dernière feuille de T dans l’ordre préfixe anti-trigonométrique. L’arbre est
unique d’après le lemme 6.1.1, une fois H ′ et v0 fixés. On peut alors appliquer le
lemme 6.2.1, et calculer en temps linéaire l’unique super-triangulation S ′ =(T ′ 0,T ′ 1,T ′ 2)
de G ′ préservant H ′ et où Ti est enraciné en vi. Comme G ′ est triconnexe, H ′ est
l’unique carte de G ′ avec vi ayant les sommets vi situés sur la face extérieure. Donc S ′
est finalement l’unique super-triangulation de G ′ (lemme 6.2.1). La super-triangulation
S ′ est aussi une super-triangulation de G car les arêtes supplémentaires de la face
extérieure ne créent pas de nœud interne dans T2. Réciproquement, puisque toute
super-triangulation S =(T0,T1,T2) de G avec Ti enraciné en vi doit contenir les arêtes
(v0,v1), (v1,v2) et (v2,v0), S est aussi une super-triangulation de G ′ .Ceci implique
donc que la super-triangulation S de G est S ′ .Lasuper-triangulation S est unique car
S ′ l’est. De plus, elle peut être calculée en temps linéaire.
6.3 Codage d’un graphe planaire à l’aide d’une supertriangulation
6.3.1 Représentation d’un graphe planaire à l’aide d’une chaîne
binaire
Dans cette section, nous considérons S =(T0,T1,T2) une super-triangulation d’un
graphe planaire connexe G à n sommets et m arêtes.
Pour montrer comment utiliser les super-triangulations pour représenter efficacement
G, nousdéfinissons deux ensembles d’arêtes. L’ensemble des arêtes pertinentes :
et l’ensemble des arêtes manquantes :
RS = {(v, p1))|v feuille de T2}
MS = E(G) \ (E(T0) ∪{(v, p1(v))|v nud interne de T2}).
MS est en fait, l’ensemble des arêtes de G qui ne sont nidansT0ni définies par la
règle 4 de la définition 6.2.1.
Théorème 6.3.1. Soit S =(T0,T1,T2) une super-triangulation de G.

6.3. Codage d’un graphe planaire à l’aide d’une super-triangulation 99
1. Etant donné T2 et RS, onpeutdéterminer S en temps linéaire.
2. Etant donné S et MS, onpeutdéterminer G en temps linéaire.
Démonstration. D’après la propriété branche de T2 (proposition 1.3.3), il suffit de déterminer
P1(v) pour chaque feuille de T2, pourconstruire P1(w) pour chaque sommet
(autre que la racine) w de T2 (rappelons que les branches gauches partitionnent
les nœuds d’un arbre). Donc, T2 et l’ensemble des arêtes pertinentes permettent de
construire l’arbre T1 en temps linéaire. Etant donné T2 et T1, lesarêtes de T0 peuvent
être construites de manière unique en temps linéaire.
De la définition 6.2.1, pour déterminer G àpartir de S et MS, ilsuffitdecalculer:
1. L’ensemble des arêtes de T0.
2. L’ensemble des arêtes (v, p1(v)) telles que v soit un nœud interne de T2.
3. L’ensemble des arêtes de manquantes.
Ceci peut être effectué en temps linéaire.
Maintenant nous allons voir comment coder de manière efficace l’arbre T2 ainsi que
les ensembles RS et MS.
Soit u1,u2,...,un les sommets d’un arbre T dans l’ordre préfixe antitrigonométrique
de T .Une feuille ui de T est un bourgeon si le parent de ui et de
ui+1 est ui−1 (voir figure 66). En d’autres termes, ui est un bourgeon s’il est le premier
enfant de P (ui) et qu’il n’est pas enfant unique. Observons que pour chaque bourgeon
ui, ui+1 est un nœud d’une branche gauche de T se terminant par une feuille uj, avec
j>i.Donc un arbre contient au moins une feuille de plus que de bourgeons.
Figure 66 – Un arbre enraciné avec 8 feuilles et 3 bourgeons. La chaîne codant l’arbre
(en gras le motif correspondant au bourgeon) 1101101111001010010000110100.
Considérons le mot de Dyck codant l’arbre T .Onpeutobserver qu’un bourgeon de
T se traduit par un motif 1101 dans le code de T .Remarquons enfin que 2 occurrences
du motif peuvent se superposer : 1101101.
Soit L une chaîne binaire. On note #L le nombre de chaînes binaires ayant la même
longueur et le même nombre de "1" que L. Plus précisément, si L est de longueur x et

100 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
possède y "1", alors
x
#L = .
y
Dans la suite de cette section, nous supposons que T2 possède n − 2 sommets (i.e.,
¯T2 possède n sommets), l feuilles et b bourgeons.
Propriété 6.3.1. Soient R =(T0,T1,T2) un réaliseur et F un sous-ensemble des arêtes
de T2. Soient u1,u2,...,un les sommets de R dans l’ordre préfixe anti-trigonométrique
de ¯ T0. Soient L l’ensemble des sommets ui ayant des arêtes sortantes dans F et D =
(d2,d3,...,dn−1) la séquence où di désigne le nombre d’arêtes entrantes dans F du
sommet ui. Alors,connaissant (T0,L,D), F peut être construit en temps linéaire.
Démonstration. On observe que u1 et un n’ont pas d’arêtes entrantes dans T2. Toutes
les arêtes de F sont de la forme (u, P2(u)) avec u ∈ L. Soitui ∈ L où i est minimum
et soit uj = P2(ui). Montrons que uj aundegré entrant dans F ,queui et uj sont
non-apparentés dans ¯ T0 et que j est le plus grand indice inférieur à i.
On observe que si une telle propriété est vérifiée, cela donne un algorithme de
construction de F àpartir de (T0,L,D) (voir Algorithme 11). Montrons que cette
propriété est donc vérifiée. D’après la propriété 1.2.2, uj est non-apparenté à ui et j

6.3. Codage d’un graphe planaire à l’aide d’une super-triangulation101
Démonstration. MS est composé d’arêtes de T2 et d’arêtes (v, p1(v)) où v est feuille de
T2. LachaîneC1 est construite de la manière suivante.
Les n − 3 premiers bits représentent les arêtes de T2 qui sont dans MS (rappelons
que T2 contient n − 2 sommets). Plus précisément, si le i-ième bit vaut 1, alorsl’arête
(ui+1,P2(ui+1)) (où ui+1 désigne le i +1-ième sommet de T2 dans l’ordre préfixe antitrigonométrique)
se trouve dans MS. Silei-ième bit vaut 0 l’arête ne s’y trouve pas.
Les l bits suivants de C1 représentent les arêtes (v, P1(v)) avec v feuille de T2.
Concrètement, en effectuant un parcours préfixe de T2, le(i − n − 3)-ième bit vaut 1
si et seulement si la i-ième feuille rencontrée possède une arête (v, P1(v)) dans MS. La
chaîne C1 peut être codée et décodée en temps linéaire.
La longueur de C1 vaut n − 3+l et le nombre de 1 est égal à |MS|. Nousavons
|MS| = m − (n − 3) − k, oùk = n − 3 − l est le nombre de nœuds internes de T2.
Lemme 6.3.2. Connaissant T2, l’ensemble RS peut être codé àl’aide de deuxchaînes
binaires B1, B2 et un entier t ∈ [0,b] tels que :
#B1 =
b
et #B2 =
t
n − t + l − b − 3
l − b − 1
De plus, connaissant T2, lecodage et le décodage de RS s’effectuent en temps linéaire.
Démonstration. Nous considérons les bourgeons de T2 de la manière suivante. Soient
u1,u2,...,un les sommets de ¯ T2 dans l’ordre préfixe anti-trigonométrique de ¯ T2. Pour
chaque bourgeon ui, notons l(ui) la feuille de la branche gauche contenant ui+1 (sur
la figure 66 l(ui) =uj). Soit B = {l(ui)|ui est un bourgeon de T2}. Puisque ¯ T2 vérifie
la propriété branche, P1(l(ui)) est égal à P1(ui−1) ou P1(l(ui)) est un descendant de
ui−1 avant ui+1 dans l’ordre anti-trigonométrique. Ce descendant est unique et est le
bourgeon ui. Donc,pourchaque bourgeon ui, soitP1(l(ui)) = P1(ui−1) soit P1(l(ui)) =
ui.
Soit A = {(v, P1(v))|v ∈ B} ⊂RS. Nous représentons différemment les arêtes de A
et celles de RS \ A. Soittle nombre de bourgeons de ui tel que P1(l(ui)) = P1(ui−1).
La chaîne binaire Bl est de longueur b et est définie de la manière suivante : le jième
bit de Bl vaut 1 si et seulement si pour le j-ième bourgeon ui de T2, P1(l(ui)) =
P1(ui−1). Clairement, #Bl = b
.Comme il n’y a que deux cas, pour P1(l(ui)), onpeut
t
reconstruire complètement RS connaissant T2,RS \ A, etBl.
Pour représenter RS \ A, nousconsidérons la propriété 6.3.1 appliquée au réaliseur
(T2,T0,T1) et pour F = RS \ A. L’ensemble F peut être déterminé en temps linéaire à
partir du triplet (T2,L,D) où L désigne l’ensemble des feuilles de T2 qui ne sont pas dans
B et D = d2,d3,...,dn−1 est la séquence des degrés entrants des arêtes de F .Comme
T2 est connu L peut être calculé et seule D abesoin d’être représentée pour reconstruire
F = RS \ A. Remarquons que pour chaque bourgeon ui tel que P1(l(ui)) = P1(ui−1),
ui ne possède pas d’arête entrante dans F , i.e. di =0.Connaissant T2 et Bl, untelcas
peut être détecté. Donc, on peut supprimer de D tous les di correspondant à ce cas. La

102 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
sous-séquence résultante est composée de n − 2 − t entiers (éventuellement nuls) dont
la somme vaut : |F | = |RS \ A| = |RS|−|B| = l − b.
Toute séquence de k ≥ 1 entiers (éventuellement nuls) dont la somme vaut s ≥ 1
peut être représentée (en temps linéaire) par une chaîne binaire de longueur k − 1+s
possédant k − 1 bits à “1” : chaque entier i est codé par une séquence de i “0” délimitée
par un “1”.
Par exemple, la séquence 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3 de 8 entiers dont la somme fait 9 peut
être codé par la chaîne binaire 00101110101101000.
De manière similaire, la séquence D ′ est codée par une chaîne binaire B2 telle que
#B2 = n−t+l−b−3
.Donc,connaissant T2, RS peut être représenté par les chaînes B1
l−b−1
et B2.
Lemme 6.3.3. Connaissant n, l, b, l’arbreT2 peut être codé àl’aide de cinq chaînes
binaires A1,...,A5, etpardes entiers p ∈ [1,l] et w ∈ [b, n − l], telsque :
A1 =
l − 1
, #A2 =
p − 1
p
w
, #A3 = ,
b
b − 1
n − l − w + p − b − 3
n − l − 2
#A4 =
, #A5 =
.
p − b − 1
p − b − 1
De plus, connaissant n, l, b le codage et le décodage de T2 s’effectuent en temps
linéaire.
Démonstration. Soit s le mot de Dyck codant T2 où 4 bits ont été ajoutés : une séquence
01 au début et à la fin de s. Lalongueur de s est donc 2n−2 (rappelons que T2 possède
n − 2 sommets. La chaîne s contient :
– n − 1 “0”.
– n − 1 “1”.
– l séquences 10 (le mot de Dyck codant T2 commence par un “1” et se termine par
un “0” et à chaque feuille correspond une séquence 10).
– l +1 séquences 01 (le mot de Dyck codant T2 contient exactement l − 1 séquences
01).
Le nombre de séquences 1101 dans s (se chevauchant potentiellement) vaut b,lenombre
de bourgeons.
Soit Xp l’ensemble des chaînes binaires de longueur 2n − 2, et de la forme
(A ′ iBi) p A ′ p+1 où les A ′ i sont les blocs maximaux de séquences 01, etA ′ 1 = A ′ p+1 =01.
Par exemple :
W = 01 B1 010101 B2 01... ...Bp 01 ,W ∈ Xp.
Notons que S ∈ Xp pour un certain paramètre p ≥ 1. LeschaînesA1,...,A5 sont
utilisées pour représenter les membres de Xp, etdoncenparticulier s.

6.3. Codage d’un graphe planaire à l’aide d’une super-triangulation103
Soit a ′ i ≥ 1 l’entier tel que A ′ i = (01) a′ i,pourchaquei∈ {1, 2,...,p+1}. La
séquence d’entiers non nuls a ′ 2,a ′ 3,...,a ′ p (rappelons que a ′ 1 = a ′ p =1)peutêtreutilisée
pour représenter tous les blocs A ′ i.Cette séquence peut être décrite par une chaîne
binaire A1 telle que #A1 = s p où s = p−1
i=2 a′ i.Comme toutes les séquences de 01
de s sont localisées dans les A ′ i, s =(l +1)−2. Donc#A1 = l−1
.Ilrestemaintenant
p−1
àdécrire les blocs Bi.
Pour chaque bloc Bi deux cas seulement peuvent se produire. Soit Bi contient
uniquement des “1” : Bi =1 + ,soitBise termine par au moins un “0” : Bi =1∗0 + .Dans
le premier cas (Bi =1 + ), A ′ iBiA ′ i+1 contient exactement un bourgeon (une séquence
1101) ,et exactement une séquence 10 (entre les blocs Bi et A ′ i+1). Dans le deuxième
cas (Bi =1∗0 + ), A ′ iBiA ′ i+1 contient exactement une séquence 10.
Une chaîne binaire A2 indique pour chaque bloc Bi, s’il se trouve dans le premier
cas ou le deuxième cas. Le premier cas apparaît b fois, donc #A2 = p
.Soitwle b
nombre de “1” utilisés dans les blocs Bi qui sont dans le premier cas (Bi =1 + ). Les
longueurs des blocs Bi du premier cas peuvent être décrites à l’aide d’une séquence de
b entiers non nuls dont la somme vaut précisément w. Donc,une chaîne binaire A3 telle
que #A3 = w
permet de représenter cette séquence.
b−1
Pour compléter la description des membres de Xp, ilresteàdéfinir les blocs Bi
qui se trouvent dans le deuxième cas. Il y a p − b blocs dans le deuxième cas et ils
sont de la forme 1∗0 + .Ilsuffitdedécrirelenombrede“0”etde“1”dechaqueblocBi
du deuxième cas. Le nombre de “1” restants dans ces blocs est (n − 1) − (l +1)−w. Comme le cas 2 apparaît p − b fois, une séquence contenant la longueur des séquences
de “1” (éventuellement égale à “0”) peut-être représentée par une chaîne binaire A4
telle que #A4 = (n−1)−(l+1)−w+p−b−1
.Leslongueurs des séquences de “0” peuvent être
p−b−1
représentées par une chaîne binaire A5 telle que #A5 = n−l−2
,carlenombre de “0”
p−b−1
des blocs Bi dans le cas 2 est (n − 1) − (l +1)(il y a l +1“0” dans les blocs A ′ i).
Ces chaînes binaires peuvent être clairement construites en temps linéaire.
Lemme 6.3.4. Chaque chaîne binaire S de longueur n peut être codée parchaîne S ′
de longueur log 2(#S)+O(n log(log(n))/ log(n)). Deplus,connaissant n, lecodage de
S en S ′ et le décodage de S ′ peuvent être effectués en temps et en espace linéaire à
l’aide d’un ordinateur RAM sur des mots de w ≥ log 2(n) bits.
Démonstration. L’idée principale est de partager S en blocs de taille identique b et
de coder chaque bloc de manière optimale. Le codage de chaque bloc prend un temps
exponentiel en b. Cependant, le codage de tous les blocs possibles peut être placé dans
un tableau une fois pour toutes en O(2O(b) )=O(n), pourunbsuffisamment petit.
L’optimalité du codage de S ′ dérive de l’optimalité du codage de chaque bloc par
super-additivité des binomiaux. Plus précisément, le codage s’effectue de la manière
suivante.
Soit b = ⌊log2(n) − log2(log2(n))⌋. Donc,lesopérations classiques sur les entiers
inférieurs à 2b peuvent être effectuées en temps constant puisque w ≥ b. Parlasuite
kp dénotera b
.Nousdevons construire quelques tableaux.
p

104 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
Nous construisons tout d’abord un tableau L tel que pour chaque p ∈ [0,b],L[p] =
⌈log 2(kp)⌉.Touslesnombres k0,k1,...,kb peuvent être calculés dynamiquement à l’aide
O(b 2 ) nombres codés sur b bits (Méthode de Pascal). Au total, la construction de L
coûte en temps de O(b 2 +
p log(log(kp))) = O(log 2 (n)), oùO(log(log(kp))) est le
coût du calcul de⌈log(kp)⌉ àpartir de la représentation binaire de kp (en utilisant une
recherche binaire et des masques).
Nous construisons un tableau P d’entiers plus petits que b tel que pour chaque
i ∈ [0..2 b [,P[i] est le nombre de “1” dans la représentation binaire de i. Letableau P
peut être construit en temps et en espace O(b2 b )=O(n). Toutefois, le temps peut être
réduit à O(b2 b/2 )=O( n log(n)) (ou même plus petit encore) en utilisant un tableau
P ′ pour des demi-mots de taille ⌈b/2⌉ bits. En effet, nous avons P [i] =P ′ [i/2 ⌊b/2⌋ ]+P ′ [i
mod 2 ⌊b/2⌋ ].
Pour chaque p ∈{0, 1,...,b},nouscalculons le tableau Dp (utilisé pour le décodage)
tel que, pour chaque i ∈ [0,kp[,Dp[i] est une chaîne binaire distincte de longueur
b possédant p “1”. Les chaînes de Dp sont ordonnées dans l’ordre lexicographique. La
génération de toutes les chaînes de Dp coûte en temps O(2 b )=O(n/ log(n)) et en espace
O(b2 b )=O(n) en parcourant toutes les chaînes binaires s ∈ [0, 2 b [ en incrémentant
la valeur et en remplissant la case correspondante de DP [s][ip] (et en mettant à jour
l’indice ip).
Finalement, nous construisons un tableau C (utilisé pour le codage) tel que pour
chaque s ∈ [0, 2 b [, C[s] contient l’indice i tel que DP [i] =s, oùp = P [s]. L’indice
i = C[s] est stocké sur b bits, bien que seulement les L[p] =⌊ log2(kp)⌋ bits les moins
significatifs de i sont utiles puisque i ∈ [0,kp[. Pourconstruire C, ilsuffitd’itérer
pour chaque p ∈ [0,b] et pour chaque i ∈ [0,kp[ : C[Dp[i]] = i. Unefois Dp et P
calculés, la construction de C coûte O( b
p=0 kp) =O(2 b )=O(n/ log(n)) en temps et
O(b2 b )=O(n) en espace.
Soit t = ⌊n/b⌋ le nombre de blocs de b bits de S. Sin n’est pas divisible par b, les
derniers (n mod b) bits sont traités séparément. Pour les procédures de codage et de
décodage, nous itérons t fois les étapes suivantes :
1. Lire le bloc suivant s de b bits de S (s peut être manipulé comme un index de
[0, 2b [).
2. Ecrire dans S ′ la valeur de P [s] comme un nombre binaire sur ⌈log2(b)⌉ bits.
3. Ecrire dans S ′ la chaîne composée des L[s] bits les plus significatifs de C[s].
Nous finissons le processus de codage en écrivant dans S ′ les n( mod b) bits de S
(s’ils existent).
La procédure de décodage est la suivante :
1. Lire dans S ′ les ⌈log2(b)⌉ bits pour former la valeur p.
2. Lire dans S ′ les L[p] bits suivants, représentant un entier i ∈ [0,kp[.
3. Ecrire dans S la chaîne Dp[i].
Nous finissons le processus de décodage en écrivant dans S les (n mod b) derniers
bits de S ′ (s’ils existent).

6.4. Nombre de graphes planaires non étiquetés 105
Les procédures de codage et de décodage prennent clairement un temps O(t) =
O(n/ log(n)), une fois que les tableaux L, P, Dp et C ont été générés. La validité du
codage et du décodage est assurée par la symétrie des procédures ci-dessus.
Il reste à montrer que la longueur de la chaîne S ′ n’excède pas log2(#S) +
O(n log(log(n))/ log(n)). Soitpile nombre de “1” dans le i-ième bloc de b bits de
S, pourtout i ∈{1, 2,...,p}. D’aprèsla procédure de codage, le nombredebitsécrits
dans S ′ pour le i-ième bloc est : ⌈log2(b)⌉+⌈log2(kpi ))⌉. Ensommant sur tous les blocs,
nous obtenons la borne supérieure suivante sur la longueur de S ′ :
t
i=1
(⌈log2 b⌉ + ⌈log2(kpi )⌉)+(n mod b) =
Observons que par super-additivité a a ′ a+a ′
. ≤ donc
b
t
i=1
kpi =
b ′
t
b
i=1
pi
≤
t
log2(kpi )
+ O(b + t log2 b) .
b+b ′
i=1
bt
i pi
= #S,
où ¯ S est la chaîne composée des tb premiers bits de S. Comme la longueur et le nombre
de “1” de S et de ¯ S ne diffèrent que d’au plus b, ils’ensuitque| log 2(#S)−log 2(# ¯ S)| =
O(b log 2(n)). Parconséquent, nous obtenons que la longueur de S ′ est au plus de :
log2 t
i=1
kpi
+ O(b + t log b) ≤ log2(#S)+O(n log2(log2(n))/ log2(n)). 6.4 Nombre de graphes planaires non étiquetés
Cette section est dédiée aux résultats suivants :
Théorème 6.4.1. Tout graphe plan maximal et tout graphe planaire connexe à n
sommets peuvent être représentés par une chaîne binaire de longueur au plus 3, 37n bits
et 5, 03n bits respectivement. De plus, le codage et le décodage peuvent être effectués en
temps linéaire.
Théorème 6.4.2. Le nombre p(n) de graphes planaires non étiquetés à n sommets,
satisfait, pour n suffisamment grand la double inégalité suivante :
avec α ≈ 5, 007 et β ≈ 4, 710.
βn − Θ(log n) ≤ log 2 p(n) ≤ αn + O(log n)

106 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
La borne inférieure du théorème 6.4.2 vient du nombre g(n) de graphes planaires
2-connexes étiquetés. Clairement, p(n) ≥ (g(n)/n!). L’asymptotique suivante a été
prouvée dans [BGW99] :
g(n) ∼ Θ(n −7/2 ) c −n n!
où c ≈ 0, 03819. Ilensuitquepour n suffisamment grand,
log 2 p(n) ≥ log 2
g(n)
n!
= βn − 7
2 log 2 n + O(1), with β = − log 2 c ≈ 4, 71066.
Majorons maintenant le nombre de graphes planaires. Soit q(n) le nombre de
graphes planaires connexes non étiquetés à n sommets. Pour relier p(n) à q(n), nous
représentons chaque graphe planaire G à k ≥ 1 composantes connexes par le triplet
(k, t(G),v), oùt(G) et v sont définis de la manière suivante. Soit ui un sommet (qui ne
soit pas un sommet d’articulation) de la i-ième composante connexe de G. Ilest clair
qu’un tel sommet peut toujours être trouvé en prenant, par exemple, une feuille d’un
arbre recouvrant de la composante connexe. Le graphe t(G) est obtenu en fusionnant
toutes les composantes connexes de G :onidentifie tous les sommets ui en un seul
sommet v. Clairement, t(G) est un graphe planaire connexe. On peut obtenir le graphe
G àpartir de (k, t(G),v) en divisant le sommet v de t(G). Touteslesk ′ ≤ k composantes
connexes obtenues de cette manière sont comprises dans G (on ne risque pas de
déconnecter une composante connexe de G, car les sommets ui ne sont pas des sommets
d’articulation). Pour reconstruire complètement G, onpeutêtre amené à ajouter k ′ −k
sommets isolés. Le nombre de sommets de t(G) est n − (k ′ − k) − k ′ +1=n − k +1.
La figure 67, montre un graphe non connexe G et sa représentation par le triplet
(k, t(G),v).
u 4
u 5
u 3
u 6
u 2
u 1
G t(G)
Figure 67 – Représentation d’un graphe planaire non connexe par le triplet (k, t(G),v).
De cette représentation, on déduit l’inégalité suivante :
p(n) ≤
n
k · q(n − k +1)· (n − k +1) ≤ n 3 q(n) (4)
k=1
car q(n) est une fonction croissante de n. Donc,pourprouver le théorème 6.4.2, il reste
àprouverque pour n suffisamment grand,
log 2 q(n) ≤ αn + O(log n), pour une constante α ≈ 5, 007. (5)
v

6.4. Nombre de graphes planaires non étiquetés 107
6.4.1 Fonction entropie
Considérons la majoration suivante (voir par exemple [Bol78, P. 255]) :
x
<
y
y x−y x x
x
rx
x−rx
x
=
=
y x − y rx x − rx
1
r
r
1−r
x
1
=
1 − r
2 H(r)x
où r = y
et H est la fonction entropie de r, définie pour r ∈ [0, 1] par :
x
H(r) :=−rlog2 r − (1 − r)log2(1 − r), et avec H(0) := H(1) := 0 .
Donc pour tous n, c1,c2 > 0 :
1
n log 2
c1n
c2n
≤ c1H(c2/c1) . (6)
Du théorème 6.3.1, il ressort que chaque graphe planaire connexe G à n sommets et
m arêtes peut être représenté par huit chaînes binaires A1,...,A5,B1,B2,C1 décrites
dans les lemmes 6.3.3, 6.3.2 et 6.3.1 ainsi qu’un nombre constant d’entiers sur O(log(n))
bits. Soit Q défini de la manière suivante :
Q := max
ℓ,b,t,w,p log2 (#A1 ···#A5 · #B1 · #B2 · #C1)
où ℓ, b, t, w, p sont des entiers de l’intervalle [0,n] définis dans les lemmes 6.3.3, 6.3.2
et 6.3.1, et q(n, m) est le nombre de graphes planaires connexes à n sommets et m arêtes.
De cette représentation par huit chaînes binaires, on en déduit
log 2 q(n, m) ≤ Q + O(log 2 n) . (7)
Comme q(n) ≤ 3n−6 m=n−1 q(n, m) ≤ 2n maxm q(n, m), pourprouver l’équation (5) et
calculer α, ilsuffitd’analyser la valeur de Q. Soientλ = l
f(λ) :=max
b,t,w,p
n et
1
n log 2 (#A1 ···#A5 · #B1 · #B2)
Plus simplement, f(λ)n représente le nombre de bits utilisés pour coder la paire (T2,RS)
et donc par le théorème 6.3.1, le nombre de bits qui codent la super-triangulation S.
Notons que seulement n, m et l (rappelons que l = λn) apparaissent dans l’expression
de #C1. Donc,pardéfinition de Q, nousavons:
Q = max f(λ)n + max
0≤λ≤1
n

108 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
Ainsi, en utilisant cette majoration de #C1 dans l’équation (8), nous obtenons :
1
n
(Q − O(log n)) ≤ max
0≤λ≤1
1≤µ≤3
f(λ)+(1+λ) · H
3 − µ
1+λ
. (9)
L’étude de la fonction f peut être effectuée en exprimant chaque binomial à l’aide
de la fonction entropie. Dériver la fonction et résoudre les équations est un calcul
lourd. L’expression clause de f(λ) est assez longue. A l’aide d’un solveur formel (voir
en annexe la feuille de calcul complète 1 ), nous obtenons le comportement de f (voir
figure 68).
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figure 68 – Comportement de f(λ) et f ′ (λ).
Le maximum de f(λ) et atteint pour λ =λ0, solutiondel’équation de degré 5
suivante :
21λ 5 − 49λ 4 +47λ 3 − 24λ 2 +7λ − 1=0.
Dans l’intervalle [0, 1], nousobtenons une unique solution λ0 ≈ 0, 622900 et f(λ0) ≈
3, 374449.
Démonstration du théorème 6.4.1. D’après le lemme 6.3.4, chacune des chaînes
apparaissant dans Q peut être compressée de manière asymptotiquement optimale. Le
n log(log(n))
graphe G peut alors être codé en temps linéaire avec au plus Q + O( ) bits,
log(n)
car la somme des longueurs des chaînes codant G est en O(n).
Si G est une triangulation, alors m =3n−6. Doncµ =3et l’équation (9) se réécrit
en :
1
(Q − O(log n)) ≤ max
n 0≤λ≤1 f(λ) = f(λ0) ≈ 3, 37
ce qui prouve que les triangulations peuvent être représentées en temps linéaire avec
asymptotiquement 3, 37n bits.
1 Cette feuille est également disponible à l’adresse suivante :
http : //www.labri.fr/ gavoille/article/BGH02.mws

6.4. Nombre de graphes planaires non étiquetés 109
Le maximum de la borne supérieure sur Q dans l’équation (9) est atteint pour
µ = 1
1
1
(5 − λ), puisque H(r) est maximum pour r = (et nous avons H( )=1). Donc
2 2 2
les graphes planaires connexes peuvent être représentés en temps linéaire asymptotiquement
avec Q bits tels que :
1
(Q − O(log n)) ≤ max {f(λ)+1+λ} .
n 0≤λ≤1
Les calculs nous ramènent à la résolution de l’équation de degré 7 suivante :
275λ 7 − 1430λ 6 + 2884λ 5 − 2986λ 4 + 1767λ 3 − 614λ 2 +118λ − 10 = 0 .
Dans l’intervalle [0, 1], nousobtenons une unique solution λ1 ≈ 0, 699017. Nousavons
donc f(λ1)+1+λ1 ≈ 5, 036013. Donc un graphe planaire connexe peut être représenté
en temps linéaire à l’aide de 5, 03n bits. Notons que les graphes qui atteignent un
codage en 5, 03n bits possèdent asymptotiquement 1
2 (5 − λ1)n ≈ 2, 15n arêtes.
Démonstration du théorème 6.4.2. D’après le théorème 6.4.1 , nous avons déjà 5, 03
comme borne supérieure de α. Pouraméliorerunpeucette borne, nous observons
qu’une triangulation possède une seule super-triangulation (voir théorème 6.2.1). Donc
nous pouvons alternativement représenter la super-triangulation soit en utilisant notre
représentation (donnée dans le théorème 6.3.1) à l’aide de (T2,RS) (ceci pouvant être
codé en f(λ)n+O(log(n)) bits), soit nous pouvons utiliser un codage théorique optimal
en nombre de bits de la triangulation sous-jacente de S en ⌈log2(Tn)⌉ bits où Tn désigne
le nombre de triangulations enracinées. Le théorème 6.2.1 nous assure que l’on peut
reconstruire de manière unique S àpartir d’une triangulation.
D’après la formule de Tutte (voir chapitre 1 section 1.1), pour tout n ≥ 3,
Tn =
2(4n − 11)!
(n − 2)!(3n − 7)! =
2 4n − 11
(3n − 8)(3n − 7) n − 2
≤
4n
n
Donc,
1
n log2(Tn) ≤ 4H(1/4) = 8 − 3log23 ≈ 3, 245112
Apartir des deux représentations d’une triangulation, l’équation (9) se réécrit en
1
n
(Q − O(log n)) ≤ max
0≤λ≤1
1≤µ≤3
min {f(λ), 4H(1/4)} +(1+λ) · H
3 − µ
1+λ
.
. (10)
Comme H( 3−µ
1+λ ) ≤ 1 et que log 2(q(n, m)) ≤ Q + O(log(n)), l’équation (10) s’écrit
1
n (log2 q(n) − O(log n)) ≤ max {min {f(λ), 4H(1/4)} +1+λ} .
0≤λ≤1
Dans l’intervalle [0, 1], l’équation f(λ) =4H( 1)
possède deux solutions (voir figure 68).
4
Numériquement, ces solutions sont λ2 ≈ 0, 478207 et λ3 ≈ 0, 762116. Lesvaleursλ0et

110 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
λ1 maximisent respectivement f(λ) et f(λ) +1+λ donc f ′ (λ0) =0et f ′ (λ1) =−1.
Les fonctions f et f ′ décroissent pour λ ∈ [λ0, 1] (voir figure 68). Donc, f ′ (λ3) ≤−1
puisque λ3 >λ1. Ceci signifie que pour λ ∈ [λ3, 1], leterme f(λ) décroît plus que le
terme 1+λ ne croît. En d’autres termes :
Donc,
∀ λ>λ3, f(λ)+1+λ < f(λ3)+1+λ3 = 4H(1/4) + 1 + λ3 .
max
0≤λ≤1 {min {f(λ), 4H(1/4)} +1+λ} = 4H(1/4) + 1 + λ3 ≈ 5, 007228 .
En fixant α =4H( 1
4 )+1+λ3, nousavons donc prouvé que log 2(q(n)) ≤ αn+O(log(n)),
et aussi que log 2(q(n)) ≤ αn + O(log(n)) avec α ≈ 5, 007. Ceci complétant la preuve
du théorème 6.4.2.
6.4.2 Nombre d’arêtes d’un graphe planaire aléatoire
Théorème 6.4.3. Presque tous les graphes non étiquetés et presque tous les graphes
étiquetés de n sommets ont au moins 1, 70n arêtes et au plus 2, 54n arêtes. Ce résultat
est également valable pour les graphes connexes étiquetés ou non étiquetés.
Démonstration. Soient m1 =1, 70n, m2 =2, 54n et I =[m1,m2]. Soitl(n, m) (resp.
p(n, m)) lenombredegraphes étiquetés (resp. non étiquetés) à n sommets et m arêtes.
On notera l(n) le nombre de graphes planaires étiquetés à n sommets.
Nous concentrons notre attention dans un premier temps sur la première affirmation
du théorème 6.4.3. Nous avons à prouver que :
lim
n→+∞
m∈I
p(n, m)
p(n)
= 1 et lim
n→+∞
m∈I
l(n, m)
l(n)
= 1 .
Comme p(n) = m ∈ Ip(n, m) + m ∈ Ip(n, m), et l(n) =
m ∈ Il(n, m) +
m ∈ Il(n, m), nousdevons prouver que :
p(n, m) = o(p(n)) et
l(n, m) = o(l(n)) . (11)
m/∈I
Pour prouver l’équation (11), nous relions p(n, m) et l(n, m) à q(n, m), nombresintroduits
dans l’équation (7).
Comme nous l’avons vu précédemment, un graphe planaire non étiqueté G peut
être représenté par le triplet (k, t(G),v) où t(G) est un graphe connexe qui possède le
même nombre d’arête que G.c Comme le nombre d’arêtes d’une composante connexe
de G avec η sommets dans l’intervalle [η − 1, 3η − m], lenombrek de composantes
m/∈I

6.4. Nombre de graphes planaires non étiquetés 111
connexes de G est au moins k1 =max{1,n− m}, etauplusk2 = n −⌈m⌉−1 si m ≥ 2
3
et k2 = n −⌈m⌉ sinon. Ainsi l’équation (4) s’étend de la manière suivante :
3
∀n, m ≥ 0,p(n, m) ≤
k2
k=k1
k · q(n − k +1,m) · (n − k +1) ≤ n 2
k2
k=k1
q(n − k +1,m) .
Pour les graphes planaires étiquetés, nous utilisons la représentation de G par un
quadruplet (k, t(G),v,L), oùL est un tableau de n entiers compris entre 1 et n. Chaque
élément du tableau contient l’étiquette de chaque sommet de G. Laconstruction est
similaire au cas non étiqueté. Toutes les k composantes connexes de G sont fusionnées à
l’aide d’un sommet v (le sommet fusionné de chaque composante connexe est choisi pour
ne pas être un sommet d’articulation). Le graphe t(G) est un graphe planaire connexe
non étiqueté, et possède n − k +1sommets et m arêtes. Soient u1,u2,...,un−k+1 les
sommets de t(G) ordonnés de manière arbitraire. Soient C1,C2,...,Ck ′ les composantes
connexes de G qui ne sont pas des sommets isolés. Nous devons ordonner ces
composantes connexes sur la base de t(G), sansinformation sur les étiquettes de G.
Les sous-graphes Ci sont ordonnés tels que Ci \{v} contienne le sommet uz ayant le
plus petit indice z parmi les sommets de {u1,u2,...,un−l+1}\∪ i−1
j=1 Cj−1. Parconvention,
C0 = {v}. Parexemple, C1 \{v} doit contenir u1 ou u2 si v = u1. Pourchaque
i ∈{1, 2,...,n− k +1}, L[i] contient l’étiquette de ui dans G, aveclaconventionque
l’étiquette de v = ui0 est affectée comme si v appartient à C1 dans G. Alors, pour
chaque i ∈{2, 3,...,k ′ }, L[n − k + i] est l’étiquette de v car v appartient à Ci dans G.
Pour finir les éléments L[n − k + k ′ +1],...,L[n] sont les étiquettes des sommets isolés
de G. Lareconstruction du graphe sous-jacent non étiqueté de G peut être effectuée
comme précédemment à l’aide du triplet (k, t(G),v) (voir figure 67). Alors, il n’est pas
difficile de voir que L permet d’assigner correctement les étiquettes de G. Apartirde
cette représentation, nous avons alors les inégalités suivantes :
l(n, m) ≤
k2
k=k1
k · q(n − k +1,m) · (n − k +1)· n! ≤ n 2 · n! ·
k2
k=k1
q(n − k +1,m) .
Maintenant, établissons une borne supérieure pour q(n, m), pourchaquem∈ [n −
1,m1[∪]m2, 3n − 6]. Parcommodité, nous définissons h(µ) :
3 − µ
h(µ) := max min {f(λ), 4H(1/4)} +(1+λ) · H
.
0≤λ≤1
1+λ
Apartir de l’équation (7), log 2(q(n, m)) ≤ Q + O(log n), etàpartirdel’équation (10)
du théorème 6.4.1 nous obtenons :
log 2 q(n, m) ≤ h(m/n) · n + O(log n) .
Nous vérifions que h(m1/n) et h(m2/n) sont strictement plus petits que β ≈ 4, 71066
(constante définie dans l’équation (5) ) (voir figure 6.4.2). De plus, pour chaque m ∈

112 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires
[n − 1,m1[,h(m/n) ≤ h(m1/n) et pour chaque m ∈]m2, 3n − 6],h(m/n) ≤ h(m2/n).
Donc,
∀ m ∈ [n − 1,m1[∪]m2, 3n − 6], q(n, m) ≤ 2 (β−δ)n ≤ g(n)
n! 2−δn
où δ est une constante telle que 0

6.5. Conclusion 113
En fait nous avons de manière similaire,
|An,m| ≤
g(n)
p(n, m) = o
n!
m/∈I
m/∈I
= o
m≥0
|An,m|
La même équation est également vérifiée pour Bn,m. Enparticulier elle est vérifiée pour
les graphes planaires connexes étiquetés et connexes non étiquetés.
6.5 Conclusion
Un problème intéressant laissé ouvert dans ce chapitre est de déterminer si l’approche
utilisée ici (représenter un graphe planaire par une triangulation appropriée et
l’ensemble des arêtes devant être supprimées) permet d’atteindre la borne optimale sur
le nombre de bits suffisants pour coder d’un graphe planaire à n sommets.
Nous pensons que la borne peut être améliorée en utilisant à nouveau l’approche
par triangulation. En effet, notre codage des triangulations utilise 3, 37n bits alors que
3, 24n bits sont théoriquement suffisants. Un gain hypothétique de 0, 13n bits serait possible
nous amenant ainsi à un codage des graphes planaires en (5, 00 − 0, 13)n =4, 87n
bits. Indépendamment le nombre de feuilles l de T2 dans une triangulation aléatoire
est proche de la valeur obtenue dans notre codage dans le pire des cas : l ≈ 0, 62n.
L’ensemble MS pourrait donc être codé avec n + l =1, 62n bits (nous avons besoin
de n bits pour décrire les arêtes de T2 qui sont dans G et l bits pour les arêtes de
T1 quittant une feuille de T2 qui sont également dans G). Ceci nous donnerait un codage
en (3, 24 + 1, 62)n =4, 86n bits pour les graphes planaires aléatoires. Comme une
conjecture doit être simple, et puisque nous avons la coïncidence numérique suivante,
4, 85 ≈ 5H(2/5), nousproposons :
Conjecture 6.5.1. Pour n assez grand,
5n
p(n) ≤ ,
2n
où p(n) désigne le nombre de graphes planaires non étiquetés à n sommets.
.

114 Chapitre 6. Majoration du nombre de graphes planaires

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Index
Symbols
i ccw ................................15
Chi(u)..............................15
Chi(u, k) ...........................15
H(r) ..............................107
Kn ...................................8
L(P ) ...............................13
Pi(u) ...............................15
R+(G) ..............................20
R−(G) ..............................20
S+ ..................................19
S− ..................................19
Tn ..................................10
Vn ..................................45
Vn(k) ...............................52
W p
l .................................58
mathcalRn ......................... 31
#f(uk) .............................47
δ ...................................44
λ0 .................................108
λ1 .................................109
λ2 .................................109
λ3 .................................109
λ ..................................107
≤ccw ................................12
≤cw .................................12
≤ccw ................................12
≤cw .................................12
¯Hw(l, i, p) ...........................66
¯Hw(l, p).............................66
¯Hnw(l, i, p) ..........................66
¯Hnw(l, p)............................66
¯Ti...................................15
∆...................................53
122
∆+ .................................53
∆− .................................53
deg(v) ...............................7
deg + (v) ..............................8
deg − (v) ..............................8
f1-flippable.........................40
open(k, f) ..........................44
p(n) ................................87
ppac(u, v) ...........................11
xL(v) ...............................79
xR(v) ...............................79
étoile ...............................55
étoile avec mur ..................... 55
3-orientation ........................18
A
acyclique.............................8
AddFirst(L, e)......................50
alphabet............................44
ancêtre .............................11
anti-symétrie ....................12, 36
arête
dorsale..........................27
externe...........................9
frontale .........................27
non-apparentée .................27
arête multiple........................7
arête racine ..........................9
arêtes ................................7
arêtes pertinentes ...................98
arbre ...............................10
ordonné enraciné ................11
arbre recouvrant bien-ordonné ......88
arbre recouvrant ordonné ...........38
arbres binaires jumeaux .............64

INDEX 123
arc
rentrant ..........................8
sortant ...........................8
arcs ..................................8
B
basculement ........................93
biconnexe ............................8
bien-ordonné........................89
borné...............................13
borne
inférieure .......................14
supérieure ...................... 13
boucle............................7, 63
bourgeon ...........................99
branche.............................55
branche droite d’un arbre ...........11
branche droite d’un sommet. . . ......11
branche gauche d’un arbre ..........11
branche gauche d’un sommet. . . .....11
C
caractéristique d’Euler ..............10
carte.................................7
planaire ..........................9
ccw-face............................17
ccw-triangle.........................17
chemin...............................8
longueur .........................8
chemin deDyck.................43, 44
cible .................................8
clique ................................8
complet..............................8
concat(L1, L2) ......................50
condition locale .....................15
connexe ..............................8
couvre ..............................13
cw-face.............................17
cw-triangle..........................17
cycle.................................8
D
déviation ...........................55
degré ................................7
rentrant ..........................8
sortant ...........................8
Del(L, i) ............................50
demi-flips...........................40
descendant. . . .......................11
dessin
hauteur.........................75
largeur..........................75
lignes brisées . ...............73, 75
lignes droites....................73
planaire lignes brisées ...........75
dessin planaire . ......................8
dessins orthogonaux ................ 74
dessins plans. .......................73
diagramme de Hasse ................13
digraphe ...........voir graphe orienté
dimension...........................13
domaine............................12
E
enfant ..............................10
ensemble partiellement ordonné . ....12
EPO ............................12, 32
élément maximal. . . . ............13
élément minimal . ...............13
EPO d’incidence....................13
extension linéaire...................12
F
face ..................................9
adjacente ........................9
extérieure ........................9
intérieure ........................9
strictement intérieure . . ..........9
face tricolore........................17
facteur gauche......................44
feuille. . . ............................11
fg-langage .......................... 58
fixé.................................80
flip diagonal . .......................32
flippable............................40
flips ................................ 31

124 INDEX
flips diagonaux coloriés .............32
fonction entropie...................107
frères ...............................11
G
glb ................................. 14
graphe ...............................7
dual ............................10
plan
maximal .......................9
planaire ..........................8
maximal .......................9
graphe orienté .......................7
graphe plan ..........................9
graphe-multiple......................7
H
hauteur.............................66
I
idéal ................................13
K
k-connexe
connexe ..........................8
k-dégénéré ..........................22
L
langage de Dyck . . ..................44
lettres ..............................44
libre ................................91
longueur d’un mot ..................44
lub .................................13
M
mot.................................44
N
nivelage.............................78
hauteur.........................78
niveau ..........................78
nombre de montées .................65
non-apparentés .....................27
nœud interne .......................11
nœuds ..............................10
O
orderly spanning tree ...............38
ordonné.............................27
Ordre Canonique ...................18
ordre partiel ........................12
ordre postfixe anti-trigonométrique. .11
ordre postfixe trigonométrique . . . . . . 11
ordre préfixe anti-trigonométrique . . . 11
ordre préfixe trigonométrique .......11
P
pôle d’une face......................38
paire de chemins de Dyck ne se coupant
pas......................43, 45
paire de mots de Dyck ne se coupant pas
45
paire ordonnée......................27
parent ..............................11
partiellement bien-ordonné . .........92
pastèque ............................55
pastèque avec mur ..................55
pic..................................45
plus petit ancêtre commun ..........11
polyomino..........................61
convexe.........................61
horizontalement convexe . .......61
largeur..........................62
polyominos jumeaux ............62
verticalement convexe . . . . .......61
polyomino parallélogramme .........61
profondeur..........................11
promeneurs méchants ...............55
propriété branche ...................21
R
réaliseur ..................2, 12, 14, 25
maximal........................20
minimal.........................20
réaliseur étoile ..................44, 45
réaliseurs étoiles ....................45
réflexivité .......................12, 34
racine...............................10
recoloration .........................19

INDEX 125
S
séquence préfixe deflips.........44–46
sommet
externe...........................9
sommet d’articulation . ...............8
sommets .............................7
source ...............................8
sous-diagonale . .....................63
sous-graphe ..........................7
sous-graphe induit ...................7
SPF................................46
Split(L, i)...........................50
stratification........................75
stratification-faible..............75, 78
super-graphe .........................7
super-triangulation ................. 95
T
total................................12
transition...........................58
transitivité......................12, 36
treillis ..............................14
treillis distributif. . . .................14
triconnexe ...........................8
V
voisin ................................7
W
watermelon .........................55

Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs
des graphes plans maximaux
Résumé : Les réaliseurs, ou arbres de Schnyder, ont été introduits par Walter Schnyder
à la fin des années 80 pour caractériser les graphes planaires, puis pour dessiner
ces mêmes graphes sur des grilles (n − 2) × (n − 2).
Dans ce document nous proposons dans un premier temps une extension du théorème
de Wagner aux réaliseurs, qui nous permet d’établir une relation entre le nombre
de feuilles et le nombre de faces tricolores d’un réaliseur.
Ensuite, à l’aide d’une bijection entre les réaliseurs et les paires de chemins de Dyck
qui ne se coupent pas, nous énumérons les réaliseurs. Un algorithme de génération
aléatoire de p chemins de Dyck ne se coupant pas, est également présenté. Il permet
en outre de générer aléatoirement des réaliseurs en temps linéaire.
Puis nous montrons que grâce aux réaliseurs, il est possible de dessiner, à l’aide de
lignes brisées des graphes planaires sur des grilles de largeur et de surface optimales.
Enfin, nous proposons une généralisation des réaliseurs minimaux aux graphes planaires
connexes : les arbres recouvrants bien-ordonnés. Grâce à cette généralisation
ainsi qu’à une méthode de triangulation adaptée nous proposons un algorithme de
codage des graphes planaires à n sommets en 5, 007n bits.
Mots clés : Réaliseurs, Arbres de Schnyder, Dessin de graphes, Théorème de Wagner,
flip diagonal, Pastèque, génération aléatoire uniforme, énumération graphes planaires
Discipline : Informatique
LaBRI,
Université Bordeaux 1,
351, cours de la libération
33405 Talence Cedex (FRANCE)

Algorithmic and combinatorial aspects of maximal
plane graphs realizers
Abstract : The realizers, or Schnyder trees, have introduced by Walter Schnyder in
the late 80’s to give a characterization of planar graphs and to draw them on (n − 2) ×
(n − 2) grids.
In this document, we first give an extension of Wagner’s theorem to realizers. Using
this theorem we establish a relationship between the number of leaves and the number
of 3-colored faces of a realizer.
Abijection between realizers and pairs of non-crossing Dyck path give us an enumeration
of realizers. An algorithm generating p non-crossing Dyck paths, is also proposed.
It allows us to generate randomly realizers in linear time.
Then, we show that thanks to realizers, we can draw plane graphs with polylines
on grids of optimal width and area.
Finally, we propose a generalization of minimal realizers to connected planar
graphs : well-orderly spanning trees. Using this generalization and with a particular
triangulation algorithm, we present a new 5.007n bit planar graph encoding.
Keywords : Realizers, Schnyder’s trees, graph drawing, polyline drawings, Wagner’s
theorem, diagonal flip, watermelon, uniform random generation, planar graph enumeration
Discipline : Computer-Science
LaBRI,
Université Bordeaux 1,
351, cours de la libération
33405 Talence Cedex (FRANCE)