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La matrice de transition P (pij) exprime les différentes probabilités de passage en un saut d'un
état à un autre:
1. La matrice P est une matrice stochastique: autrement dit
2. Le produit de deux matrices stochastiques P1, p2 donne une matrice P3 elle-même
stochastique
3. Si l'on note pij (n) , la probabilité de passer en n sauts de l'état Ei à l'état Ej, on vérifie que:
P (n) = P n
4. Si P est une matrice régulière, c'est-à-dire si elle admet au moins une puissance telle que
tous les termes soient strictement positifs, alors P n tend vers une matrice W dont les lignes
sont toutes égales entre elles: c'est-à-dire vers un état stationnaire.
Pour simplifier, considérons un marché obligopolistique M, que 3 firmes F1, F2, F3 se
partagent dans les proportions suivantes:
F1 détient 50 %
F2 détient 30 %
F3 détient 20 %
le vecteur Vo = (1/2, 3/10, 1/5) représente ces P.M. à l'instant to.
On se propose de déterminer la répartition du marché à l'instant t1 donc le vecteur V1; pour
cela, il a été procédé à une enquête auprès d'un échantillon significatif afin de connaître la
mobilité de la demande: d'où la matrice P:
qui donne lieu à un graphe fortement connexe: (5)