Labellisation d'images par méthodes fractales - UFR Mathématiques ...

peut être par approximation une droite de pente1 − D . Pour une courbe qui est une droite
on a D = 1 .
La dimension fractale nous informe sur la relation entre le nombre de sous parties
similaires et leurs tailles successives (de plus en plus petites au fil des échelles). Cela
permet d’obtenir une notion de dimension, éventuellement non entière, et pourtant
cohérente avec l’approche que nous en avons communément. En effet, plus la dimension
fractale d’une forme est proche de 2, plus cette forme va tendre vers une surface, plus
cette valeur sera proche de 3, plus elle se rapprochera d’un volume. Si nous appliquons
cette mesure au flocon de von Koch, nous obtenons une valeur d’approximativement
1,26, ce qui correspond à son processus de formation (un segment de taille L, divisé en 4
log(
4)
parties de taille L/3), d’où D = = 1,
26 .
log 3
( )
Cas 1D : Nous considérons une droite
qu’on découpe en N parts égales, le ratio
entre la droite d’origine et ses sous parties
est r 1
( D=
1 )
= et N . r = 1.
N
Cas 2D : Nous considérons un carré
qu’on divise en N carrés de même taille,
1 ( D=
2 )
r = 1/
2 et N . r = 1
N
Cas 3D : on considère un cube qu’on
divise en N cubes de même taille,
r = 1 ( D=
3 )
1/
3 et N . r = 1
N
Cas N D : pour un objet à N dimensions
D
on a N . r = 1 ce qui nous amène
log(
N )
à D = .
log(
1 ) r
Figure 3-0 Définition intuitive de la dimension fractale pour des ensembles
autosimilaires et lien avec la notion usuelle de dimension.
La dimension fractale peut être généralisée à autre chose que la mesure de distance
dans le domaine spatial. Nous pouvons également nous en servir pour caractériser le
comportement d’une mesure en fonction de l’échelle d’observation. Dans le cas où l’objet
observé est fractal (au sens de la mesure choisie), l’observation de cette évolution est
représentée par une droite de pente D dans un graphe log-log, avec
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