Fonction logarithme neperien - Examen corrigé

Corrigé devoir Maison
Exercice 1 : Ajustement affine et changement de variable logarithmique (2006)
1. Rang de l’année : ti 0 5 10 15 20 25
yi = lnpi 1,609 1,723 1,808 1,917 2,028 2,128
2. ✞ ☎
y = 0,021t+1,610
✝ ✆
3. lnp = y et y = 0,021t+1,610
=⇒ lnp = 0,021t+1,610 =⇒ p = e 0,021t+1,610 =⇒ p = (e 0,021 ) t ×e 1,610
✞ ☎
=⇒ p ≃ 5×1,02
✝ ✆
t ✞ ☎
ce qui correspond à un taux d’évolution de ✝5%
✆
4. (a) l’année de rang 35, la population est de 5×1,02 35 ≃ ✄
✂10
✁millions
(b) 5×1,02 t ln
> 15 ⇐⇒ t >
15
3 soit t > 55,47
ln1,02
pendant l’année de rang 55 on dépasse 15 millions
(c)
Rang de l’année : ti 0 5 10 15 20 25
Effectif réel : pi 5 5,6 6,1 6,8 7,6 8,4
Effectif calculé : pi 5 5,5 6,1 6,7 7,4 8,2
les valeurs calculées sont ✞
☎
relativement acceptables car proches des valeurs réelles
✝
✆
pourcentage d’erreur l’année de rang 25 : t = 8,2−8,4
≃ −2%
8,4
Exercice 2 : Etude d’une suite numérique, logarithme et inéquation (2010)
1. pour 2009 : 120791×(1+ 25 ✞ ☎
) = 150988,75
100 ✝ ✆
pour 2010 : 150988,75 ×(1+ 25 ✞ ☎
) = 188735,94
100 ✝ ✆
2. (a) la ✞ suite (un) est une suite géométrique car : ☎
on passe d’un terme au suivant en multipliant par 1,25 = q = raison de la suite
✝
✆
(b) ✞ ☎
un = 120791×1,25
✝ ✆
n
(c) (1,25) p ≤ 250000 ln(250000
120791 ⇐⇒ p ≥
120791 ) ✞ ☎
⇐⇒ p ≥ 3,26 ⇐⇒ p ≥ 4
ln1,25 ✝ ✆
(d) la capacité passe au dessus 250000 est ✞ ☎
pendant 2011
✝ ✆
Exercice 3 : (étude de fonction)
Partie A :
1. Variations de f et tableau de variations sur [0 ; 40].
• Calcul de la dérivée :
f(x) = 0,4x+5−2,8lnu
f ′ (x) = 0,4+0−2,8 u′
u avec
u(x) = x+2
u ′ (x) = 1
d’où : f ′ (x) = 0,4− 2,8
x+2
• Annulation et signe de la dérivée, variations de f sur [0 ; 40] :
f ′ (x) = 0,4− 2,8 0,4(x+2)−2,8
=
x+2 x+2
= 0,4x−2
, on utilise un tableau de signes.
x+2