Fonction logarithme neperien - Examen corrigé

x 0 5 40 annulations :
x+2 + | + x+2 = 0 ⇐⇒ x = −2 ( hors tableau)
0,4x−2 - 0 + 0,4x−2 = 0 ⇐⇒ x = 2
= 5
f ′ (x) - 0 +
3,06 10,54
f(x) ց ր
1,55
f(0) = 0,4×0+5−2,8ln(0+2) ≃ 3,06 à 10 −2
2. il suffit de résoudre l’équation : coefficient directeur de D = coefficient directeur de △
soit : 0,3 = f ′ (x)
f ′ (x) = 0,3 ⇐⇒ 0,4x−2
= 0,3 ⇐⇒ 0,3(x+2) = 0,4x−2 ⇐⇒ 0,3x+0,6 = 0,4x−2
x+2
−0,1x = −2,6 ⇐⇒ x = −2,6 ✄
= 26 donc
−0,1 ✂x
= 26 ✁
3. Voir graphique pour la construction de ∆
Partie B :
1. Il faut construire ✄
✂5
villas ✁pour
que le coût soit minimal.
Le montant de ce coût est alors de ≃ ✄
✂1550000
euros ✁
2. Graphiquement, le nombre minimal de villas qu’il faut construire pour réaliser un bénéfice
est ✄
✂6
✁(R
> C)
3. Graphiquement, le bénéfice maximal correspond au plus grand écart entre les courbes
de R etC, on trouve alors ✄
✂x
= 26 ✁villas
et un bénéfice de ✄
✂≃
1700000 euros ✁
Partie C :
✞
☎
1. B = R−C donc B(n) = 0,3n−(0,4n+5−2,8ln(n+2)) = −0,1n−5+2,8ln(n+2)
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2. a. Etude des variations de g définie sur [0 ; 40] par g(x) = −0,1x−5+2,8ln(x+2)
• Calcul de la dérivée :
g(x) = −0,1x−5+2,8lnu
g ′ (x) = −0,1+0+2,8 u′
u avec
u(x) = x+2
u ′ (x) = 1
d’où : g ′ (x) = −0,1+ 2,8
x+2
• Annulation et signe de la dérivée, variations de g sur [0 ; 40] :
g ′ (x) = −0,1− 2,8 −0,1(x+2)+2,8
=
x+2 x+2
x 0 26 40
x+2 + | +
−0,1x+2,6 + 0 -
g ′ (x) + 0 -
1,73
g(x) ր ց
-3,06 1,47
g(0) = −0,1×0−5+2,8ln(40+2) ≃ 1,47 à 10 −2
b. g(x) est maximal pour ✄
✂x
= 26 ✁
0,4
= −0,1x+2,6
, on utlisise un tableau de signes.
x+2
Annulations :
x+2 = 0 ⇐⇒ x = −2 ( hors tableau)
−0,1x+2,6 = 0 ⇐⇒ x = −2,6
= 26
−0,1
c. g(x) = 0 ⇐⇒ le bénéfice est nul ⇐⇒ recette = coût ⇐⇒ D et ∆ se coupent, ce qui est
la cas pour x = α où ✞
☎
α compris entre 5 et 6 car g(5) < 0 et g(6) > 0
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