Fonction logarithme neperien - Examen corrigé

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x 0 5 40 annulations : x+2 + | + x+2 = 0 ⇐⇒ x = −2 ( hors tableau) 0,4x−2 - 0 + 0,4x−2 = 0 ⇐⇒ x = 2 = 5 f ′ (x) - 0 + 3,06 10,54 f(x) ց ր 1,55 f(0) = 0,4×0+5−2,8ln(0+2) ≃ 3,06 à 10 −2 2. il suffit de résoudre l’équation : coefficient directeur de D = coefficient directeur de △ soit : 0,3 = f ′ (x) f ′ (x) = 0,3 ⇐⇒ 0,4x−2 = 0,3 ⇐⇒ 0,3(x+2) = 0,4x−2 ⇐⇒ 0,3x+0,6 = 0,4x−2 x+2 −0,1x = −2,6 ⇐⇒ x = −2,6 ✄ = 26 donc −0,1 ✂x = 26 ✁ 3. Voir graphique pour la construction de ∆ Partie B : 1. Il faut construire ✄ ✂5 villas ✁pour que le coût soit minimal. Le montant de ce coût est alors de ≃ ✄ ✂1550000 euros ✁ 2. Graphiquement, le nombre minimal de villas qu’il faut construire pour réaliser un bénéfice est ✄ ✂6 ✁(R > C) 3. Graphiquement, le bénéfice maximal correspond au plus grand écart entre les courbes de R etC, on trouve alors ✄ ✂x = 26 ✁villas et un bénéfice de ✄ ✂≃ 1700000 euros ✁ Partie C : ✞ ☎ 1. B = R−C donc B(n) = 0,3n−(0,4n+5−2,8ln(n+2)) = −0,1n−5+2,8ln(n+2) ✝ ✆ 2. a. Etude des variations de g définie sur [0 ; 40] par g(x) = −0,1x−5+2,8ln(x+2) • Calcul de la dérivée : g(x) = −0,1x−5+2,8lnu g ′ (x) = −0,1+0+2,8 u′ u avec u(x) = x+2 u ′ (x) = 1 d’où : g ′ (x) = −0,1+ 2,8 x+2 • Annulation et signe de la dérivée, variations de g sur [0 ; 40] : g ′ (x) = −0,1− 2,8 −0,1(x+2)+2,8 = x+2 x+2 x 0 26 40 x+2 + | + −0,1x+2,6 + 0 - g ′ (x) + 0 - 1,73 g(x) ր ց -3,06 1,47 g(0) = −0,1×0−5+2,8ln(40+2) ≃ 1,47 à 10 −2 b. g(x) est maximal pour ✄ ✂x = 26 ✁ 0,4 = −0,1x+2,6 , on utlisise un tableau de signes. x+2 Annulations : x+2 = 0 ⇐⇒ x = −2 ( hors tableau) −0,1x+2,6 = 0 ⇐⇒ x = −2,6 = 26 −0,1 c. g(x) = 0 ⇐⇒ le bénéfice est nul ⇐⇒ recette = coût ⇐⇒ D et ∆ se coupent, ce qui est la cas pour x = α où ✞ ☎ α compris entre 5 et 6 car g(5) < 0 et g(6) > 0 ✝ ✆
15 10 5 0 d. g(x) > 0 pour x > α et g(x) < 0 pour x < α 3. On en déduit que : a. le nombre minimal de villas à construire pour que le bénéfice soit positif est ✄ ✂6 ✁ b. la valeur du bénéfice maximal est ✞ ☎ ≃ 1,73 millions d’euros euros . ✝ ✆ 0 10 20 30 40 D C ∆
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