Fonction logarithme neperien - Examen corrigé

3 équations et Inéquations avec logarithme népérien
3.1 activité
A. Equations
1. Résoudre l’équation lnx = 2 :
a. Graphiquement à 10 −1 grâce à la courbe donnée ci dessous.
2
1
0
−1
yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−2
b. Numériquement à10−2 x
grâce au tableau de valeurs de la calculatrice.
lnx
⎧
⎨ • lne = 1
c. Algébriquement grâce aux propriétés suivantes (a > 0, b > 0) : • lna
⎩
b = blna
• lna = lnb ⇐⇒ a = b
(Aide : 2 = 2×1), résolution en valeur exacte puis à 10−4 près.
2. Soit a > 0 un nombre réel positif strict, montrer que : lnx = a ⇐⇒ x = e a
3. En déduire une résolution algébrique de chacune des équations suivantes.
a. lnx = 2,5
b. lnx = −2
c. 2lnx+2 = 0
B. Inéquations
d. 10(lnx+1)−10 = 0
1. Déduire des variations de la fonction ln et du 1.c. l’ensemble des solutions de l’inéquation
lnx > 2
2. Grâce à la propriété : (a > 0 , b > 0) : a > b ⇐⇒ lna > lnb, montrer que : lnx > a ⇐⇒
x > e a
3. En déduire les ensembles de solutions des inéquations suivantes. ( penser au domaine
de définition)
a. lnx > 10
b. lnx < 10
c. lnx < −10
d. lnx > 0
xi